数学与应用数学专业论文英文文献翻译.docx
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数学与应用数学专业论文英文文献翻译
Chapter3
Interpolation
Interpolationistheprocessofdefiningafunctionthattakesonspecifiedvaluesatspecifiedpoints.Thischapterconcentratesontwocloselyrelatedinterpolants,thepiecewisecubicsplineandtheshape-preservingpiecewisecubicnamed“pchip”.
3.1TheInterpolatingPolynomial
Weallknowthattwopointsdetermineastraightline.Moreprecisely,anytwopointsintheplane,
and
with
determineauniquefirstdegreepolynomialin
whosegraphpassesthroughthetwopoints.Therearemanydifferentformulasforthepolynomial,buttheyallleadtothesamestraightlinegraph.
Thisgeneralizestomorethantwopoints.Given
pointsintheplane,
，
withdistinct
’s,thereisauniquepolynomialin
ofdegreelessthan
whosegraphpassesthroughthepoints.Itiseasiesttorememberthat
thenumberofdatapoints,isalsothenumberofcoefficients,althoughsomeoftheleadingcoefficientsmightbezero,sothedegreemightactuallybelessthan
.Again,therearemanydifferentformulasforthepolynomial,buttheyalldefinethesamefunction.
Thispolynomialiscalledtheinterpolatingpolynomialbecauseitexactlyre-producesthegivendata.
，
Later,weexamineotherpolynomials,oflowerdegree,thatonlyapproximatethedata.Theyarenotinterpolatingpolynomials.
ThemostcompactrepresentationoftheinterpolatingpolynomialistheLa-grangeform.
Thereare
termsinthesumand
termsineachproduct,sothisexpressiondefinesapolynomialofdegreeatmost
.If
isevaluatedat
alltheproductsexceptthe
tharezero.Furthermore,the
thproductisequaltoone,sothesumisequalto
andtheinterpolationconditionsaresatisfied.
Forexample,considerthefollowingdataset:
x=0:
3;
y=[-5-6-116];
Thecommand
disp（[x;y]）
displays
0123
-5-6-116
TheLagrangianformofthepolynomialinterpolatingthisdatais
Wecanseethateachtermisofdegreethree,sotheentiresumhasdegreeatmostthree.Becausetheleadingtermdoesnotvanish,thedegreeisactuallythree.Moreover,ifweplugin
or3,threeofthetermsvanishandthefourthproducesthecorrespondingvaluefromthedataset.
PolynomialsareusuallynotrepresentedintheirLagrangianform.Morefre-quently,theyarewrittenassomethinglike
Thesimplepowersofxarecalledmonomialsandthisformofapolynomialissaidtobeusingthepowerform.
Thecoefficientsofaninterpolatingpolynomialusingitspowerform,
can,inprinciple,becomputedbysolvingasystemofsimultaneouslinearequations
Thematrix
ofthislinearsystemisknownasaVandermondematrix.Itselementsare
ThecolumnsofaVandermondematrixaresometimeswrittenintheoppositeorder,butpolynomialcoefficientvectorsinMatlabalwayshavethehighestpowerfirst.
TheMatlabfunctionvandergeneratesVandermondematrices.Forourex-ampledataset,
V=vander（x）
generates
V=
0001
1111
8421
27931
Then
c=V\y’
computesthecoefficients
c=
1.0000
0.0000
-2.0000
-5.0000
Infact,theexampledatawasgeneratedfromthepolynomial
.
OneoftheexercisesasksyoutoshowthatVandermondematricesarenonsin-gularifthepoints
aredistinct.ButanotheroneoftheexercisesasksyoutoshowthataVandermondematrixcanbeverybadlyconditioned.Consequently,usingthepowerformandtheVandermondematrixisasatisfactorytechniqueforproblemsinvolvingafewwell-spacedandwell-scaleddatapoints.Butasageneral-purposeapproach,itisdangerous.
