最新度人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》教学设计优质课教案.docx

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最新度人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》教学设计优质课教案

课题：

《垂直于弦的直径》

一、内容和内容解析：

1、内容：

本节课是义务教育教科书人教版数学九年级上册第24章第1节圆的第2课时，本节课的教学内容是垂径定理的探索、证明和应用。

2、内容解析：

本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础，该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。

垂径定理的条件是

（1）过圆心；

（2）垂直于弦；结论是（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。

事实上，以其中任意两个为条件都可以得出其余结论，由于垂径定理是圆的轴对称性的具体体现，所以在研究垂径定理时，采用图形变化的方法，通过圆的轴对称性引导学生发现并证明，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性，同时，通过本节课的教学，对学生渗透类化、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。

所以它对学生能力的培养也有非常重要的作用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：

垂径定理的探索及应用。

二、目标与目标解析：

1、目标：

①知识与能力目标：

使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

②过程与方法目标：

老师利用多媒体和教具创设情境，激发学生的求知欲望，学生在老师的引导下进行自主探索，合作交流，收获新知，通过分层训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。

③情感态度与价值观目标：

对圆的轴对称美始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。

从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。

2、目标解析：

达成目标①的标志是：

学生能理解圆的轴对称性，并进而理解垂径定理的条件有两个，结论有三个，能利用垂径定理，并通过勾股定理完成与半径、弦等相关的计算和证明。

达成目标②的标志是：

知道圆是轴对称图形，并能操作得到对称轴，合作探究，能从轴对称性的角度进行观察和发理，并能利用叠合法证明垂径定理。

达成目标③的标志是：

学生全情参与，积极性高，认真进行实验探究，知识迁移灵活，了解定理的生成过程，领悟数学的美。

三、教学问题诊断分析：

学生虽然已经学习了轴对称等图形变化，但运用图形变化的观念去发现问题、解决问题的意识还不强，因此对于垂径定理的发现和证明，学生可能不容易想到从轴对称的角度去思考，此外，垂径定理的题设和结论比较复杂，题设的变式比较多样，一些学生不能把握题设的本质，从而造成对定理的理解不深入。

故本节课的教学难点是：

垂径定理的探索及对题设与结论的理解。

四、教学支持条件分析：

1、利用多媒体辅助教学，在课堂教学中教师利用多媒体让学生观察圆的图片，让学生获得感性认识；利用多媒体动态演示图形的折叠过程，在激发学生思维的同时，获得美的享受。

2、常规媒体仍起主导作用，课堂教学中的定理内容及其问题的解答过程都在黑板上板书，充分展现数学知识的精彩发生、发展过程，充分地暴露学生认识中存在的问题和独特优胜之处。

因为数学是思维的体操，数学课是丰富多彩的动态生成而非僵硬不变的简单预设。

3、利用学生身旁的教学资源，如组织学生用剪下来的圆形纸片找对称轴，用纸片探究圆的有关性质。

这些贴近学生认识领域而又充满情趣的活动，很好地活跃了学习气氛，使学生真正地融入到数学学习中来。

因此，所设计方案具有可行性，并能达到预期的教学效果。

五、教学过程设计：

教师活动

学生活动

设计意图

1、复习引入，揭示课题（3分钟）

投影图片，由学生熟悉的“切水果”游戏入手，激发学生兴趣:

问题：

同学们切水果时第一刀习惯怎么切？

数学中还有许多对称的图形，请学生识别，并能找到对称轴。

圆是轴对称图形吗?

