二是看算法运行时所占用的空间，既空间复杂度。
由于当今计算机硬件技术发展很快，程序所能支配的自由空间一般比较充分，所以空间复杂度就不如时间复杂度那么重要了，有许多问题人们主要是研究其算法的时间复杂度，而很少讨论它的空间耗费。
时间复杂性和空间复杂性在一定条件下是可以相互转化的。
在中学生信息学奥赛中，对程序的运行时间作出了严格的限制，如果运行时间超出了限定就会判错，因此在设计算法时首先要考虑的是时间因素，必要时可以以牺牲空间来换取时间，动态规划法就是一种以牺牲空间换取时间的有效算法。
对于空间因素，视题目的要求而定，一般可以不作太多的考虑。
我们通过一个简单的数值计算问题，来比较两个不同算法的效率（在这里只比较时间复杂度）。
例：
求N！
所产生的数后面有多少个0（中间的0不计）。
算法一：
从1乘到n，每乘一个数判断一次，若后面有0则去掉后面的0，并记下0的个数。
为了不超出数的表示范围，去掉与生成0无关的数，只保留有效位数，当乘完n次后就得到0的个数。
（pascal程序如下）
var i,t,n,sum:
longint;
begin
t:
=0;sum:
=1;
readln（n）;
fori:
=1tondo
begin
sum:
=sum*i;
whilesummod10=0do
begin
sum:
=sumdiv10;
inc（t）;{计数器增加1}
end;
sum:
=summod1000;{舍去与生成0无关的数}
end;
writeln（t:
6）;
end.
算法二：
此题中生成O的个数只与含5的个数有关，n！
的分解数中含5的个数就等于末尾O的个数，因此问题转化为直接求n！
的分解数中含5的个数。
vart,n:
integer;
begin
readln（n）;
t:
=0;
repeat
n:
=ndiv5;
inc（t,n）;{计数器增加n}
untiln<5;
writeln（t:
6）;
end.
分析对比两种算法就不难看出，它们的时间复杂度分别为O（N）、O（logN）,算法二的执行时间远远小于算法一的执行时间。
在信息学奥赛中，其主要任务就是设计一个有效的算法，去求解所给出的问题。
如果仅仅学会一种程序设计语言，而没学过算法的选手在比赛中是不会取得好的成绩的，选手水平的高低在于能否设计出好的算法。
下面，我们根据全国分区联赛大纲的要求，一起来探讨信息学奥赛中的基本算法。
信息学奥赛中的基本算法（枚举法）
枚举法，常常称之为穷举法，是指从可能的集合中一一枚举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。
能使命题成立者，即为问题的解。
采用枚举算法解题的基本思路：
（1）确定枚举对象、枚举范围和判定条件；
（2）一一枚举可能的解，验证是否是问题的解
下面我们就从枚举算法的的优化、枚举对象的选择以及判定条件的确定，这三个方面来探讨如何用枚举法解题。
枚举算法应用
例1：
百钱买百鸡问题：
有一个人有一百块钱，打算买一百只鸡。
到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。
现在，请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才能刚好用一百块钱买一百只鸡？
算法分析：
此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（x+y+z）和买鸡用去的钱的总数（x*3+y*2+z）为判定条件，穷举各种鸡的个数。
下面是解这个百鸡问题的程序
varx,y,z:
integer;
begin
forx:
=0to100do
fory:
=0to100do
forz:
=0to100do{枚举所有可能的解}
if（x+y+z=100）and（x*3+y*2+zdiv3=100）and（zmod3=0）thenwriteln（'x=',x,'y=',y,'z=',z）;{验证可能的解，并输出符合题目要求的解}
end.
上面的条件还有优化的空间，三种鸡的和是固定的，我们只要枚举二种鸡（x,y），第三种鸡就可以根据约束条件求得（z=100-x-y），这样就缩小了枚举范围，请看下面的程序：
varx,y,z:
integer;
begin
forx:
=0to100do
fory:
=0to100-xdo
begin
z:
=100-x-y;
if（x*3+y*2+zdiv3=100）and（zmod3=0）thenwriteln（'x=',x,'y=',y,'z=',z）;
end;
end.
未经优化的程序循环了1013次，时间复杂度为O（n3）；优化后的程序只循环了（102*101/2）次，时间复杂度为O（n2）。
从上面的对比可以看出，对于枚举算法，加强约束条件，缩小枚举的范围，是程序优化的主要考虑方向。
在枚举算法中，枚举对象的选择也是非常重要的，它直接影响着算法的时间复杂度，选择适当的枚举对象可以获得更高的效率。
如下例：
例2、将1,2...9共9个数分成三组,分别组成三个三位数,且使这三个三位数构成1:
2:
3的比例,试求出所有满足条件的三个三位数.
