专题训练二 切线的性质和判定的综合应用.docx

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专题训练二切线的性质和判定的综合应用

专题训练

（二）　切线的性质和判定的综合应用

▶　应用一　利用切线的性质证明另一条直线是圆的切线

1.如图2-ZT-1,OA,OD是☉O的半径,过点A作☉O的切线,交∠AOD的平分线于点C,连接CD.

求证:

CD是☉O的切线.

图2-ZT-1

2.如图2-ZT-2,☉O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,P是圆外一点,PA切☉O于点A,且PA=PB.求证:

PB是☉O的切线.

图2-ZT-2

3.如图2-ZT-3,已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,☉D与OA相切于点E.求证:

OB与☉D相切.

图2-ZT-3

▶　应用二　切线的性质与判定的综合应用

4.[2019·常德]如图2-ZT-4,☉O与△ABC的AC边相切于点C,与AB,BC边分别交于点D,E,

DE∥OA,CE是☉O的直径.

（1）求证:

AB是☉O的切线;

（2）若BD=4,CE=6,求AC的长.

图2-ZT-4

5.[2019·枣庄]如图2-ZT-5,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作☉O,D为☉O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.

（1）判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;

（2）若BE=2,DE=4,求圆的半径及AC的长.

图2-ZT-5

6.如图2-ZT-6,已知AB是半圆O的直径,且AB=12,AP是半圆的切线,C是半圆上的一动点（不与点A,B重合）,过C作CD⊥AP于点D,记∠COA=α.

（1）当α=60°时,求CD的长;

（2）当α为多少时,CD与☉O相切?

说明理由;

（3）当AD=3

时,求α.

图2-ZT-6

7.已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O是BC上一动点,以O为圆心,OB为半径作圆.

（1）如图2-ZT-7①,若O是BC的中点,☉O与AC相交于点D,E为AB的中点,试判断DE与☉O的位置关系,并证明;

（2）在

（1）的条件下,将Rt△ABC沿BC所在的直线向右平移,使点B与圆心O重合,如图2-ZT-7②,若☉O与AC相切于点D,求

的值.

图2-ZT-7

8.如图2-ZT-8,PA与☉O相切于点A,弦AB⊥OP,垂足为C,OP与☉O相交于点D,已知OA=2,OP=4.

（1）求∠POA的度数;

（2）求弦AB的长;

（3）过P,B两点的直线是不是☉O的切线,说明理由.

图2-ZT-8

▶　应用三　与切线的性质、判定有关的探究题

9.如图2-ZT-9,AB为圆O的直径,点C在半圆上从点A运动到点B（点C不与点A,B重合）,过点B作圆O的切线,交AC的平行线OD于点D,连接CB交OD于点E,AB=10.

（1）求证:

无论点C在何处,CD总是圆O的切线;

（2）若记AC=x,OD=y,请列出y与x的函数表达式,并写出自变量的取值范围;

（3）试探索:

当点C运动到何处时,四边形CAOD是平行四边形,请说明理由.

图2-ZT-9

教师详解详析

1.证明:

∵OC平分∠AOD,∴∠COA=∠COD.∵OC=OC,OA=OD,∴△AOC≌△DOC（SAS）,∴∠CAO=∠CDO.又∵AC为☉O的切线,∴OA⊥AC,∴∠CAO=∠CDO=90°,∴OD⊥CD.∵OD为☉O的半径,∴CD是☉O的切线.

2.证明:

连接OB,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA,

即∠PAO=∠PBO.∵PA是☉O的切线,

∴∠PAO=90°,∴∠PBO=90°,∴OB⊥PB.

又∵OB是☉O的半径,∴PB是☉O的切线.

3.证明:

如图,连接DE,过点D作DF⊥OB于点F.

∵OA切☉D于点E,

∴DE⊥OA.

∵OC平分∠AOB,∴DE=DF,

∴☉D与OB相切于点F.

4.解:

（1）证明:

如图,连接OD.∵DE∥OA,∴∠AOC=∠OED,∠AOD=∠ODE.∵OD=OE,∴∠OED=∠ODE,∴∠AOC=∠AOD.又∵OA=OA,OD=OC,∴△AOD≌△AOC（SAS）,∴∠ADO=∠ACO.∵CE是☉O的直径,AC为☉O的切线,∴OC⊥AC,∴∠ACO=90°,∴∠ADO=∠ACO=90°,∴OD⊥AB.∵OD为☉O的半径,∴AB是☉O的切线.

