热点题型二 电势差与电场强度的关系
1．公式E＝
的三点注意
（1）只适用于匀强电场．
（2）d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
（3）电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2.电场线、电势、电场强度的关系
（1）电场线与电场强度的关系：
电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向．
（2）电场线与等势面的关系：
电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
（3）电场强度大小与电势无直接关系：
零电势可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高．
3．E＝
在非匀强电场中的三点妙用
判断电势差大小及电势高低
距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低
判断场强变化
φ－x图象的斜率k＝
＝
＝Ex，斜率的大小表示场强的大小，正负表示场强的方向
判断场强大小
等差等势面越密，场强越大
4.解题思路
在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论”
（1）“一式”：
E＝
＝
，其中d是沿电场线方向上的距离．
（2）“二结论”
结论1：
匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝
，如图甲所示．
结论2：
匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），如图乙所示．
【例2】（多选）（2020·安徽安庆市下学期第二次模拟）有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：
4V、8V、10V，使一电荷量为q＝－2×10－5C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是（ ）
A．坐标原点O的电势为6V
B．电场强度的大小为
V/m
C．该点电荷在c点的电势能为2×10－5J
D．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力做功为8×10－5J
【答案】AD
【解析】由于是匀强电场，所以沿同一方向前进相同距离电势的变化量相等，所以φc－φb＝φO－φa，代入数据解得：
φO＝6V，故A正确；ab中点e的电势为φe＝6V，连接Oe则为等势面，如图所示
由几何关系可知，ab垂直于Oe，则ab为一条电场线，且方向由b指向a，电场强度为：
E＝
＝
V/m＝100
V/m，故B错误；该点电荷在c点的电势能为：
Epc＝qφc＝－2×10－4J，故C错误；由题意结合几何知识可知b、d在同一等势面上，该点电荷从a点移动到d点电场力做功为：
Wad＝qUad＝qUab＝（4－8）×（－2×10－5）J＝8×10－5J，故D正确．
【变式1】（2017·高考全国卷Ⅲ）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，
三点的电势分别为10V、17V、26V．下列说法正确的是（ ）
A．电场强度的大小为2.5V/cmB．坐标原点处的电势为1V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7eVD．电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV
【答案】：
ABD
【解析】：
ac垂直于bc，沿ca和cb两方向的场强分量大小分别为E1＝
＝2V/cm、E2＝
＝1.5V/cm，根据矢量合成可知E＝2.5V/cm，A项正确；根据在匀强电场中平行线上等距同向的两点间的电势差相等，有φO－φa＝φb－φc，得φO＝1V，B项正确；电子在a、b、c三点的电势能分别为－10eV、－17eV和－26eV，故电子在a点的电势能比在b点的高7eV，C项错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝（－17eV）－（－26eV）＝9eV，D项正确．
【变式2】（2018·高考全国卷Ⅱ）如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面
平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点．一电荷量为q（q＞0）的粒子从a点移动到b点，其电
势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2.下列说法正确的是（ ）
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
【答案】 BD
【解析】 结合题意，只能判定Uab＞0、Ucd＞0，但电场方向不能得出，A错误；根据电场力做功与电势能变化量的关系有W1＝q（φa－φb）①，W2＝q（φc－φd）②，WMN＝q（φM－φN）③，根据匀强电场中“同一条直线上两点间的电势差与两点间的距离成正比”的规律可知，UaM＝UMc，即φa－φM＝φM－φc，可得φM＝
④，同理可得φN＝
⑤，联立①②③④⑤式可得WMN＝
，B项正确；电场强度的方向只有沿c→d时，场强E＝
，但本题中电场方向未知，故C错误；若W1＝W2，则φa－φb＝φc－φd，结合④⑤两式可推出φa－φM＝φb－φN，D正确．
【变式3】（2020·湖北省部分重点中学联考）如图所示，水平面内有A、B、C、D、E、F六个点，它们均匀分布在半径为R＝2cm的同一圆周上，空间有一方向与圆平面平行的匀强电场．已知A、C、E三点的电势分别为φA＝（2－
）V、φC＝2V、φE＝（2＋
）V，下列判断正确的是（ ）
A．电场强度的方向由A指向DB．电场强度的大小为1V/m
C．该圆周上的点电势最高为4VD．将电子从D点沿DEF移到F点，静电力做负功
【答案】C
【解析】：
在匀强电场中AE连线的中点G的电势φG＝
（φA＋φE）＝2V＝φC，
所以直线COGF为等势线，在匀强电场中等势线相互平行，电场线与等势线相互垂直，且由电势高的等势线指向电势低的等势线，可知直线AB、直线DE分别为等势线，直线DB、直线EA分别为电场线，可知电场强度的方向由E指向A（或由D指向B），故A错误；EA两点间的电势差UEA＝φE－φA＝2
V，沿电场方向的距离d＝
R＝
m，电场强度E＝
＝100V/m，故B错误；过圆心O做EA的平行线，与圆的交点H处电势最高，UHO＝E·R＝2V，由UHO＝φH－φO可得：
最高电势φH＝UHO＋φO＝4V，故C正确；将电子从D点移到F点，静电力先做正功再做负功，故D错误．
U＝Ed在非匀强电场中的应用
【例3】．如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点．已知A点的电势为φA＝30V，B点的电势为φB＝－20V，则下列说法正确的是（ ）
A．C点的电势φC＝5VB．C点的电势φC>5V
C．C点的电势φC<5VD．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
【答案】C.
