名师制作学年华师大版七年级数学上册 跟踪训练512 垂线含详细解析.docx

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名师制作学年华师大版七年级数学上册跟踪训练512垂线含详细解析

第五章相交线与平行线5.1.2垂线

一．选择题（共8小题）

1．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（　　）

A．35°B．45°C．55°D．65°

2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，则∠AOC等于（　　）

A．54°B．46°C．36°D．26°

4．如图，AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为（　　）

A．56°B．59°C．60°D．62°

5．如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，其最小旋转角为（　　）

A．60°B．50°C．40°D．30°

6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（　　）

A．2.5B．3C．4D．5

7．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（　　）

A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短

C．垂线段最短D．两点确定一条直线

8．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共6小题）

9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于　_________　度．

10．如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为　_________　°．

11．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为　_________　．

12．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若α=52°，则β的度数是　_________　度．

13．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是　_________　．

14．如图，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则点A到BC的距离是　_________　，点B到点A的距离是　_________　．

三．解答题（共8小题）

15．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∠4=40°，求∠1的度数．

16．如图，已知直线AE、CD相交于点O，且∠AOB=90°，∠BOC=28°，求∠DOE、∠AOD的度数．

17．如图，直线EF，CD相交于点O，∠AOB=90°，且OD平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE，求∠EOD的度数．

18．如图，OD平分∠AOB，OE⊥OD，OE是∠BOC的平分线，为什么？

19．如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD．OE是∠BOC的平分线吗？

为什么？

20．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？

画出线路图，并说明理由．

21．∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？

22．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，若∠AOD=138°，求∠BOC的度数．

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（　　）

A．35°B．45°C．55°D．65°

考点：

垂线；对顶角、邻补角．

分析：

由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案．

解答：

解：

∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，

∴∠MOC=35°，

∵ON⊥OM，

∴∠MON=90°，

∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．

故选：

C．

点评：

本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．

2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

垂线．

分析：

根据题意画出图形即可．

解答：

解：

根据题意可得图形

，

故选：

C．

点评：

此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，则∠AOC等于（　　）

A．54°B．46°C．36°D．26°

考点：

垂线；对顶角、邻补角．

分析：

根据余角的定义、对顶角相等推知∠AOC=∠BOD=90°﹣∠BOE．

解答：

解：

如图，∵OE⊥CD，

∴∠DOE=90°．

又∵∠BOE=54°，

∴∠BOD=90°﹣∠BOE=36°，

∴∠AOC=∠BOD=36°．

故选C．

点评：

本题考查了垂线，对顶角、邻补角．解题时，注意挖掘出隐含在题中的已知条件：

由垂直得直角．

4．如图，AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为（　　）

A．56°B．59°C．60°D．62°

考点：

垂线；对顶角、邻补角．

分析：

首先根据垂线定义可得∠AOD=90°，再根据∠AOF的度数，进而算出∠AOE的度数，再利用角平分线性质可得答案．

解答：

解：

∵AB⊥CD，

∴∠AOD=90°，

∵∠FOD=28°，

∴∠AOF=90°﹣28°=62°，

∴∠AOE=180°﹣62°=118°，

∵OG平分∠AOE，

∴∠AOG=118°÷2=59°，

故选：

B．

点评：

此题主要考查了垂线，以及角平分线性质，余角、补角，关键是理清角之间的关系．

5．如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，其最小旋转角为（　　）

A．60°B．50°C．40°D．30°

考点：

垂线．

分析：

当木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，算出∠1的度数，再根据平角定义计算出∠2的度数即可．

