初中一元二次方程讲解.docx
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初中一元二次方程讲解
23.1—元二次方程
类型1、一元二次方程的概念
解题要点：
（1）若一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：
①是整式方程；②只含有一个未知
数；③未知数的最高次数是2,三个条件缺一不可。
（2）有些方程需要先整理，再判断。
（3）分母中含有未知数或根号下含有未知数的方程均不是一元二次方程。
题型1、一元二次方程的判别
例1•下列是一元二次方程的是（）
5x222•c.D•B•A32xx）1（t）2t（t1（x1）（x2）x221x例2.下
列方程哪些是一元二次方程？
指岀它们的序号。
1132222）4（3）
（1））
（6）（55）x3（x2）（46x2x（3x5）
（2（;
;01xx01x01yxx
x122
）
题型2、利用一元二次方程的概念求字母的值。
|m|是关于的一元二次方程，则（.
方程
）例
3x013xm2）mx（A.B.
C.D.
2m2m2m2m
22是一元二次方程的条件是什么？
例4.
关于的方程x2
mxmx3xx
题型3、利用一元二次方程的概念求不等式的解集
.若）例5aa03ax5x03a61
2是一元二次方程，且满足不等式，则的取值范围是（
且CBA...0aaa222a
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类型2、一元二次方程的一般形式
解题要点：
（1）一元二次方程一般形式的特点是：
方程左边是按未知数降幕排列的整式，右边是0,并且
在通常情况下，左边各项系数不含有公约数。
2,后确定各项系数和常数项，一般形式中，、可以等于2）先化为一般形式：
0。
（c0axbxcba0
（3）在应用时，如果求各项系数，不要漏掉前面的符号。
题型1、化方程为一元二次方程的一般形式
2化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数，一次项系数、．把方程例62y2）（2y1）（3y常数项。
题型2、利用一元二次方程的隐含条件解题
|a|1，
（1）、为何值时，关于的方程是一元一次方程？
（2）是一元二次方程？
例7xa03）xx43（a）（a
|a|2是一元二次方程，指出其二次项系数、一次项系数及常数项。
8、方程例0）xxa8（a4
2的二次项系数、一次项系数及常数项之和为5，、若一元二次方程求的值。
例
9k0）2）（2xk8x（k3
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、一元二次方程的根（解）类型3解题要点：
）根必须满足两个条件：
①未知数的值；②必须使方程左右两边相等。
（12（）用代入法验证一个数值是否为一元二次方程的解时，只要看方程左右两边是否相等即可。
题型1、判断一元二次方程的根243，20，1，，例10．下列哪些数是一元二次方程的根？
，，，3x4x312
2、由一元二次方程的根求未知数的值。
题型22的值。
的一个根是0,求例11、关于的一元.
次方程ax01x1（a）xa
26x的根，求和、已知的值。
，是关于的一元二次方程12例ax0xaxbb2x
题型3、由一元二次方程的根求代数式的值。
22ba2，求的值。
是一元二次方程例13、已知的一个根，且040axbxba1x.b22a
201022是方程14、已知的一个根，试求的值。
例a0x2010x1a2009a21a
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题型4、已知两方程有公共根，求代数式的值。
220092的值。
与有一个公共根，求例15、已知关于的方程x）qp0（pxqx）q0（pxpxq
类型4、列一元二次方程
解题要点：
一元二次方程一般源于实际生活中的问题，解决问题的关键是先列岀一元二次方程，列方程时需
注意的两个方面：
（1）设一个未知数，由其他未知量与这个未知数的关系，用表示其他量。
xx
（2）寻找以上各
量间的等量关系，一般为积的关系或平方差与平方和的关系，根据此关系列岀一元二次方程。
3,高为6cm，底面的长比宽多5cm16、已知一个长方体粉笔盒的体积为750cm，若设这个粉笔
盒的底例面的宽为cm，请根据题意列岀方程，并将其他为一般形式。
x
例17.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使
得每次钉入木板的钉子的长度后一次与前一次的比值为（），已知一个钉子受击三次后恰好全部进
