高中数学必修45知识点.docx

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高中数学必修45知识点

　　　　　　高一数学必修1知识　　集合　　?

元素与集合的关系：

属于和不属于?

集合中元素的特性：

确定性、互异性、无序性?

集合与元素?

集合的分类：

按集合中元素的个数多少分为：

有限集、无限集、空集?

4）集合的表示方法：

列举法、描述法、图示法、区间法子集。

真子集：

若A?

B且A?

，则A是B的真子集。

集合?

集合相等：

B且A?

集合与集合?

定义：

x/x?

A且x?

交集?

性质：

A，A?

，A?

A，A?

A,A?

B，A?

定义：

x/x?

A或x?

并集?

性质：

A，A?

B，A?

运算?

Card（A?

B）?

Card（A）?

Card（B）-Card（A?

B）?

定义：

CUA?

x/x?

U且x?

补集?

性质：

（CUA）?

，（CUA）?

U，CU（CUA）?

A，CU（A?

B）?

（CUA）?

（CUB），?

　　C（A?

B）?

（CA）?

（CB）?

UUU?

函数　　?

映射定义：

设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，?

　　在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

B为从集合A到集合B的一个映射传统定义：

如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，?

定义　　按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。

那么y就是x的函数。

记作y?

f（x）?

近代定义：

函数是从一个数集到另一个数集的映射。

定义域?

函数及其表示?

函数的三要素?

值域?

对应法则?

解析法?

函数的表示方法?

列表法?

图象法?

传统定义：

在区间?

a,b?

上，若a?

x1?

x2?

b,如f（x1）?

f（x2），则f（x）在?

a,b?

上递增,?

a,b?

是?

　　递增区间；如f（x1）?

f（x2），则f（x）在?

a,b?

上递减,?

a,b?

是的递减区间。

单调性?

导数定义：

在区间?

a,b?

上，若f（x）?

0，则f（x）在?

a,b?

上递增,?

a,b?

是递增区间；如f（x）?

a,b?

是的递减区间。

　　则f（x）在?

a,b?

上递减,?

最大值：

设函数y?

f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

对于任意的x?

I，都有f（x）?

M；函数?

函数的基本性质?

最值?

　　　　存在x0?

I，使得f（x0）?

M。

则称M是函数y?

f（x）的最大值?

最小值：

设函数y?

f（x）的定义域为I，如果存在实数N满足：

对于任意的x?

I，都有f（x）?

N；?

　　　　存在x0?

I，使得f（x0）?

N。

则称N是函数y?

f（x）的最小值?

（1）f（?

x）?

f（x）,x?

定义域D，则f（x）叫做奇函数，其图象关于原点对称。

奇偶性?

（2）f（?

x）?

f（x）,x?

定义域D，则f（x）叫做偶函数，其图象关于y轴对称。

奇偶函数的定义域关于原点对称?

周期性：

在函数f（x）的定义域上恒有f（x?

T）?

f（x）（T?

0的常数）则f（x）叫做周期函数，T为周期；?

　　T的最小正值叫做f（x）的最小正周期，简称周期?

描点连线法：

列表、描点、连线?

向左平移?

个单位：

y1?

y,x1?

f（x?

a）?

向右平移a个单位：

y,x?

f（x?

a）11?

平移变换?

向上平移b个单位：

x,y11?

f（x）?

向下平移b个单位：

x1?

x,y1?

f（x）?

横坐标变换：

把各点的横坐标x1缩短或伸长?

　　到原来的1/w倍，即x?

wx?

f（wx）1?

伸缩变换?

纵坐标变换：

把各点的纵坐标y伸长，即y?

y/A?

f（x）?

变换法?

2y0?

f（2x0?

x）?

关于点（x0,y0）对称：

y1?

2y0?

y1?

2y0?

关于直线x?

x0对称：

x1?

2x0?

x1?

2x0?

f（2x0?

x）?

y1?

对称变换?

x1x?

关于直线y?

y0对称：

2y0?

f（x）?

y1?

2y0y1?

2y0?

x1?

f（x）?

关于直线y?

x对称：

y1?

一、函数的定义域的常用求法：

　　1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数y?

tanx中　　x?

2（k?