例如:
三个三位数192,384,576满足以上条件.（NOIP1998pj）
算法分析：
这是1998年全国分区联赛普及组试题（简称NOIP1998pj，以下同）。
此题数据规模不大，可以进行枚举，如果我们不加思地以每一个数位为枚举对象，一位一位地去枚举：
fora:
=1to9do
forb:
=1to9do
………
fori:
=1to9do
这样下去，枚举次数就有9９次，如果我们分别设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的范围就减少为９３，在细节上再进一步优化，枚举范围就更少了。
程序如下：
var
t,x:
integer;
s,st:
string;
c:
char;
begin
forx:
=123to321do{枚举所有可能的解}
begin
t:
=0;
str（x,st）;{把整数x转化为字符串，存放在st中}
str（x*2,s）;st:
=st+s;
str（x*3,s）;st:
=st+s;
forc:
='1'to'9'do{枚举9个字符，判断是否都在st中}
ifpos（c,st）<>0theninc（t）elsebreak;{如果不在st中，则退出循环}
ift=9thenwriteln（x,'',x*2,'',x*3）;
end;
end.
在枚举法解题中，判定条件的确定也是很重要的，如果约束条件不对或者不全面，就穷举不出正确的结果， 我们再看看下面的例子。
例３一元三次方程求解（noip2001tg）
问题描述有形如：
ax3+bx2+cx+d=0这样的一个一元三次方程。
给出该方程中各项的系数（a，b，c，d均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在-100至100之间），且根与根之差的绝对值>=1。
要求由小到大依次在同一行输出这三个实根（根与根之间留有空格），并精确到小数点后2位。
提示：
记方程f（x）=0，若存在2个数x1和x2，且x1样例
输入：
1-5-420
输出：
-2.002.005.00
算法分析：
由题目的提示很符合二分法求解的原理，所以此题可以用二分法。
用二分法解题相对于枚举法来说很要复杂很多。
此题是否能用枚举法求解呢？
再分析一下题目，根的范围在-100到100之间，结果只要保留两位小数，我们不妨将根的值域扩大100倍（-10000<=x<=10000），再以根为枚举对象，枚举范围是-10000到10000，用原方程式进行一一验证，找出方程的解。
有的同学在比赛中是这样做
var
k:
integer;
a,b,c,d,x:
real;
begin
read（a,b,c,d）;
fork:
=-10000to10000do
begin
x:
=k/100;
ifa*x*x*x+b*x*x+c*x+d=0thenwrite（x:
0:
2,''）;
end;
end.
用这种方法，很快就可以把程序编出来，再将样例数据代入测试也是对的，等成绩下来才发现这题没有全对，只得了一半的分。
这种解法为什么是错的呢？
错在哪里？
前面的分析好象也没错啊，难道这题不能用枚举法做吗？
看到这里大家可能有点迷惑了。
在上面的解法中，枚举范围和枚举对象都没有错，而是在验证枚举结果时，判定条件用错了。
因为要保留二位小数，所以求出来的解不一定是方程的精确根，再代入ax3+bx2+cx+d中，所得的结果也就不一定等于0，因此用原方程ax3+bx2+cx+d=0作为判断条件是不准确的。
我们换一个角度来思考问题，设f（x）=ax3+bx2+cx+d，若x为方程的根，则根据提示可知，必有f（x-0.005）*（x+0.005）<0，如果我们以此为枚举判定条件，问题就逆刃而解。
另外，如果f（x-0.005）=0，哪么就说明x-0.005是方程的根，这时根据四舍5入，方程的根也为x。
所以我们用（f（x-0.005）*f（x+0.005）<0）和（f（x-0.005）=0）作为判定条件。
为了程序设计的方便，我们设计一个函数f（x）计算ax3+bx2+cx+d的值，程序如下：
{$N+}
var
k:
integer;
a,b,c,d,x:
extended;
functionf（x:
extended）:
extended;{计算ax3+bx2+cx+d的值}
begin
f:
=（（a*x+b）*x+c）*x+d;
end;
begin
read（a,b,c,d）;
fork:
=-10000to10000do
begin
x:
=k/100;
if（f（x-0.005）*f（x+0.005）<0）or（f（x-0.005）=0）thenwrite（x:
0:
2,''）;{若x两端的函数值异号或x-0.005刚好是方程的根，则确定x为方程的根}
end;
end.
