中考数学平行四边形综合题汇编含详细答案.docx

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中考数学平行四边形综合题汇编含详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．

（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k＞0），第

（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？

若成立，以图4为例简要说明理由．

（3）在第

（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=

，求BE2+DG2的值．

【答案】

（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；

（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．

【解析】

分析：

（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；

②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；

（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到

（1）中的位置关系仍然成立；

（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．

详解：

（1）①BG⊥DE，BG=DE；

②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCG=∠DCE，

∴△BCG≌△DCE，

∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，

又∵∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHG=90°，

∴BG⊥DE．

（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，

∴

，

又∵∠BCG=∠DCE，

∴△BCG∽△DCE，

∴∠CBG=∠CDE，

又∵∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHG=90°，

∴BG⊥DE．

（3）连接BE、DG．

根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，

∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°

∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG

2=9+4+2.25+1=16.25．

点睛：

此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．

2．已知：

在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF．

求证：

四边形AECF是菱形．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得AF＝CF，由△ABE≌△CDF，可得AE＝CF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形．

【详解】

证明：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，

∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF

∴△ADF≌△CDF（SAS）

∴AF＝CF，

∵AB∥CD，AE∥CF

∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE

∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD

∴△ABE≌△CDF（AAS）

∴AE＝CF，且AE∥CF

∴四边形AECF是平行四边形

又∵AF＝CF，

∴四边形AECF是菱形

【点睛】

本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.

3．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求证：

AF=BF+EF．

【答案】详见解析.

【解析】

【分析】

由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代换可得证.

【详解】

∵ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°

∵DE⊥AG，

∴∠DEG=∠AED=90°

∴∠ADE+∠DAE=90°

又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，

∴∠ADE=∠BAF．

∵BF∥DE，

∴∠AFB=∠DEG=∠AED．

在△ABF与△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）．

∴BF=AE．

∵AF=AE+EF，

∴AF=BF+EF．

点睛：

此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

4．如图

（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G交AD于F

（1）求证：

AF＝DE；

（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图

（2），求证：

点E是CD中点；

（3）在

（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：

CG＝CD．

【答案】

（1）见解析；

（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析．

【解析】

【分析】

（1）证明△BAF≌△ADE（ASA）即可解决问题．

（2）过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．想办法证明AF＝DF，即可解决问题．

（3）延长AE，BC交于点P，由

（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC＝CP即可．

【详解】

（1）证明：

如图1中，

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，

∴∠2+∠3＝90°

又∵BF⊥AE，

∴∠AGB＝90°

∴∠1+∠2＝90°，

∴∠1＝∠3

在△BAF与△ADE中，

∠1=∠3BA=AD∠BAF=∠D，

∴△BAF≌△ADE（ASA）

∴AF＝DE．

（2）证明：

过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．

由

（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90°，AB＝AD

∴△BAG≌△ADN（AAS）

∴AG＝DN，

又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，

∴DM＝DN，

∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF

∴△AFG≌△DFM（AAS），

∴AF＝DF＝DE＝

AD＝

CD，

即点E是CD的中点．

（3）延长AE，BC交于点P，由

（2）知DE＝CD，

∠ADE＝∠ECP＝90°，∠DEA＝∠CEP，

∴△ADE≌△PCE（ASA）

∴AE＝PE，

又CE∥AB，

∴BC＝PC，

在Rt△BGP中，∵BC＝PC，

∴CG＝

BP＝BC，

∴CG＝CD．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

5．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．

（1）证明：

BE=CF．

（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？

若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．

（3）在

（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？

若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．

【答案】

（1）见解析；

（2）

；（3）见解析

【解析】

试题分析：

（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；

（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；

（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.