Z）；余切函数y?

cotx中；6、如果函数是实际意义确定的解析式，　　应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

　　1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法三、函数的值域的常用求法：

　　1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法　　四、函数的最值的常用求法：

　　1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法五、函数单调性的常用结论：

　　1、若f（x）,g（x）均为某区间上的增函数，则f（x）?

g（x）在这个区间上也为增函数　　2、若f（x）为增函数，则?

f（x）为减函数　　3、若f（x）与g（x）的单调性相同，则y?

f[g（x）]是增函数；若f（x）与g（x）的单调性不同，则y?

f[g（x）]是减函数。

　　4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

　　5、常用函数的单调性解答：

比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

　　六、函数奇偶性的常用结论：

　　1、如果一个奇函数在x?

0处有定义，则f（0）?

0，如果一个函数y?

f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）?

0　　2、两个奇函数之和为奇函数；之积为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。

　　4、两个函数y?

f（u）和u?

g（x）复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

　　5、若函数f（x）的定义域关于原点对称，则f（x）可以表示为　　f（x）?

12[f（x）?

f（?

x）]?

12[f（x）?

f（?

x）]，该式的特点是：

右端为一个奇函数和一个偶　　函数的和。

　　表1定义域值域x?

R对数数函数指数函数y?

ax?

0,a?

logax?

0,a?

0,?

R图象过定点（0,1）?

减函数增函数减函数过定点（1,0）增函数x?

（?

0）时，y?

（0,1）x?

（0,1）时，y?

（0,?

）x?

（0,1）时，y?

（?

0）x?

（?

0）时，y?

（1,?

）?

（1,?

）时，y?

（?

0）x?

（0,?

）时，y?

（0,1）x?

（0,?

）时，y?

（1,?

xx?

（1,?

）时，y?

（0,?

）性质　　a?

ba?

b　　a?

ba?

b　　表2pq幂函数y?

（?

R）?

00?

1p为奇数q为奇数奇函数　　p为奇数q为偶数　　p为偶数q为奇数减函数增函数偶函数第一象限性质过定点　　高一数学必修3公式总结以及例题　　§1算法初步　　?

秦九韶算法：

通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n　　次多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。

表达式如下：

　　anx?

an?

1xnn?

...?

a1?

anx?

an?

...?

a2?

a1　　九　　韶　　算　　法　　计　　算　　多　　项　　式　　例　　6题　　54：

　　3秦　　23x?

4x?

5x?

6x?

7x?

8x?

1,当x?

时,　　需要做几次加法和乘法运算?

答案：

6，6　　即:

3x?

1　　?

理解算法的含义：

一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，　　其意义具有广泛的含义，如：

广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法…　　（algorithm）　　1.描述算法有三种方式：

自然语言，流程图，程序设计语言.　　2.算法的特征：

　　①有限性：

算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去　　②确定性：

算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可　　以是一个或多个。

没有输出的算法是无意义的。

　　③可行性：

算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在　　一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度　　3.算法含有两大要素：

①操作：

算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②　　控制结构:

顺序结构，选择结构，循环结构　　?

流程图：

是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及注意：

1.画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯　　2.拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：

遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流　　程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。

　　3.在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。

　　算法结构：

顺序结构，选择结构，循环结构AA　　　　　　AY　　p　　NN　　p　　　　　　p　　Y　　　　BAB　　YN　　　　程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。

　　　　　　　　　　　　直到型循环　　当型循　　环　　Ⅰ.顺序结构：

是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、　　控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

　　Ⅱ.选择结构：

或者称为分支结构。

其中的判断框，书写时主要　　是注意临界条件的确定。

它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。

　　Ⅲ.循环结构：

它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型　　和当型（while）两种结构（见上图）。

当事先不知道是否至少执行一次循环体时用当型循环。

基本算法语句：

本书中指的是伪代码，且是使用BASIC　　语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。

伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。

如：

赋值语句中可以用x?

y，也可以用x?

y;表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“?

”Ⅰ.赋值语句：

用?

表示，如：

y，表示将y的值　　赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式.　　一般格式：

“变量?