用枚举法解题的最大的缺点是运算量比较大，解题效率不高，如果枚举范围太大（一般以不超过两百万次为限），在时间上就难以承受。
但枚举算法的思路简单，程序编写和调试方便，比赛时也容易想到，在竞赛中，时间是有限的，我们竞赛的最终目标就是求出问题解，因此，如果题目的规模不是很大，在规定的时间与空间限制内能够求出解，那么我们最好是采用枚举法，而不需太在意是否还有更快的算法，这样可以使你有更多的时间去解答其他难题。
信息学奥赛中的基本算法（回溯法）
如果上期的“百钱买百鸡”中鸡的种类数是变化的，用枚举法就无能为力了，这里介绍另一种算法——回溯法。
回溯基本思想
回溯法是一种既带有系统性又带有跳跃性的搜索法，它的基本思想是：
在搜索过程中，当探索到某一步时，发现原先的选择达不到目标，就退回到上一步重新选择。
它主要用来解决一些要经过许多步骤才能完成的，而每个步骤都有若干种可能的分支，为了完成这一过程，需要遵守某些规则，但这些规则又无法用数学公式来描述的一类问题。
下面通过实例来了解回溯法的思想及其在计算机上实现的基本方法。
例1、从N个自然数（1,2,…,n）中选出r个数的所有组合。
算法分析：
设这r个数为a1,a2,…ar,把它们从大到小排列，则满足：
（1）a1>a2>…>ar;
（2）其中第i位数（1<=i<=r）满足ai>r-i;
我们按以上原则先确定第一个数，再逐位生成所有的r个数，如果当前数符合要求，则添加下一个数;否则返回到上一个数，改变上一个数的值再判断是否符合要求，如果符合要求，则继续添加下一个数，否则返回到上一个数，改变上一个数的值……按此规则不断循环搜索，直到找出r个数的组合，这种求解方法就是回溯法。
如果按以上方法生成了第i位数ai，下一步的的处理为：
（1）若ai>r-i且i=r，则输出这r个数并改变ai的值:
ai=ai-1;
（2）若ai>r-i且i≠r，则继续生成下一位ai+1=ai-1;
（3）若ai<=r-i，则回溯到上一位，改变上一位数的值:
ai-1=ai-1-1;
算法实现步骤：
第一步：
输入n,r的值，并初始化；i:
=1;a[1]:
=n;
第二步：
若a[1]>r-1则重复：
若a[i]>r-i，
若i=r，则输出解，并且a[i]:
=a[i]-1;
若i<>r，则继续生成下一位：
a[i+1]:
=a[i]-1;i:
=i+1;
若a[i]<=r-i，则回溯：
i:
=i-1;a[i]:
=a[i]-1;
第三步：
结束；
程序实现
varn,r,i,j:
integer;
a:
array[1..10]ofinteger;
begin
readln（n,r）;i:
=1;a[1]:
=n;
repeat
ifa[i]>r-ithen{符合条件}
ifi=rthen{输出}
begin
forj:
=1tordowrite（a[j]:
3）;
writeln;
a[i]:
=a[i]-1;
end
else{继续搜索}
begina[i+1]:
=a[i]-1;i:
=i+1;end
else{回溯}
begini:
=i-1;a[i]:
=a[i]-1;end;
untila[1]=r-1;
end.
下面我们再通过另一个例子看看回溯在信息学奥赛中的应用。
例2数的划分（noip2001tg）
问题描述整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同（不考虑顺序）。
例如：
n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。
1，1，5;1，5，1;5，1，1;
问有多少种不同的分法。
输入：
n，k（6输出：
一个整数，即不同的分法。
样例
输入：
73
输出：
4{四种分法为：
1,1,5;1,2,4;1,3,3;2,2,3;}
算法分析：
此题可以用回溯法求解，设自然数n拆分为a1,a2,…,ak,必须满足以下两个条件：
（1）n=a1+a2+…+ak；
（2）a1<=a2<=…<=ak（避免重复计算）；
现假设己求得的拆分数为a1,a2,…ai,且都满足以上两个条件,设sum=n-a1-a2-…-ai,我们根据不同的情形进行处理：
（1）如果i=k,则得到一个解，则计数器t加1，并回溯到上一步，改变ai-1的值；
（2）如果i=ai,则添加下一个元素ai+1；
（3）如果i算法实现步骤如下：
第一步：
输入自然数n,k并初始化；t:
=0;i:
=1;a[i]:
=1;sum:
=n-1;nk:
=ndivk;
第二步：
如果a[1]<=nk重复：
若i=k，搜索到一个解，计数器t=t+1;并回溯；
否则：
若sum>=a[i]则继续搜索；
若sum搜索时，inc（i）;a[i]:
=a[i-1];sum:
=sum-a[i];
回溯时，dec（i）;inc（a[i]）;sum:
=sum+a[i+1]-1;
第三步：
输出。
程序如下：
var
n,nk,sum,i,k:
integer;
t:
longint;
a:
array[1..6]ofinteger;
begin
readln（n,k）;
nk:
=ndivk;
t:
=0;i:
=1;a[i]:
=1;sum:
=n-1;{初始化}
repeat
ifi=kthen{判断是否搜索到底}
begininc（t）;dec（i）;inc（a[i]）;sum:
=sum+a[i+1]-1;end{回溯}
elsebegin
ifsum>=a[i]then{判断是否回溯}
begininc（i）;a[i]:
=a[i-1];sum:
=sum-a[i];end{继续搜}
elsebegindec（i）;inc（a[i]）;sum:
=sum+a[i+1]-1;end;{回溯}
end;
untila[1]>nk;
writeln（t）;
end.