解答：

解：

如图所示：

当木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，

∠1=180°﹣60°﹣90°=30°，

则∠2=180°﹣30°﹣100°=50°，

故选：

B．

点评：

此题主要考查了垂线，关键是掌握两直线垂直时，夹角为90°．

6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（　　）

A．2.5B．3C．4D．5

考点：

垂线段最短．

分析：

利用垂线段最短分析．

解答：

解：

已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，

根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，

故选：

A．

点评：

本题主要考查了垂线段最短的性质．

7．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（　　）

A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短

C．垂线段最短D．两点确定一条直线

考点：

垂线段最短．

专题：

应用题．

分析：

此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．

解答：

解：

体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．

故选：

C．

点评：

此题考查知识点垂线段最短．

8．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

点到直线的距离．

分析：

利用点到直线的距离的定义分析可知．

解答：

解：

利用点到直线的距离的定义可知：

线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是A图．

故选：

A．

点评：

本题考查了点到到直线的距离的定义．

二．填空题（共6小题）

9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于　70　度．

考点：

垂线；对顶角、邻补角．

分析：

根据对顶角相等求出∠AOC，根据垂直求出∠AOE，相减即可求出答案．

解答：

解：

∵∠BOD=20°，

∴∠AOC=∠BOD=20°，

∵OE⊥AB，

∴∠AOE=90°，

∴∠COE=90°﹣20°=70°，

故答案为：

70．

点评：

本题考查了垂直定义，对顶角的应用，关键是求出∠AOE和∠AOC的大小．

10．如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为　45　°．

考点：

垂线；角平分线的定义．

分析：

根据垂线的定义可知，∠ABD的度数是90°，根据角平分线的定义，可求∠DBE的度数，再根据对顶角相等可求∠CBF的度数．

解答：

解：

∵AB⊥CD，

∴∠ABD=90°，

∵EF平分∠ABD，

∴∠DBE=45°，

∴∠CBF=45°．

故答案为：

45．

点评：

考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等的性质．

11．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为　149°　．

考点：

垂线．

专题：

计算题．

分析：

先根据垂直的定义求出∠ACE的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．

解答：

解：

∵EF⊥AB于E，∠CEF=59°，

∴∠ACE=90°﹣∠CEF=90°﹣59°=31°，

∴∠AED=180°﹣∠ACE=180°﹣31°=149°．

故答案为：

149°．

点评：

本题考查了垂线的定义，求出∠ACE的度数是解题的关键．

12．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若α=52°，则β的度数是　38　度．

考点：

垂线；对顶角、邻补角．

专题：

计算题．

分析：

先根据垂线的定义得出∠MON=90°，再根据α=52°得出∠NOF的度数，最后根据对顶角的定义即可求出β的度数．

解答：

解：

∵OM⊥l1，

∴∠MON=90°，

∵∠α=52°，

∴∠NOF=∠MON﹣∠α=90°﹣52°=38°，

∵∠NOF与∠β是对顶角，

∴∠NOF=∠β=38°．

点评：

本题考查的是垂线的定义及对顶角的性质，比较简单．

13．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是　连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短　．

考点：

垂线段最短．

专题：

应用题．

分析：

过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．

解答：

解：

根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，

∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．

故答案为：

连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．

点评：

本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．

14．如图，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则点A到BC的距离是　12　，点B到点A的距离是　13　．

考点：

点到直线的距离；两点间的距离．

专题：

计算题．

分析：

点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．

解答：

解：

点A到直线BC的垂线段是AC，所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，即点A到BC的距离是12；

点B到点A的距离是线段AB的长，即点B到点A的距离是13．

故填12，13．

点评：

本题考查了点到直线的距离的定义以及两点间的距离的定义，注意点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段．

三．解答题（共8小题）

15．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∠4=40°，求∠1的度数．

考点：

垂线；对顶角、邻补角．

分析：

根据垂直的性质以及对顶角性质得出∠3+∠2=90°，进而求出∠1的度数．

解答：

解：

∵∠4=40°，∴∠4=∠5=40°，

∵AB⊥CD，

∴∠BOC=90°，

∴∠2+∠5=90°，

∵∠1=∠3，∠1+∠2=90°，

∴∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠5=∠3=40°．

点评：

此题主要考查了垂线以及对顶角性质，得出∠1=∠5=∠3是解题关键．

16．如图，已知直线AE、CD相交于点O，且∠AOB=90°，∠BOC=28°，求∠DOE、∠AOD的度数．

考点：

垂线；对顶角、邻补角．

分析：

先求出∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=62°，再根据对顶角相等得出∠DOE=∠AOC=62°，然后根据邻补角定义求出∠AOD．