表达式”，有时在伪代码的书写时也可以用“x?

y”，　　但此时的“=”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。

　　注：

1.赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。

“=”具有计算功能。

如：

3=a,b+6=a,都是错误的，而a=3*5–1,a=2a+3　　都是正确的。

2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。

如：

a=b=c=2,a,b,　　c=2都是错误的，而a=3是正确的.例题：

将x和y的值交换　　p?

xp?

xx?

y,同样的如果交换三个变量x,y,z的值:

px?

yy?

zz?

p　　Ⅱ.输入语句:

Reada,b表示输入的数一次送给a,b　　输出语句：

Printx,y表示一次输出运算结果x,y　　注：

1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！

2.Read语句输入的只能是变量而不是表达式3.Print语句不能起赋值语句，意旨不能在Print语句中用“=”　　4.Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用“；”　　隔开.　　例题：

当x等于5时，Print“x=”;x在屏幕上输出的结果是x=5Ⅲ.条件语句：

　　1.行If语句:

IfAThenB　　注：

没有EndIf　　2.块If语句：

　　注：

①不要忘记结束语句EndIf，当有If语句嵌套使　　用时，有几个If，就必须要有几个EndIf②.ElseIf是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。

④为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。

格式如下：

　　If　　AThenBElseC　　EndIf　　　　If　　AThenBElseIfCThen　　DEndIf高中数学必修4知识点　　?

正角:

按逆时针方向旋转形成的角?

1、任意角?

负角:

按顺时针方向旋转形成的角　　?

零角:

不作任何旋转形成的角2、角?

的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?

为第几象限角．　　第一象限角的集合为?

360?

90?

第二象限角的集合为?

360?

90?

360?

180?

第三象限角的集合为?

360?

180?

360?

270?

第四象限角的集合为?

360?

270?

360?

终边在x轴上的角的集合为?

180?

终边在y轴上的角的集合为?

180?

90?

终边在坐标轴上的角的集合为?

90?

3、与角?

终边相同的角的集合为?

360?

4、已知?

是第几象限角，确定　　?

所在象限的方法：

先把各象限均分n等n*份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则?

原来是第几象限对应的标号即为　　终边所落在的区域．　　lr5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．　　6、半径为r的圆的圆心角?

所对弧的长为l，则角?

的弧度数的绝对值是?

180?

7、弧度制与角度制的换算公式：

360，1?

，1?

．180?

．　　?

8、若扇形的圆心角为?

为弧度制?

，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?

，C?

2r?

l，S?

12lr?

12?

r．　　29、设?

是一个任意大小的角，?

的终边上任意一点?

的坐标是?

x,y?

，它与原点的距离是rr?

022?

，则sin?

yr，cos?

xr，tan?

yx?

．　　10、三角函数在各象限的符号：

第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．　　11、三角函数线：

sin?

，cos?

，tan?

．12、同角三角函数的基本关系：

sin?

cos?

1　　22yPT?

sin?

cos?

sin?

2222?

；?

sin?

cos?

tan?

　　OMAxsin?

sin?

tan?

cos?

．　　tan?

13、三角函数的诱导公式：

sin?

2k?

sin?

，cos?

2k?

cos?

，tan?

2k?

tan?

．?

sin?

，cos?

cos?

，tan?

tan?

．?

sin?

，cos?

cos?

，tan?

tan?

．?

sin?

，cos?

cos?

，tan?

tan?

．　　口诀：

函数名称不变，符号看象限．　　?

sin?

cos?

，cos?

sin?

．　　?

sin?

，cos?

sin?

．　　口诀：

正弦与余弦互换，符号看象限．　　14、函数y?

sinx的图象上所有点向左平移?

个单位长度，得到函数　　y?

sin?

的图象；再将函数y?

sin?

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的　　1?

倍，得到函数y?

sin?

的图象；再将函数　　y?

sin?

的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的?

倍，得到函数y?

sin?

的图象．　　函数y?

sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的得到函数　　y?

sin?

x的图象；再将函数y?

sin?

x1?

倍，　　的图象上所有点向左平移　　?

个单　　位长度，得到函数y?

sin?

的图象；再将函数y?

sin?

的图象上所　　有点的纵坐标伸长到原来的?

倍，得到函数　　y?

sin?

的图象．　　函数y?

sin?

0,?

的性质：

　　①振幅：

；②周期：

．　　2?

；③频率：

；④相位：

；⑤初相：

　　函数y?

sin?

，当x?

x1时，取得最小值为ymin；当x?

x2时，取得最大值为ymax，则?

12?

ymax?

ymin?

，?

12?

ymax?

ymin?

，　　?

x2?

x1?

x2?

．　　15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

　　函　　y?

cosx　　性　　质　　数y?

sinxy?

tanx　　图象　　　　　　定义域值域　　R　　　　?

xx?

R　　R?

1,1?

　　当x?

2k?

1,1?

当x?