（2）∵CE=6,∴OD=OC=3.由

（1）知∠BDO=90°,∴BO2=BD2+OD2.∵BD=4,∴OB=

=5,∴BC=8.∵∠BDO=∠OCA=90°,∠B=∠B,∴△BDO∽△BCA,∴

=

∴

=

∴AC=6.

5.解:

（1）直线CD与☉O相切.理由:

连接CO.∵点B,D在圆上,∴OD=OB.∵CD=CB,CO=CO,∴△COD≌△COB（SSS）,∴∠ODC=∠ABC=90°,∴OD⊥CD,∴直线CD与☉O相切.

（2）设OD=OB=x.∵DE=4,∴OE=4-x.在Rt△OBE中,BE2+BO2=OE2,即22+x2=（4-x）2,解得x=1.5,∴OD=OB=1.5,即圆的半径为1.5,AB=2OB=3.设CB=CD=y.在Rt△CDE中,CD2+DE2=CE2,即y2+42=（y+2）2,解得y=3,∴CB=3.在Rt△ABC中,AC=

=3

.

6.解:

（1）过点C作CE⊥AB于点E,由题可知OC=OA=6且四边形CEAD是矩形,∴CD=AE.在直角三角形OCE中,OE=OC·cos∠COA=6×

=3,则CD=AE=OA-OE=6-3=3.

（2）α=90°时,CD与☉O相切.理由:

∵AP是半圆的切线,∴∠OAD=90°.当α=90°时,在四边形OCDA中,∠COA=∠OAD=∠CDA=90°,∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD.

又∵OC为☉O的半径,

∴CD与☉O相切.

（3）过点C作CE⊥AB于点E.当点C的位置如图①时,在直角三角形OCE中,OC=6,CE=AD=3

∴sin∠COE=

=

∴∠COE=45°,

则α=45°.

当点C的位置如图②时,∠COE=45°,

则α=180°-45°=135°.故α=45°或α=135°.

7.解:

（1）DE与☉O相切.

证明:

连接OD,BD.∵BC是☉O的直径,∴∠BDC=90°.在Rt△ABD中,E为AB的中点,∴DE=BE=

AB,∴∠EBD=∠EDB.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°,∴∠EDB+∠ODB=90°,即∠ODE=90°,∴OD⊥DE.又∵OD是☉O的半径,∴DE与☉O相切.

（2）连接OD.∵AC切☉O于点D,∴BD⊥AC.在Rt△BCD中,BC=2BD,

∴sinC=

=

∴∠C=30°.

∵∠A+∠C=∠A+∠ABD=90°,

∴∠ABD=30°.

令AD=a,在Rt△ABD中,AB=2AD=2a,

同理得AC=2AB=4a,

∴CD=AC-AD=3a,∴

=

.

8.解:

（1）∵PA与☉O相切于点A,∴△OAP是直角三角形.∵OA=2,OP=4,∴cos∠POA=

=

∴∠POA=60°.

（2）∵在Rt△AOC中,∠AOC=60°,OA=2,∴AC=OA·sin60°=2×

=

.

∵AB⊥OP,∴AB=2AC=2

.

（3）过P,B两点的直线是☉O的切线.

理由如下:

连接OB,PB,易知∠AOP=∠BOP.在△OAP和△OBP中,

∴△OAP≌△OBP（SAS）,∴∠OAP=∠OBP.又∵PA与☉O相切于点A,∴∠OAP=90°,

∴∠OBP=90°.

又∵点B在☉O上,∴PB是☉O的切线,

即过P,B两点的直线是☉O的切线.

9.解:

（1）证明:

连接OC,∵AB为圆O的直径,∴∠ACB=90°.∵AC∥OD,∴∠OEB=90°,∴OD垂直平分BC,∴BD=CD,∴∠DBC=∠DCB.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∵BD切☉O于点B,∴∠DBC+∠OBC=90°,∴∠OCB+∠DCB=90°,即∠OCD=90°.

又∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.

（2）∵AC∥OD,∴∠OAC=∠DOB.由

（1）知∠ACB=∠OBD=90°,∴△ABC∽△ODB,∴

=

.∵AB=10,∴OB=5,∴

=

∴y=

（0

（3）当点C运动到弧AB的中点时,四边形CAOD是平行四边形.理由:

若C是弧AB的中点,连接OC,则∠AOC=∠BOC=90°.∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°,∴AO∥CD.∵AC∥OD,∴四边形CAOD是平行四边形.