解答：

解：

∵∠AOB=90°，∠BOC=28°，

∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=62°，

∴∠DOE=∠AOC=62°，

∴∠AOD=180°﹣∠DOE=118°．

点评：

本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，准确识图是解题的关键．

17．如图，直线EF，CD相交于点O，∠AOB=90°，且OD平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE，求∠EOD的度数．

考点：

垂线；对顶角、邻补角．

分析：

利用垂线的定义，以及∠BOE=2∠AOE，得出∠AOE=30°，再利用角平分线的性质得出答案．

解答：

解：

∵∠AOB=90°，∠BOE=2∠AOE，

∴∠AOE=30°，

∴∠AOF=150°，

∵OD平分∠AOF，

∴∠AOD=75°，

∴∠EOD=105°．

点评：

此题主要考查了垂线的定义以及邻补角定义，得出∠AOE的度数是解题关键．

18．如图，OD平分∠AOB，OE⊥OD，OE是∠BOC的平分线，为什么？

考点：

垂线；角平分线的定义．

分析：

首先根据角平分线的性质可得∠BOD=∠AOD，再根据平角的定义可得∠EOC+∠AOD=90°，进而可得∠COE=∠EOB，进而可得OE是∠BOC的平分线．

解答：

解：

∵OD平分∠AOB，

∴∠BOD=∠AOD=

∠AOB，

∵OE⊥OD，

∴∠DOE=90°，

∴∠EOB+∠BOD=90°，

∵∠AOC=180°，

∴∠EOC+∠AOD=90°，

∴∠COE=∠EOB，

∴OE是∠BOC的平分线．

点评：

此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．

19．如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD．OE是∠BOC的平分线吗？

为什么？

考点：

垂线；角平分线的定义．

分析：

OE是∠BOC的平分线．由于∠AOB是平角，OD是∠AOC的平分线，∠DOE=90°，易求∠COE+∠AOC=∠BOE+∠AOD，即∠COE=∠BOE．

解答：

解：

OE是∠BOC的平分线，理由如下：

∵OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD，

∴∠AOD=∠COD，∠DOE=90°，

∴∠AOD+∠BOE=90°，

∴∠COE+∠AOC=∠BOE+∠AOD，即∠COE=∠BOE．

∴OE是∠BOC的平分线．

点评：

本题考查了角的计算．解题的关键是理解角平分线的定义．

20．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？

画出线路图，并说明理由．

考点：

垂线段最短．

专题：

应用题；作图题．

分析：

利用两点之间线段最短和垂线段最短即可解决问题．

解答：

解：

连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．

因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB+BC最短．

点评：

本题考查数学原理在生活中的应用，利用线段及垂线段的性质即可解决问题．

21．∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？

考点：

垂线；角平分线的定义．

分析：

根据垂线的定义，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COE、∠COF的度数，根据角的和差，可得答案．

解答：

解：

由AO⊥BO，得∠AOB=90°，

由角的和差，得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．

由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，得∠COE=

∠AOC=

×150°=75°，∠COF=

∠BOC=

×60°=30°．

由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣∠COF=75°﹣30°=45°．

点评：

本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差．

22．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，若∠AOD=138°，求∠BOC的度数．

考点：

垂线．

分析：

根据垂线的定义，可得∠AOC、∠BOD的度数，根据角的和差，可得∠COD的度数，根据角的和差，可得答案．

解答：

解：

由OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，得

∠AOC=∠BOD=90°．

由角的和差，得

∠COD=∠AOD﹣∠AOC=138°﹣90°=48°，

∠BOC=∠BOD﹣∠COD=90°﹣48°=42°．

点评：

本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角的和差．