最新北师大版八年级数学上册单元测试《第3章 位置与坐标》解析版 3.docx

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最新北师大版八年级数学上册单元测试《第3章位置与坐标》解析版3

新北师大版八年级数学上册单元测试《第三章位置与坐标》

一、选择题

1．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．点M（2，﹣3）关于y轴的对称点N的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣3，2）

3．已知点P（3，﹣2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（　　）

A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，2）D．（3，﹣2）

4．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（　　）

A．（﹣4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（4，﹣2）D．（4，2）

5．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　）

A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）

6．以如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，则这时C点的坐标可能是（　　）

A．（1，3）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（3，1）

7．在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（　　）

A．x＞0B．x＜2C．0＜x＜2D．x＞2

8．若点P的坐标是（m，n），且m＜0，n＞0，则点P在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

9．已知坐标平面内点A（m，n）在第四象限，那么点B（n，m）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

10．把点P1（2，﹣3）向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到达点P2处，则P2的坐标是（　　）

A．（5，﹣1）B．（﹣1，﹣5）C．（5，﹣5）D．（﹣1，﹣1）

二、填空题

11．若点A（a﹣9，a+2）在y轴上，则a=　　．

12．小王在求点A关于x轴对称的点的坐标时，由于把x轴看成是y轴，结果是（2，﹣5），那么正确的答案应该是　　．

13．已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第　　象限．

14．点P（x，y）坐标x，y满足xy=0，则P点坐标是　　．

15．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为　　．

16．把点A（3，2）向左平移6个单位长度得点B（　　，　　），再向下平移4个单位长度得到C（　　，　　），点A与B关于　　对称，点A与点C关于　　对称．

17．点P（﹣4，3）到x轴的距离是　　，到y轴的距离是　　，到原点的距离是　　．

18．在平面直角坐标系中，点（3，﹣5）在第　　象限．

19．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=　　．

20．先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B点的坐标为　　，点C的坐标　　．

三、解答题

21．如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=4，请你建立适当的直角坐标系，并写出A，B，C各点的坐标．

22．在直角坐标系中描出下列各组点，并组各组的点用线段依次连接起来．

（1）（1，0），（6，0），（6，1），（5，0），（6，﹣1），（6，0）；

（2）（2，0），（5，3），（4，0）；

（3）（2，0），（5，﹣3），（4，0）．

观察所得到的图形像什么？

如果要将此图形向上平移到x轴上方，那么至少要向上平移几个单位长度？

23．如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为（﹣2，1）．

（1）△ABC和△A′B′C′满足什么几何变换；（直接写答案）

（2）作△A′B′C′关于x轴对称图形△A″B″C″；

（3）△ABC和△A″B″C″满足什么几何变换？

求A″、B″、C″三点坐标（直接写答案）．

24．如图，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形解答下列问题：

（1）图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？

（写出变换过程）

（2）在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标．

25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0）．

（1）画出等腰三角形ABC（画一个即可）；

（2）写出

（1）中画出的三角形ABC的顶点C的坐标．

26．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3）、B（3，1）、C（1，2）

（1）将△ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到A1、B1、C1，依次连接A1，B1，C1各点，所得△A1B1C1与△ABC的大小、形状和位置有什么关系？

（2）将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

《第3章位置与坐标》

参考答案与试题解析

一、选择题

1．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【考点】点的坐标．

【专题】计算题．

【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限．

【解答】解：

∵﹣2＜0，3＞0，

∴（﹣2，3）在第二象限，

故选B．

【点评】本题考查了点的坐标，个象限内坐标的符号：

第一象限：

+，+；第二象限：

﹣，+；第三象限：

﹣，﹣；第四象限：

+，﹣；是基础知识要熟练掌握．

2．点M（2，﹣3）关于y轴的对称点N的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣3，2）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】利用点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n）来求解．

【解答】解：

根据轴对称的性质，得点M（2，﹣3）

∴关于y轴的对称点N的坐标是（﹣2，﹣3）．

故选A．

【点评】此题主要考查平面直角坐标系中点的对称点的特征．

3．已知点P（3，﹣2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（　　）

A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，2）D．（3，﹣2）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】利用关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数的性质来求解．