入木1kk04,,且第一次受击后进入木板的钉长度是钉长的板（铁钉在第二次受击后未入木板
的部分足够长）
7）1，那么符合这一事实的方程是（
设铁钉的长度为
44448444422
AD...BC11kk
1k1kkk
777777777
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接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义。
2时，的一元二次方程，常用直接开平
方法求解，当方程的根是，
（2）对于形如0p）0xpp（px。
0xX212的一元二次方程，也可以
用直接开平方法求解，方程的根为（3）对于形如）0,pmxn）0p（m（pnn,当时，。
x0pxx21
-mm）解题时，一定要注意方程有两个根。
（4、用直接开平方法解一元二次方程的必备条件
题型12例18、用直接开平方法解方程），方程有根的条件是（bc）a（x、同号
或，.D.A.B.Ca0a0,b00ba0ba题型2、用直接开平方法解一元二
次方程2、求一元二次方程的根。
例190（x）322例20、求一元二次方程的根。
）x（3（2x1）6、
因式分解法类型解题要点：
。
（1）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤可归纳为“右边化
零，左边分解，分别为零，求解”、提公因式法等，需注意一般方程的左）因式分解的常用方法：
公式法（完全平方公式、平方差公式）（2。
边是因式的积，右边等于0）不是所有的一元二次
方程都能用因式分解法求解。
（32题型1、用因式分解法解形如的一元二次方程。
）0aaxbx0（例
21、用因式分解法解下列方程：
22）
（2）（155x5x）2（x23（x2）
2、用因式分解法解形如（、为常数）的一元二次方程。
题型2ab0）bxabx（a22、用因式分解
法解下列方程。
例22）
（1）（2;06xx1606）（x23x
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23、用因式分解法解形如的一元二次方程。
题型）0c0（axabx、用因式分解法解下列方程：
例
2322）；（
（1）2;013x66x5x106x
题型4、因式分解法在解一元二次方程中的综合应用22x22x例24、当0为何值时，代数式。
的值等于x22x
2ABC的周长。
例25、已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，求厶010x7x
、配方法7类型解题要点：
222和直接开平方法解一元二次为依1）配方法解一元二次方程是以
完全平方公式（）bb（aa2ab据。
配方法的关键是配方，把一个一元二次方程的左边配成一个
含有未知数的完全平方式，右边是一个（2非负数。
（。
3）配方法的一般步骤可以归纳为“一
除、二移、三配、四开方”22的一元二次方程题型1、用配方法解形如）4cbbxc0（0x、用配
方法解下列方程例26222）（）（1Ox105x7x4x
22、用配方法解形如的一元二次方程题型2）04c0axbxc0（a,b27、用配方法解下列方程：
例
222）
（1）；（2；（3）0x447x070x3x485x2x
、公式法类型8解题要点：
2acb4b22）一元二次方程的求根公式为。
（1）0（aOaxbxc）Ob4acx（—a2
（2）一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用
配方法解一般形式的一元二次方程2的过程。
）a0axbxc0（（3）由求根公式知，一元二次方
程的根是由系数、、决定的，只要确定了、、的值就可以代cacabb6/16
入求根公式求岀一元二次方程的根。
1、用公式法解系数为整数的一元二次方程。
题型2）例
28、方程的正根为（2xx4..CD.A.B633662622、用公
式法解方程：
例29x104x84x1
、用公式法解系数为分数或小数的一元二次方程题型2、用公式法解下列方程：
例3021xx212）
（1
（2）;
010.2x0.3x0..323
0kx12xk
于的方程x0x21kx4x12的另一个根。
2
（1）求的值；（）求方程
9、根的判别式类型解题要点）在用根的判别式判别根的情况时，是在一元二次方程的一般形式下进行的，即先将方程化为（12的大小关系。
的形式，再确定根的判别式与
0）0ax0bxc（a22acb4bacb4b2，当2）当时，方程有两个不相等的实数根，（x04acbx21
.a2a2b22时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。