2k?

时，　　　　ymax?

1；当x?

2k?

　　最　　值　　时，ymax?

1；当　　x?

2k?

2　　　　?

1．　　?

时，ymin?

1．　　既无最大值也无最小　　值　　?

时，ymin2?

周　　期性奇奇函数偶性单　　?

调在?

2k?

　　22?

性　　2?

　　偶函数奇函数　　在?

2k?

上是增函数；在　　在?

2,k?

上是增函数；在?

2k?

22?

上是增函数．　　?

上是减函数．　　?

上是减函数．　　对　　称　　中　　心对　　称　　中　　心　　对　　称　　中　　心　　对?

　　称　　对称性　　x?

轴　　?

对称轴x?

　　无对称轴　　16、向量：

既有大小，又有方向的量．数量：

只有大小，没有方向的量．　　有向线段的三要素：

起点、方向、长度．　　零向量：

长度为0的向量．　　单位向量：

长度等于1个单位的向量．平行向量：

方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：

长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：

　　⑴三角形法则的特点：

首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：

共起点．　　　　?

⑶三角形不等式：

b．　　?

⑷运算性质：

①交换律：

a；②结合律：

c；③　　?

a．　　?

⑸坐标运算：

设a?

x1,y1?

，b?

x2,y2?

，则a?

x1?

x2,y1?

y2?

．　　C　　　　?

a　　　　18、向量减法运算：

　　⑴三角形法则的特点：

共起点，连终点，方向指向被减向量．　　?

⑵坐标运算：

设a?

x1,y1?

，b?

x2,y2?

，则a?

x1?

x2,y1?

y2?

．?

设?

、?

两点的坐标分别为?

x1,y1?

，?

x2,y2?

，则?

x1x2y,1?

y2?

b　　?

．　　?

C　　19、向量数乘运算：

⑴实数?

与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?

a．　　?

①?

a；　　②当?

0时，?

a的方向与a的方向相同；当?

0时，?

a的方向与a的方向相反；当　　?

0时，?

0．　　?

⑵运算律：

①?

a；②?

a；③?

b．　　?

⑶坐标运算：

设a?

x,y?

，则?

x,y?

x,?

．　　?

20、向量共线定理：

向量aa?

0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?

，使b?

a．　　?

设a?

x1,y1?

，其中b?

0，则当且仅当x1y2?

x2y1?

0时，向量a、bb?

0b?

x2,y2?

，　　?

共线．　　?

21、平面向量基本定理：

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面?

内的任意向量a，有且只有一对实数?

1、?

2，使a?

1e1?

　　22、分点坐标公式：

设点?

是线段?

2上的一点，?

1、?

2的坐标分别是?

x1,y1?

，?

x2,y2?

，?

x2y1?

y2?

当?

2时，点?

的坐标是?

1,?

．　　1?

23、平面向量的数量积：

⑴a?

abcos?

0,b?

0,0?

180．零向量与任一向量的数量积为0．　　?

ab；⑵性质：

设a和b都是非零向量，则①a?

0．②当a与b同向时，?

当a与b反向时，a?

ab；a?

a或a?

a．③a?

ab．　　?

⑶运算律：

①a?

a；②?

b；③a?

c．　　?

⑷坐标运算：

设两个非零向量a?

x1,y1?

，b?

x2,y2?

，则a?

x1x2?

y1y2．　　?

若a?

x,y?

，则a2?

22?

y，或a?

y．　　22?

设a?

x1,y1?

，b?

x2,y2?

，则a?

x1x2?

y1y2?

0．　　?

ab?

x,ya?

x,y设、b都是非零向量，?

22?

，是与b的夹角，则?

11?

，　　?

bcos?

abx1x2?

y1y2x?

y2121x?

y2222．　　24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴cos?

cos?

sin?

；　　⑵cos?

cos?

sin?

；⑶sin?

sin?

cos?

sin?

；⑷sin?

sin?

cos?

sin?

；⑸tan?

tan?

　　；⑹tan?

tan?

．　　25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

　　⑴sin2?

2sin?

cos?

．⑵　　cos2?

cos2?

sin2?

2cos2?

2sin2?

．　　⑶tan2?

2tan?

tan2?

．　　26、?

sin?

cos?

2sin?

，其中tan?

．　　　　　　　　，　　高中数学必修5知识点　　1、正弦定理：

在?

C中，a、b、c分别为角?

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