【解答】解：

根据轴对称的性质，得点P（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（3，2）．

故选：

C．

【点评】熟记关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标均互为相反数．

4．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（　　）

A．（﹣4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（4，﹣2）D．（4，2）

【考点】坐标与图形变化-对称．

【分析】根据对称的性质，在题中标示出对称点的坐标，然后根据有关性质即可得出所求点的坐标．

【解答】解：

∵轴对称的性质，y轴垂直平分线段AA'，

∴点A与点A'的横坐标互为相反数，纵坐标相等．点A（﹣4，2），

∴A'（4，2）．

故选D．

【点评】本题主要考查如下内容：

1、坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的

2、掌握好对称的有关性质．

5．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　）

A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）

【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．

【分析】因为D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3，又由D点相对于A点横坐标移动了2，故可得C点横坐标为2+5=7，即顶点C的坐标（7，3）．

【解答】解：

已知A，B，D三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），

∵AB在x轴上，

∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，

又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2，

∴C点横坐标为2+5=7，

∴即顶点C的坐标（7，3）．

故选：

C．

【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余（补）角的等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．

6．以如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，则这时C点的坐标可能是（　　）

A．（1，3）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（3，1）

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【专题】压轴题；网格型．

【分析】首先正确确定坐标轴的位置，原点的位置，再确定C点的坐标．

【解答】解：

根据A点与B点关于原点对称，MN所在的直线为y轴，可以确定x轴和原点的位置．

所以点C的坐标是（2，﹣1）．

故选B．

【点评】此题关键是根据题意确定原点的位置，然后写出点C的坐标．注意：

两点关于原点对称，则两个点的坐标都是互为相反数．

7．在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（　　）

A．x＞0B．x＜2C．0＜x＜2D．x＞2

【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．

【分析】点在第二象限的条件是：

横坐标是负数，纵坐标是正数，可得x﹣2＜0，x＞0，求不等式组的解即可．

【解答】解：

∵点P（x﹣2，x）在第二象限，

∴

，

解得：

0＜x＜2，

故选：

C．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

8．若点P的坐标是（m，n），且m＜0，n＞0，则点P在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【考点】点的坐标．

【分析】根据各象限点的坐标特点解答．

【解答】解：

∵m＜0，n＞0，

∴点P（m，n）在第二象限．

故选B．

【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

9．已知坐标平面内点A（m，n）在第四象限，那么点B（n，m）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【考点】点的坐标．

【分析】根据点在平面直角坐标系中各象限的坐标特点解答即可．

【解答】解：

∵点A（m，n）在第四象限，

∴m＞0，n＜0，

∴点B（n，m）在第二象限．

故选B．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，第四象限和第二象限的点的横纵坐标符号恰好相反．

10．把点P1（2，﹣3）向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到达点P2处，则P2的坐标是（　　）

A．（5，﹣1）B．（﹣1，﹣5）C．（5，﹣5）D．（﹣1，﹣1）

【考点】坐标与图形变化-平移．

【专题】数形结合．

【分析】让P1的横坐标加3，纵坐标减2即可得到所求点的坐标．

【解答】解：

∵点P1（2，﹣3）向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到达点P2处，

∴P2的横坐标为2+3=5，纵坐标为﹣3﹣2=﹣5，

故选C．

【点评】考查坐标平移的性质；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，上加下减．

二、填空题

11．若点A（a﹣9，a+2）在y轴上，则a=　9　．

【考点】点的坐标．

【分析】根据y轴上的点的横坐标为0列方程求解即可．

【解答】解：

∵点A（a﹣9，a+2）在y轴上，

∴a﹣9=0，

解得a=9．

故答案为：

9．

【点评】本题考查了点的坐标，是基础题，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．

12．小王在求点A关于x轴对称的点的坐标时，由于把x轴看成是y轴，结果是（2，﹣5），那么正确的答案应该是　（﹣2，5）　．

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】首先求得A的坐标，然后再求关于x轴的对称点即可．

【解答】解：

（2，﹣5）关于y轴的对称点A是（﹣2，﹣5），则A关于x轴的对称点是（﹣2，5）．

故答案是（﹣2，5）．

【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点坐标之间的关系．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