0ac0b4b4acxx21.a2（3）
通过计算根的判别式的值，可以在不解方程的情况下判断方程的根的情况。
4）由方程的根情况
可以得知根的判别式的情况，进而得岀方程中未知字母的取值情况。
（、由根的判别式来确定根
的情况题型132、不解方程，判断下列关于的一元二次方程的根的情况。
例X222X454x53）（;）;
（2
（1）83xx0x）m（mx241
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2、由根的情况来确定方程中的待定系数。
题型22）例33、已知方程有两个不相等的实根，
那么的最大整数值是（k0kxk（21）x1
D.B.C.0A.1222.当取何值时，一元二次方程34例
m01）x2m2x（4m1）没有实数根。
）有两个相等的实数根；（3
（1）有两个不相等的实数根；
（2
、根的判别式与三角形的综合应用题型32）、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是
（例35、已知cabO））x2ex（ab（ab•有两个不相等的实根DC•有两个相等的实根A•没
有实根B•可能有且仅有一个实根
有两个相的三边，且方程是厶ABC36•已知、、例cabOxa）c）（xc）（（xa）（xb）（xb）（xABC的形
状。
等的实根，试判断厶
10、选择合适的方法解一元二次方程类型解题要点：
1）解一元二次方程的基本思路；将二次
方程通过“降次”化为一次方程。
（2）解一元二次方程的方法口诀：
（如果缺少常数项，因式
分解没商量；方程没有一次项，直接开方最理想；
同时不为零，因题而异择良方。
、、相等都为零，等根是零不要忘；ccbb）在用多种
方法都可以解一元二次方程且没有特殊规定方法时，首先考虑的方法是直接开平方法和因3（式
分解法，其次再考虑配方法和求根公式法。
•用适当的方法解下列方程：
例3721222XX;4（）
（；
（1）；
（2）3）；x12x14）x7）（xx78（25x（61）”_28
例38、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：
因式分解法、直接开平方法、配方法和公式
法，请选择你认为适当的方法解下列方程：
22224））;（（1（）；
（2）；34x01x3x02xxx531x（）
类型11、一元二次方程的实际应用
例39、金鑫商店1月份的利润是2500元，3月份的利润为3000元，这两个月的利润平均月增长
率是多少？
（精确到0.1%）
2的长方形活动场地，准备一边靠墙，其余三边、明月兔业养殖厂在兔舍外面开辟了一个面积为
20m例40利用长14m的旧围栏，已知墙面长6m，问：
围成长方形的长和宽各是多少？
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23.3实践与探索
类型12、一元二次方程与生活实践解题要点：
（1）用一元二次方程解决实际问题的一般步骤可归纳为“审、设、列、解、验、答”。
（2）在解决实际问题时有几个重要环节：
①完整、准确地审清题意；②提取问题中的等量关系；
③正确地求解方程并检验解的合理性。
题型1、平均增长率（降低率）问题
例41、义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆，已知2005年底全市汽车拥有量为72983辆，请解答如下问题：
（1）2005年底至2007年底义乌市汽车拥有量的年平均增长率是多少？
（结果精确到0.1%）
（2）为保护城市环境，要求义乌市到2009年底汽车拥有量不超过158000辆，据估计从2007
年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4%，那么每年新增汽车数量最多不超
过多少辆？
（假定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位）。
题型2、商品经营策略问题
例42、某商店如果将货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价，尽可能减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5元，其销售量就会减少10件，那么，将售价定为多少元时，才能使所赚利润为640元？
题型3、利率问题
例43、李先生将10000元存入银行一年，到期后取出2000元购买彩电，剩余8000元和利息又按一年定期存入银行，若存款的年利率不变，则到期后本息和是8410元，试求不计利息税时这种存款的年利率。
（精确到0.01%）.