Inthischapter,wedescribeseveralMatlabfunctionsthatimplementvariousinterpolationalgorithms.Allofthemhavethecallingsequence
v=interp（x,y,u）
Thefirsttwoinputarguments,
and
arevectorsofthesamelengththatdefinetheinterpolatingpoints.Thethirdinputargument,
isavectorofpointswherethefunctionistobeevaluated.Theoutput,v,isthesamelengthasuandhaselements
Ourfirstsuchinterpolationfunction,polyinterp,isbasedontheLagrangeform.ThecodeusesMatlabarrayoperationstoevaluatethepolynomialatallthecomponentsofusimultaneously.
functionv=polyinterp（x,y,u）
n=length（x）;
v=zeros（size（u））;
fork=1:
n
w=ones（size（u））;
forj=[1:
k-1k+1:
n]
w=（u-x（j））./（x（k）-x（j））.*w;
end
end
v=v+w*y（k）;
Toillustratepolyinterp,createavectorofdenselyspacedevaluationpoints.
u=-.25:
.01:
3.25;
Then
v=polyinterp（x,y,u）;
plot（x,y,’o’,u,v,’-’）
createsfigure3.1.
Figure3.1.polyinterp
Thepolyinterpfunctionalsoworkscorrectlywithsymbolicvariables.Forexample,create
symx=sym（’x’）
Thenevaluateanddisplaythesymbolicformoftheinterpolatingpolynomialwith
P=polyinterp（x,y,symx）
pretty（P）
produces
-5（-1/3x+1）（-1/2x+1）（-x+1）-6（-1/2x+3/2）（-x+2）x
-1/2（-x+3）（x-1）x+16/3（x-2）（1/2x-1/2）x
ThisexpressionisarearrangementoftheLagrangeformoftheinterpolatingpoly-nomial.SimplifyingtheLagrangeformwith
P=simplify（P）
changesPtothepowerform
P=
x^3-2*x-5
Hereisanotherexample,withadatasetthatisusedbytheothermethodsinthischapter.
x=1:
6;
y=[161821171512];
disp（[x;y]）
u=.75:
.05:
6.25;
v=polyinterp（x,y,u）;
plot（x,y,’o’,u,v,’-’）;
produces
123456
161821171512
createsfigure3.2.
Figure3.2.Fulldegreepolynomialinterpolation
Alreadyinthisexample,withonlysixnicelyspacedpoints,wecanbegintoseetheprimarydifficultywithfull-degreepolynomialinterpolation.Inbetweenthedatapoints,especiallyinthefirstandlastsubintervals,thefunctionshowsexcessivevariation.Itovershootsthechangesinthedatavalues.Asaresult,full-degreepolynomialinterpolationishardlyeverusedfordataandcurvefitting.Itsprimaryapplicationisinthederivationofothernumericalmethods.
第三章插值多项式
插值就是定义一个在特定点取给定值得函数的过程。
本章的重点是介绍两个紧密相关的插值函数：
分段三次样条函数和保形分段三次插值函数（称为“pchip”）
3.1插值多项式
人们知道两点确定一条直线，或者更确切地说，平面上任意两点
和
，只要
，就唯一确定一个关于
的一次多项式，其图形经过这两个点。
对于这个多项式，有多种不同的公式表示，但是它们都对应同一个图形。
把上述讨论推广到多于两个点的情况。
则对于平面上有着不同
值的
个点，
，
，存在唯一一个关于