【解析】：
从电场线的分布情况可以看出φA－φC>φC－φB，所以有φC<5V，C正确，A、B错误；因为负电荷在电势高的地方电势能较小，所以D错误
热点题型三 电场线、等势线（面）及带电粒子的运动轨迹问题
1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线．
2．几种典型电场的等势线（面）
电场
等势线（面）
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
连线的中垂线上电势处处为零
等量同种（正）点电荷的电场
连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
3.带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
（1）从轨迹的弯曲方向判断受力方向（轨迹向合外力方向弯曲），从而分析电场方向或电荷的正负．
（2）结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等．
（3）根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况．
带电粒子运动轨迹的分析
（1）判断速度方向：
带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向．
（2）判断电场力（或场强）的方向：
仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹的凹侧，再根据粒子的正、负判断场强的方向．
（3）判断电场力做功的正、负及电势能的增减：
若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
【例4】（多选）（2020·湖南长沙三月模拟）如图所示，实线是α粒子仅在电场力作用下由a点运动到b点的运动轨迹，虚线可能是电场线，也可能是等差等势线，则（ ）
A．若虚线是电场线，则α粒子在a点的电势能大，动能小
B．若虚线是等差等势线，则α粒子在a点的电势能大，动能小
C．不论虚线是电场线还是等差等势线，a点的电势一定低于b点的电势
D．不论虚线是电场线还是等差等势线，α粒子在a点的加速度一定大于在b点的加速度
【答案】BD
【解析】：
若虚线是电场线，因为α粒子带正电荷，由其运动轨迹可知其受电场力方向向左，则α粒子由a点运动到b点过程中，电场力做负功，动能减小，电势能增大，又α粒子带正电，则知a点电势低于b点电势；若虚线是等差等势线，则电场线与虚线垂直指向下方，则α粒子由a点运动到b点过程中，电场力做正功，动能增大，电势能减小，又α粒子带正电，则知a点电势高于b点电势，B项正确，A、C项错误．不论虚线是电场线还是等差等势线，均有Ea>Eb，则Fa>Fb，再结合牛顿第二定律可知α粒子在a点的加速度一定大于在b点的加速度，D项正确．
【变式1】（2020·浙江名校协作体）阴极射线示波管的聚焦电场是由电极A1、A2形成的实线为电场线，虚线为等势线，Z轴为该电场的中心轴线，P、Q、R为一个从左侧进入聚焦电场的电子运动轨迹上的三点，则（ ）
A．电极A1的电势低于电极A2的电势B．电场中Q点的电场强度小于R点的电场强度
C．电子在P点处的动能大于在Q点处的动能D．电子从P至R的运动过程中，电场力对它一直做正功
【答案】 AD
【解析】 沿电场线电势降低，因此电极A1的电势低于电极A2，故A正确；电子从P至R的运动过程中，是由低电势向高电势运动，电场力做正功，动能增加，电势能减小，故C错误，D正确；Q点电场线比R点电场线密，据电场线的疏密程度可知Q点的电场强度大于R点的电场强度，故B错误．
【变式2】如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称．忽略空气阻力．由此可知（ ）
A．Q点的电势比P点高B．油滴在Q点的动能比它在P点的大
C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
【答案】AB.