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5m，例44、用12m
、面积问题题型42那么此时长方形的长是多少？
宽）如果长方形的面积为
长的一根铁丝围成长方形，（122）能围成的长方）能否围成面积是10m3是多少？
如果面积是8m
、根与系数的关系类型13解题要点：
在根与系数的关系中包含的两个条件和两个结论：
2）
两个条件：
①方程是一元二次方程，即二次项系数；②方程有实数根，即；（10b4acOab2；②
的两个根，则①
（2）两个结论：
若、是一元二次方程xx）0（aOaxbxcxx2121-ac。
xx2i
a、不解方程，求根与系数的关系。
题型1例45、不解方程，检验以下方程的解是否正确。
252522）x,4x8x10（x）；（（12））71,x（x6x70x2121,,22
例46、不解方程，求岀方程的两根之和与两根积;
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题型2、不解方程，求含有方程两根的代数式的值。
2的两根分别为、，不解方程求下列各代数式的值。
47、设方程例0xx312xx211122
（3）
（1））3xx3）（（xX2121.xx21
题型3、利用根与系数的关系求字母的值。
2的一个根为，则=例48、若一元二次方程。
p30pxx3
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、根据要求构造一元二次方程解题题型4,，试求作一个一元二次方程，使此方程的两根分别为、
50例、已知xx3xx2322121
例51、已知两个数的和为，积为12,求这两个数题型5、根与系数关系的综合问题
52x0）4（a1）3x（a5x
22的两个实数根分别是一个直角三角形的两、已知关于的一元二次方程例
条直角边，该直角三角形的周长是30，求此三角形的面积。
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全章总结
类型14、数学思想方法
解题要点：
（1）转化思想是把复杂的问题变为简单的问题，把难的问题变为容易的问题，把未知的知识变为已知的知识来解决，本章把高次方程降次为一元二次方程或一元一次方程来求解，这就是转化思想在解方程中的应用。
（2）数学建模思想是指在解决实际问题时，通过对已知条件和未知条件的分析，提炼出实际问题与数学知识的联系，将其转化为相应的数学问题，从数学角度解决问题，它可以化难为易，化抽象为具体地解决实际问题。
（3）分类讨论思想是一种常见的数学思想方法，具体地说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决，从而达到解决整个问题的目的，即“化整为零，各个击破”。
题型1、转化思想
4253、解方程：
例05xx6
例54、数学建模思想
2，因为准、在某市实施棚户区改造过程中，某工程队承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m例542。
1440m，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了备不足，第一天少拆迁了20%
（1）求该工程队第一天拆迁的面积。
（2）若该工程队第二天、第三天每天拆迁的面积比前一天增加的百分数相同，求这个百
分数。
题型3、分类讨论思想
2的两个实数的一元二次方程AC的长是关于.已知△ABC的两边AB、55例xO）（k1（2k1）xkx
根，第三边BC的长为5。
（1）为何值时，
△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
k
（2）为何值时，△ABC
是等腰三角形？
并求△
ABC的周长。
k
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类型15、一题多解
256、分别用三种方法解一元二次方程例O166xx
类型16、判断说理题
2abab是关于的一元二次方程，求、57、若的值，下面是两位同学的解法。
例
axO13xxb2ab2a1甲：
根据题意，得，解得ab1bO2ab22ab1a1a1乙：
根据题意，得，或，解方程组得或，ab1ab2b1bO你认为上述两位同学的解法是否正
确？
为什么？
如果都不正确，请给出正确的解法。
类型17、定义新运算题
例58、若规定两实数、通过运算*得，即，例如a486644ababa*b42b2*
（1）求3*5
的值。
x值。
中的2）若（02*4**xx2xxa的值。
取何值时，总有）若无论（3,求xa*x
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18、学科间综合题类型12是竖直上抛时59、已知竖直上抛的物体离地面的高度和抛岀时间的关
系是，例vsh（m））t（gtthvoo_22m/s的瞬间速度，常数取10m/s，问：
，设g30vo25m?
（1）隔
多长时间物体的高度是
2）多长时间以后物体回到原处？
（3）隔多长时间物体达到最大高度，最大高度是多少？
（
、阅读理解题类型191260、按下列范例提供的方法解方程例049x72acb4b22为的根
根为，方程的一元二次方程x0）byacy0bxaxc0（a.a224bacby22的根，的根，只要
求岀，显然有，因为要求y0ac0（a0）byyaxbxcx2a再除以就可以了。
a12范例：
解方程
0x872x.612,解得解：
解方程，6yy2072y8y216121612的两根为，.••方程
872xxx0x21127236726
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类型20、规律探究题
例61、已知下列（为正整数）个关于的一元二次方程：
xnn2①01X2②
02xx2③032xx……
2O0nx1（n）xn；
（1）请解上述一元二次方程①②③……on
（2）请你指岀这个方程的根
有什么共同特点，写出一条即可。
n
类型21、图形拼割题
例62、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长。
类型22、方案设计题：
例63、在一块长16米，宽12米的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？
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