回溯法是通过尝试和纠正错误来寻找答案，是一种通用解题法，在NOIP中有许多涉及搜索问题的题目都可以用回溯法来求解。
信息学奥赛中的基本算法（递归算法）
递归算法的定义：
如果一个对象的描述中包含它本身，我们就称这个对象是递归的，这种用递归来描述的算法称为递归算法。
我们先来看看大家熟知的一个的故事：
从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，他说从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，他说……
上面的故事本身是递归的，用递归算法描述：
procedurebonze-tell-story；
begin
if讲话被打断then故事结束
elsebegin
从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事；
bonze-tell-story；
end
end;
从上面的递归事例不难看出，递归算法存在的两个必要条件：
（1）必须有递归的终止条件；
（2）过程的描述中包含它本身；
在设计递归算法中，如何将一个问题转化为递归的问题，是初学者面临的难题，下面我们通过分析汉诺塔问题，看看如何用递归算法来求解问题；
递归算法应用
例1：
汉诺塔问题，如下图，有A、B、C三根柱子。
A柱子上按从小到大的顺序堆放了N个盘子，现在要把全部盘子从A柱移动到C柱，移动过程中可以借助B柱。
移动时有如下要求：
（1）一次只能移动一个盘子；
（2）不允许把大盘放在小盘上边；
（3）盘子只能放在三根柱子上；
算法分析：
当盘子比较多的时，问题比较复杂，所以我们先分析简单的情况：
如果只有一个盘子，只需一步，直接把它从A柱移动到C柱；
如果是二个盘子，共需要移动3步:
（1）把A柱上的小盘子移动到B柱;
（2）把A柱上的大盘子移动到C柱；
（3）把B柱上的大盘子移动到C柱；
如果N比较大时，需要很多步才能完成，我们先考虑是否能把复杂的移动过程转化为简单的移动过程，如果要把A柱上最大的盘子移动到C柱上去，必须先把上面的N-1个盘子从A柱移动到B柱上暂存，按这种思路，就可以把N个盘子的移动过程分作3大步：
（1）把A柱上面的N-1个盘子移动到B柱；
（2）把A柱上剩下的一个盘子移动到C柱；
（3）把B柱上面的N-1个盘子移动到C柱；
其中N-1个盘子的移动过程又可按同样的方法分为三大步，这样就把移动过程转化为一个递归的过程，直到最后只剩下一个盘子，按照移动一个盘子的方法移动，递归结束。
递归过程：
procedureHanoi（N,A,B,C:
integer;）；{以B柱为中转柱将N个盘子从A柱移动到C柱}
begin
ifN=1thenwrite（A,’->’,C）{把盘子直接从A移动到C}
elsebegin
Hanoi（N-1,A,C,B）；{以C柱为中转柱将N-1个盘子从A柱移动到B柱}
write（A,’->’,C）；{把剩下的一个盘子从A移动到C}
Hanoi（N-1,B,A,C）；{以A柱为中转柱将N-1个盘子从B柱移动到C柱}
end;
end;
从上面的例子我们可以看出，在使用递归算法时，首先弄清楚简单情况下的解法，然后弄清楚如何把复杂情况归纳为更简单的情况。
在信息学奥赛中有的问题的结构或所处理的数据本身是递归定义的，这样的问题非常适合用递归算法来求解，对于这类问题，我们把它分解为具有相同性质的若干个子问题，如果子问题解决了，原问题也就解决了。
例2求先序排列（NOIP2001pj）
[问题描述]给出一棵二叉树的中序与后序排列。
求出它的先序排列。
（约定树结点用不同的大写字母表示，长度≤8）。
[样例]输入
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