【解析】：
根据带负电的油滴在竖直面内的轨迹可知，油滴所受合外力一定向上，则所受电场力一定向上，且电场力大于重力，故匀强电场的方向竖直向下，Q点的电势比P点高，选项A正确；油滴从P点运动到Q点，根据动能定理，合外力做正功，动能增大，所以油滴在Q点的动能比它在P点的大，选项B正确；油滴从P点运动到Q点，电场力做正功，电势能减小，油滴在Q点的电势能比它在P点的小，选项C错误；由于带电油滴所受的电场力和重力均为恒力，所以油滴在Q点的加速度和它在P点的加速度大小相等，选项D错误．
等势面的综合应用
【例5】．（多选）（2020·云南模拟）如图所示，虚线a、b、c、d、e是电场中的一组平行等差等势面，实线是一带负电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，M、N、P、Q分别为运动轨迹与等势面的交点，下列判断正确的是（ ）
A．粒子在电场中做匀变速运动B．图中等势面a的电势最高
C．粒子经过Q点的动能大于P点的动能D．粒子在M点的电势能比Q点的大
【答案】AB
【解析】根据题述，虚线a、b、c、d、e是电场中的一组平行等差等势面，电场是匀强电场．带电粒子在电场中运动所受电场力是恒力，由牛顿第二定律可知，粒子在电场中运动的加速度恒定，所以带电粒子做匀变速运动，A正确．根据图中粒子运动轨迹的弯曲方向可知，粒子在电场中受力方向为向左，电场线方向向右，根据沿电场线方向电势逐渐降低可知，图中等势面a的电势最高，B正确．在M、N、P、Q四点中，粒子经过Q点的电势能最大，粒子经过M点的电势能最小，根据仅在电场力作用下的带电粒子的电势能和动能之和保持不变，可知粒子经过Q点的动能小于P点的动能，C、D错误．
【变式1】（多选）（2018·高考全国卷Ⅰ）图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2V．一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV.下列说法正确的是（ ）
A．平面c上的电势为零B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4eVD．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
【答案】AB.
【解析】：
电子在等势面b时的电势能为E＝qφ＝－2eV，电子由a到d的过程电场力做负功，电势能增加6eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加2eV，则电子在等势面c的电势能为零，等势面c的电势为零，A正确；由以上分析可知，电子在等势面d的电势能应为2eV，C错误；电子在等势面b的动能为8eV，电子在等势面d的动能为4eV，由公式Ek＝
mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的
倍，D错误；如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确．
【变式2】（2019·湖南长沙模拟）如图所示，M、N、P三点位于直角三角形的三个顶点上，∠PMN＝30°，∠MNP＝60°，一负点电荷位于三角形的平面上，已知M点和N点的电势相等，P点的电势与MN中点F的电势相等，则下列说法正确的是（ ）
A．M点和P点的电场强度相等
B．N点和P点的电场强度相等
C．同一正电荷在M点时的电势能大于在P点时的电势能
D．同一正电荷在N点时的电势能小于在P点时的电势能
【答案】：
C
【解析】：
由M点和N点的电势相等，P点的电势与F点的电势相等，则知负点电荷Q应位于MN连线的垂直平分线和PF连线的垂直平分线上，作图得到Q的位置如图．
可知P点离Q近，场强较大，故A错误；N点离Q较远，则N点的场强比P点的小，故B错误；正电荷从M点运动到P点，电场力做正功，电势能减小，则同一正电荷在M点的电势能大于在P点的电势能，故C正确；M点的电势和N点的电势相等，所以正电荷从N点运动到P点，电场力做正功，电势能减小，则同一正电荷在N点的电势能大于在P点的电势能，故D错误．
热点题型四 静电场的图象问题
几种常见图象的特点及规律
vt图象
根据vt图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φx图象
（1）电场强度的大小等于φx图线的斜率大小，电场强度为零处，φx图线存在极值，其切线的斜率为零；
（2）在φx图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向；
（3）在φx图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断
Ex图象
（1）反映了电场强度随位移变化的规律；
（2）E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向；
（3）图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定
Epx图象
（1）反映了电势能随位移变化的规律；
（2）图线的切线斜率大小等于电场力大小；
（3）进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况
v－t图象
【例6】．（多选）（2020·四川宜宾市第二次诊断）如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一沿水平方向的电场，MN是其中的一条直线，线上有A、B、C三点，一带电荷量为＋2×10－3C、质量为1×10－3kg的小物块从A点由静止释放，沿MN做直线运动，其运动的v－t图象如图乙所示，其中B点处的切线斜率最大（图中标出了该切线），C点处的切线平行于t轴，运动过程中小物块电荷量保持不变，则下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两点电势差UAB＝－4V
B．小物块从B点到C点电场力做的功W＝10－2J
C．B点为AC间电场强度最大的点，场强大小E＝1V/m
D．由A到C的过程中小物块的电势能先减小后变大
【答案】 BC
【解析】从A到B由动能定理：
qUAB＝
mv
，解得UAB＝4V，选项A错误；小物块从B点到C点电场力做的功WBC＝
mv
－
mv
＝10－2J，选项B正确；在B点的加速度最大，则所受的电场力最大，则由图象：
a＝
＝
m/s2＝2m/s2；由Eq＝ma，解得E＝1V/m，选项C正确；由A到C的过程中小物块的动能一直增大，电场力一直做正功，则电势能一直减小，选项D错误．
【变式1】（多选）（2019·安徽黄山模拟）光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示．一质量m＝1g的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两点（图中未画出），其运动过程的v－t图象如图乙所示，其
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