折一折：

你能利用手中的圆形纸片说明圆是轴对称图形吗？

画一画：

（1）作一圆；

（2）在圆上任意作一条弦AB；

（3）过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。

（板书课题：

垂直于弦的直径）

学生对切水果感兴趣，认为从中间切比较均匀，比较爽，左右能形成对称。

学生能准备识别轴对称图形，并能找到对称轴。

学生自己动手操作，对折圆形纸片，能自己归纳出：

（1）圆是轴对称图形。

（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）

（3）圆的对称轴有无穷多条

由生活中的有趣的游戏引入，吸引学生注意力，投入到要探究的内容中来。

让学生自主探究，培养思考、操作、归纳等能力。

学生自己动手画图，首先折两条直径找到圆心，然后根据描述准确作图，一步一步探索圆的轴对称性。

⌒

⌒

2、师生互动，探索新知（9分钟）

猜一猜：

现在CD是一条垂直于弦的直径，那么请思考两个问题：

（1）点A和点B有什么位置关系？

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？

证一证：

提问：

这个结论是同学们通过观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它

已知：

CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD

证明：

AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB

学生证完后，老师运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，再次验证结论的正确。

由此，结论得以证明，老师让学生尝试用自己的语言叙述这个命题，老师再补充改正。

（<板书>垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）

（小组合作探究）

AE=EB、弧AC=弧CB、

弧AD=弧DB

学生可以从全等、等腰三角形三线合一等证明线段相等，至于弧相等，看学生是否能想到用叠合的方法进行证明，如果不能，老师提示等弧的概念，通过翻折达到完全重合。

文字语言：

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

符号语言：

∵CD是直径，CD⊥AB

∴AE=BE,

弧AC=弧CB、弧AD=弧DB

图形语言：

小组成员之间分享探究的结果，和谐互助，得到完整的结果。

学生展示证明的过程，用不同的方法证明结论。

遇到需要突破的难点时，老师及时点拨，师生合作探究。

三种语言是数学呈现的三种形式，让学生能灵活转换最佳。

3、概念辨析，运用新知（15分钟）

垂径定理：

条件：

（1）过圆心；

（2）垂直于弦；

结论：

（3）平分弦；

（4）平分弦所对的优弧；

（5）平分弦所对的劣弧。

练习1：

下列图形具备垂径定理的条件吗？

例1：

1、如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

变式1、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径是10cm,OE=6cm，则弦

AB=（）cm。

思考1：

若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，则R，a，d三者的关系式为。

例2：

（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗（结果保留小数点后一位）？

思考：

半径，半弦，弦心距，再加上弓高，一共有四个量，如果知道其中的几个，能够求出剩下的？

学生分析知道条件有两个，结论有三个

学生自己叙述垂径定理需要满足的条件，归纳出：

直径，垂直于弦，缺一不可！

直径的实质是要过圆心

学生独立思考，回答步骤，老师板书，得出“弦心距”，再得到垂径定理常用的三角形模型。

学生迅速计算，很快得出结果，体会成功感，增强自信。

归纳出：

（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。

（2）重要的辅助线：

过圆心做弦的垂线或连接半径构造直角三角形，结合垂径定理与勾股定理等有关知识解题。

（3）“半径半弦弦心距”是常用的基本模型。

学生阐述解决实际问题的一般步骤，先将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，再结合条件解决问题。

最后的计算也由学生完成，加强训练，提高能力。

知道两个，可以求出剩下的两个，主要应用垂径定理和勾股定理解决问题。

意图：

剖析定理结构，理解其内涵，便于应用。

明确能使用垂径定理的条件，要从理解上升到应用。

揭示模型，使定理的应用具体化，发展其外延。

简单变式，让学生灵活应用，掌握计算规律。

数学来源于生活，应用于生活，引入实际问题，让学生能够学以致用。

让学生学会如何审题，分析题目中的数量关系。

总结出一般模型，知识结构生成，知识迁移应用，提升能力。

4、拓展升华，变式议练（8分钟）

例3：

已知：

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。

求证：

AC＝BD。

例4：

如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为（　　）

变式：

⊙O的半径是多少？

5、归纳小结，思维延续（5分钟）

知识总结：

方法总结：

①学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？

②应用垂径定理如何添辅助线？

垂径定理有哪些应用？

感知总结：

①这节课的学习你有什么疑问？

②这节课的学习方式你喜欢吗？

你有什么好的建议？

思考：

如果把垂径定理

（1）过圆心；

（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？

让学生下去思考，为下一节课讲授推论作铺垫。

6、分层作业，课后提升

①必做题:

习题24.1—1，7，8

②选做题:

习题24.1—13，15

一题多解，充分让学生说出自己的看法，展示思路与过程

本道题知识点覆盖较多，学生需进行综合分析，找到解决问题的办法

（让学生自己计算）

学生自己总结，归纳，分享。

学生在学习这一节课的基础上，熟悉了垂径定理和应用，老师提出思考，学生又有了新的想法，为下一节做好铺垫。

让学生为主体，利用展台发表看法，从思维上，过程上细化，养成良好的学习习惯。

给予学生充分的时间思考，当面对稍复杂的题目时，应该怎样分析，合作探究，抽丝剥茧，层层深入，思维提升。

提高学生对学习数学的理解，从感性到理性都有所认识，智商情商双提高。

提出“知二得三”模型，让学生下来思考，思维得到延续，为后继学习打好基础。

分层作业是为了不同层次的学生都有所收获。

7、板书设计

24.1.2垂直于弦的直径

图形语言例1

板书完整过程

文字语言白板+展台例4

图形

思路

符号语言

8、课后反思

反思之一：

实际问题的意义的看法

学生在解决实际问题的过程中，主要困难有两点，一是学生一见到实际问题就畏惧，根本不去读题，二是学生对实际背景不熟悉。

为此，本节课设计了一个实际问题，这样做的好处，一是具有非常实际的用途，二是与本节课的内容具有直接关系。

这个问题解决了，以后学生再讲到类似的实际问题时，就不会感到陌生，也会有信心做出来。

反思之二：

教学模式的思考

每种教学模式都有其优劣，如果一味地按一种教学模式贯穿于整个教学过程，并不能达到最好的教学效果。

对于我们教师来说，应根据不同的教学内容，选择不同的教学模式来教学，这样效果会更好。

本节课，由于学生的差异较大，所以选择了实验探究，合作交流这种教学模式，给学生创造一个宽松的学习环境，使学生消除畏惧怕错的心理压力，激发学生的创新精神，帮助学生树立学好知识的信心和勇气。

反思之三：

需要更加关注学生

教学中，把尊重学生，关注学生的发展动态始终放在第一位。

在这节课中，注重学生间的合作交流，给学生多次展示自己的机会，锻炼学生的胆量，培养学生语言表达能力及逻辑推理能力，并给予适当的鼓励和表扬，使学生有成功感，增强学生学好数学的信心。

反思之四：

数学思想方法的渗透，数学素养的培养

在知识发生发展与应用过程中注重教学思想方法的渗透，如本节课从特殊到一般的数学思想，方程思想，建模思想等等，交给学生解决问题的办法，使学生学会学习，提升数学素养。

六、目标检测设计：

1、如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为，∠AOB＝度。

（第1题）（第2题）

2、作图题：

经过已知⊙O内的已知点A作弦，使它以点A为中点（如图）。

要求：

保留作图痕迹，但不必写作法。

3、已知：

如图，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，OD⊥AB，

OE⊥AC，垂足分别为D、E。

求证：

四边形ADOE是正方形。

设置目标检测，了解学生的学习状况，为接下来的教学工作调整提供依据，没有最好，只有更好！

《垂直于弦的直径》教案说明

授课题目：

垂直于弦的直径

授课课型：

新授课

课题位置：

义务教育教科书人教版数学九年级上册第24章第1节圆的第2课时

教学目标：

1、理解垂径定理及其推论的条件和结论，会用垂径定理进行简单的计算、证明和作图，培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

2、经历实验、猜想、概括、推理得出垂径定理的过程，体会圆的轴对称性。

教学重点：

垂径定理的探索及初步应用

教学难点：

垂径定理的探索及对题设与结论的理解。

教学过程：

1、复习引入，激发兴趣；（3分钟）

2、师生互动，探索新知；（9分钟）

3、概念辨析，运用新知；（15分钟）

4、拓展升华，变式议练；（8分钟）

5、归纳小结，思维延续；（5分钟）

6、分层作业，课后提升。

板书设计：

课后反思：

反思之一：

实际问题的意义的看法

学生在解决实际问题的过程中，主要困难有两点，一是学生一见到实际问题就畏惧，根本不去读题，二是学生对实际背景不熟悉。

为此，本节课设计了一个实际问题，这样做的好处，一是具有非常实际的用途，二是与本节课的内容具有直接关系。

这个问题解决了，以后学生再讲到类似的实际问题时，就不会感到陌生，也会有信心做出来。

反思之二：

教学模式的思考

每种教学模式都有其优劣，如果一味地按一种教学模式贯穿于整个教学过程，并不能达到最好的教学效果。

对于我们教师来说，应根据不同的教学内容，选择不同的教学模式来教学，这样效果会更好。

本节课，由于学生的差异较大，所以选择了实验探究，合作交流这种教学模式，给学生创造一个宽松的学习环境，使学生消除畏惧怕错的心理压力，激发学生的创新精神，帮助学生树立学好知识的信心和勇气。

反思之三：

需要更加关注学生

教学中，把尊重学生，关注学生的发展动态始终放在第一位。

在这节课中，注重学生间的合作交流，给学生多次展示自己的机会，锻炼学生的胆量，培养学生语言表达能力及逻辑推理能力，并给予适当的鼓励和表扬，使学生有成功感，增强学生学好数学的信心。

反思之四：

数学思想方法的渗透，数学素养的培养

在知识发生发展与应用过程中注重教学思想方法的渗透，如本节课从特殊到一般的数学思想，方程思想，建模思想等等，交给学生解决问题的办法，使学生学会学习，提升数学素养。