试题解析：

（1）证明：

连接AC，

∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=∠ADC=60°

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∴△ABC、△ACD为等边三角形

∴∠4=60°，AC=AB，

∴在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF．（ASA）

∴BE=CF．

（2）解：

由

（1）得△ABE≌△ACF，

则S△ABE=S△ACF．

故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，

是定值．

作AH⊥BC于H点，

则BH=2，

S四边形AECF=S△ABC

=

=

=

；

（3）解：

由“垂线段最短”可知，

当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，

正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．

由

（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF

=

﹣

=

．

点睛：

本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．

6．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．

（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；

（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．

【答案】

（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；

（2）∠EDF＝120°．

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；

（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．

【详解】

解：

（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，即BC∥DG，

由折叠可知，BC＝DG，

∴四边形BCGD是平行四边形，

∵AD⊥BD，

∴∠CBD＝90°，

∴四边形BCGD是矩形；

（2）由折叠可知：

EF垂直平分BD，

∴BD⊥EF，DP＝BP，

∵AD⊥BD，

∴EF∥AD∥BC，

∴

∴AE＝BE，

∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，

∴DE＝AE＝BE，

∵AE＝BD，

∴DE＝BD＝BE，

∴△DBE是等边三角形，

∴∠EDB＝∠DBE＝60°，

∵AB∥DC，

∴∠DBC＝∠DBE＝60°，

∴∠EDF＝120°．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度

7．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；

（1）如图1，当AB＝AC时，求证：

四边形EGHF是矩形；

（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．

【答案】

（1）见解析；

（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．

【解析】

【分析】

（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=

BC，GH∥BC，GH=

BC，推出EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；

（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出S△PGH=

S△AEF=S△APF，即可得出结果．

【详解】

（1）证明：

∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，

∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝

BC，GH∥BC，GH＝

BC，

∴EF∥GH，EF＝GH，

∴四边形EGHF是平行四边形，

∵AB＝AC，

∴AD⊥BC，

∴EF⊥AP，

∵EG∥AP，

∴EF⊥EG，

∴平行四边形EGHF是矩形；

（2）∵PE是△APB的中线，

∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，

∴S△APE＝S△BPE，

∵AP是△AEF的中线，

∴△APE与△APF的底

EP＝FP，又等高，

∴S△APE＝S△APF，

∴S△APF＝S△BPE，

∵PF是△APC的中线，

∴△APF与△CPF的底AF＝

CF，又等高，

∴S△APF＝S△CPF，

∴S△CPF＝S△BPE，

∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，

∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC底边BC上高的一半，

∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，

∵GH＝EF，

∴S△PGH＝

S△AEF＝S△APF，

综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：

△APE、△APF、△CPF、△PGH．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．

8．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．

（1）求AE、EF的位置关系；

（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．

【答案】

（1）见解析；

（2）S△B′EC＝

．

【解析】

【分析】

（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；

（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出.

【详解】

（1）由折线法及点E是BC的中点，

∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，

∴△B'EC是等腰三角形，

又∵EF⊥B′C

∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF＝∠FEC，

∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝90°，即∠AEF＝90°，

即AE⊥EF；

（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，

∴EB＝EB′＝EC，

∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；

又∵△BB'C三内角之和为180°，

∴∠BB'C＝90°；

∵点B′是点B关于直线AE的对称点，

∴AE垂直平分BB′；

在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2

将AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，

∴AO＝

cm，

∴BO＝

＝

cm，

∴BB′＝2BO＝

cm，

∴在Rt△BB'C中，B′C＝

＝

cm，

由题意可知四边形OEFB′是矩形，

∴EF＝OB′＝

，

∴S△B′EC＝

．

【点睛】

考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．

9．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．

（1）求证：

△AED≌△CEB′；

（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．

【答案】

（1）见解析

（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；

（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．

【详解】

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D

∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠

∴BC＝B'C，∠B＝∠B'

∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC

∴△ADE≌△B'EC

（2）四边形AECF是菱形

∵△ADE≌△B'EC

∴AE＝CE

∵AE＝CE，EF⊥AC

∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF

∴AF＝CF

∵CD∥AB

∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF

∴∠AEF＝∠EFA

∴AF＝AE

∴AF＝AE＝CE＝CF

∴四边形AECF是菱形

【点睛】

本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．

10．如图，抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣

）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，写出点E的坐标，并求AC、BE的交点F的坐标

（3）若抛物线的顶点为D，连结DC、DE，四边形CDEF是否为菱形？

若是，请证明；若不是，请说明理由．

【答案】

（1）y=

x2+x﹣

；

（2）F点坐标为（﹣1，﹣1）；（3）四边形CDEF是菱形．证明见解析

【解析】

【分析】

将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式；

根据

（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标，由CE∥x轴，可知C、E关于对称轴对称。

根据A、C点求得直线AC的解析式，根据B、E点求出直线BE的解析式，联立方程求得的解，即为F点的坐标；

由E、C、F、D的坐标可知DF和EC互相垂直平分，则可判定四边形CDEF为菱形．

【详解】

（1）∵抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣

）两点，

∴

，解得

，

∴抛物线解析式为y=

x2+x﹣

；

（2）∵y=

x2+x﹣

，

∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，

∵CE∥x轴，

∴C、E关于对称轴对称，

∵C（0，﹣

），

∴E（﹣2，﹣

），

∵A、B关于对称轴对称，

∴B（1，0），

设直线AC、BE解析式分别为y=kx+b，y=k′x+b′，

则由题意可得

，

，

解得

，

，

∴直线AC、BE解析式分别为y=﹣

x﹣

，y=

x﹣

，

联立两直线解析式可得

，解得

，

∴F点坐标为（﹣1，﹣1）；

（3）四边形CDEF是菱形．

证明：

∵y=

x2+x﹣

=

（x+1）2﹣2，

∴D（﹣1，﹣2），

∵F（﹣1，﹣1），

∴DF⊥x轴，且CE∥x轴，

∴DF⊥CE，

∵C（0，﹣

），且F（﹣1，﹣1），D（﹣1，﹣2），

∴DF和CE互相平分，

∴四边形CDEF是菱形．

【点睛】

本题考查菱形的判定方法，二次函数的性质，以及二次函数与二元一次方程组．