的次数小于
的多项式，使其图形经过这些点。
很容易可看出，数据点的数目
也是多项式系数的个数。
尽管，一些首项的系数可能是零，但多项式的次数实际上也小于
。
同样，这个多项式可能有不同的公式表达式，但它们都定义着同一个函数。
这样的多项式称为插值（interpolating）多项式，它可以准确地重新计算出初始给定的数据：
，
后面，我们会考察另外一些较低次的多项式，这些多项式只能接近给定的数据，因此它们不是插值多项式。
表示插值多项式的最紧凑的方式是拉格朗日（Lagrange）形式
在这个公式中，对
项进行亲和，而每一个连乘符号中含有
项，因此它定义的多项式最高次数为
。
当
时计算
，除了第
项外，其他的乘积都为零，同时，这第
项乘积正好为1，所以求和结果为
，满足插值条件。
例如，考虑下面一组数据。
x=0:
3;
y=[-5-6-116];
输入命令
disp（[x;y]）
其输出为
0123
-5-6-116
这些数据的拉格朗日形式的多项式为
可以看出上式为四个三次多项式求和，因此最后结果最高为三。
由于求和后最高次项系数不为零，所以此式就是一个三次多项式。
而且，如果将
或者3代入上式，其中有三项都为零，而第四项结果正好符合给定数据。
一个多项式通常不用拉格朗日形式表示，它更常见地写成类似
的形式。
其中简单的
的次方项称为单项式（momomial），而多项式的这种形式称为使用幂形式（powerform）的多项式。
插值多项式使用幂形式表示为
其中的系数，原则上可以通过求解下面的线性代数方程组得到。
这个线性方程组的系数矩阵记为
，也被称为范德尔蒙（Vandermonde）矩阵，该矩阵的各个元素为
上述范德尔蒙矩阵的各列，有时也按相反的顺序排列，但在MATLAB中，多项式系数向量，通常按从高次幂到低次幂排列。
MATLAB中的函数vander可以生成范德尔蒙矩阵，例如对于前面的那组数据，
V=vander（x）
生成
V=
0001
1111
8421
27931
然后，输入命令
c=V\y'
计算出插值系数。
c=1.0000
0.0000
-2.0000
-5.0000
事实上，这个例子的数据就是根据多项式
生成的。
在本章的习题3.6中，要证明当插值点的位置
互不相同时，范德尔蒙矩阵是非奇异的。
而在练习3.19中，则请读者证明范德尔蒙矩阵的条件可能非常差。
通过两个练习我们可以发现，对于一组间隔比较均匀、函数值变化不大的数据，适合采用幂形式的插值多项式和范德尔蒙矩阵进行求解。
但对于一般的问题，这个方法有时是危险的。
在本章中，将介绍几个能实现各种插值算法的MATLAB函数，它们都采用下面的调用格式
前两个输入参数，
和
，是长度相同的向量，它们定义了插值点。
第三个参数
，为要计算函数值的范围上的点组成的向量。
输出向量
和
长度相等，其分量
。
要介绍的第一个这样的插值函数是polyinterp，它基于拉格朗日形式。
程序使用了MATLAB的数组操作，来同时计算出多项式在
向量各分量上的值。
functionv=plyinterp（x,y,u）
n=length（x）;
v=zeros（size（u））;
fork=1:
n
w=ones（size（u））;
forj=[1:
k-1k+1:
n]
w=（u-x（j））./（x（k）-x（j））.*w;
end
v=v+w*y（k）;
end
为了解释polyinterp函数的功能，先构造一个间隔很密的求值点向量。
u=-0.25:
0.01:
3.25;
然后输入命令
v=polyinterp（x,y,u）;
plot（x,y,'o',u,v,'-'）;
可生成图3_1。
函数polyinterp也可以处理符号变量，例如，创建符号变量
symx=sym（'x'）
然后用下面的命令，计算并显示插值多项式的符号形式
P=polyinterp（x,y,symx）
Pretty（P）
其输出结果为
-5（-1/3x+1）（-1/2x+1）（-x+1）-6（-1/2x+3/2）（-x+2）x
-1/2（-x+3）（x-1）x+16/3（x-2（1/2x-1/2）x
将其进行简化，从而得到P的幂形式
P=
x^3-2*x-5
下面是另一个例子，使用的是本章另一种方法所用数据。
x=1:
6;
y=[161821171512];
disp（[x;y]）;
u=.75:
.05:
6.25;
v=polyinterp（x,y,u）;
plot（x,y,’o’,u,v,’-’）;
运行后结果为
123456
161821171512
同时输出图3_2。
图3_1polyinterp图3_2完整次数（full_degree）多项式插值
在这个仅包含6个正常间距插值值点的例子里，我们已经可以看出，完整次数多项式插值的主要问题了。
在数据点之间，特别是第一个和第二个点之间，函数值表现出很大的变化。
它超出了给定数据值的变化，因此，完整次数多项式插值很少用于实际的数据或曲线拟合，它主要用于推导出其他的数值方法。
指导教师：
翻译：
胡鹤
完成时间：
2013.3.10
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