13．已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第　三　象限．

【考点】点的坐标．

【分析】由于a•b＞0则a、b同号，而a+b＜0，于是a＜0，b＜0，然后根据各象限点的坐标特点进行判断．

【解答】解：

∵a•b＞0，

∴a、b同号

∵a+b＜0，

∴a＜0，b＜0，

∴点M（a，b）在第三象限．

故答案为三．

【点评】本题考查了坐标：

直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．

14．点P（x，y）坐标x，y满足xy=0，则P点坐标是　（x，0）或（0，y）或（0，0）　．

【考点】点的坐标．

【分析】根据有理数的乘法确定出x、y的值，然后写出坐标即可．

【解答】解：

∵xy=0，

∴x≠0，y=0，

x=0，y≠0，

x=y=0，

∴点P的坐标为（x，0）或（0，y）或（0，0）．

故答案为：

（x，0）或（0，y）或（0，0）．

【点评】本题考查了点的坐标，有理数的乘法，是基础题，要注意分情况讨论．

15．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为　（3，﹣2）　．

【考点】点的坐标．

【分析】根据点P所在的象限确定其横、纵坐标的符号．

【解答】解：

因为点P在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，

又因为点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，

所以点P的横坐标为3，纵坐标为﹣2，

所以点P的坐标为（3，﹣2），

故答案为：

（3，﹣2）．

【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一、二、三、四象限内各点的符号分别为（+，+）、（﹣，+）、（﹣，﹣）、（+，﹣）．

16．把点A（3，2）向左平移6个单位长度得点B（　﹣3　，　2　），再向下平移4个单位长度得到C（　﹣3　，　﹣2　），点A与B关于　y轴　对称，点A与点C关于　原点　对称．

【考点】坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据平移规律：

横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算可得点B、点C的坐标，再根据直角坐标系中关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点即可求解．

【解答】解：

把点A（3，2）向左平移6个单位长度得点B（﹣3，2），再向下平移4个单位长度得到C（﹣3，﹣2），点A与B关于y轴对称，点A与点C关于原点对称．

故答案为﹣3，2，﹣3，﹣2，y轴，原点．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，直角坐标系中关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点．用到的知识点：

平移中点的变化规律：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；

关于y轴对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变．

关于原点对称点的坐标特点：

横坐标与纵坐标都是互为相反数．

17．点P（﹣4，3）到x轴的距离是　3　，到y轴的距离是　4　，到原点的距离是　5　．

【考点】点的坐标；两点间的距离公式．

【专题】计算题．

【分析】求得P的纵坐标绝对值即可求得P点到x轴的距离，求得P的横坐标绝对值即可求得P点到y轴的距离，求点OP的长度可得出到原点的距离．

【解答】解：

∵点P坐标为（﹣4，3），

∴到x轴的距离是：

|3|=3；到y轴的距离：

|﹣4|=4，到原点的距离为：

=5．

故答案为：

3、4、5．

【点评】本题主要考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．

18．在平面直角坐标系中，点（3，﹣5）在第　四　象限．

【考点】点的坐标．

【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．

【解答】解：

∵点P（3，﹣5）的横坐标是正数，纵坐标是负数，

∴点P在平面直角坐标系的第四象限．故答案填：

四．

【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：

第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．

19．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=　2006　．

【考点】坐标与图形性质；正方形的性质．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】本题可按题意分别求出P1，P2，P6…的横坐标，再总结出规律即可得出x2006的值．

【解答】解：

从P到P4要翻转4次，横坐标刚好加4，

∵2006÷4=501…2，

∴501×4﹣1=2003，

由还要再翻两次，即完成从P到P2的过程，横坐标加3，

则P2006的横坐标x2006=2006．

故答案为：

2006

【点评】命题立意：

主要考查分析、归纳、探究规律、解决问题的能力．

20．先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B点的坐标为　（4，0），（2

，2）　，点C的坐标　（4，3）（

，

）　．

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【专题】压轴题．

【分析】根据旋转的性质求解．

旋转的性质是旋转不改变图形的大小和形状．

【解答】解：

∵AB=4，在x轴正半轴上，

∴图1中B坐标为（4，0），

在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cos30°=2

，BE=2，

在图2中B点的坐标为（2

，2）；

易知图1中点C的坐标为（4，3），

在图2中，设CD与y轴交于点M，作CN⊥y轴于点N，那么∠DOM=30°，OD=3，

∴DM=3•tan30°=

，OM=3÷cos30°=2

，

那么CM=4﹣

，易知∠NCM=30°，

∴MN=CM•sin30°=

，CN=CM•cos30°=

，

则ON=OM+MN=

，

∴图2中C点的坐标为（

，

）．

【点评】旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造直角三角形求解．

三、解答题

21．如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=4，请你建立适当的直角坐标系，并写出A，B，C各点的坐标．

【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．

【专题】作图题．

【分析】本题的答案不唯一，但主要应用的是x、y轴互相垂直的条件来构建直角三角形运用三角函数进行求解．

【解答】解：

答案不唯一，可以是：

如图，

以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，垂直平分线与BC的交点为原点建立直角坐标系；

∵∠BAC=120°，AB=AC，

故y轴必经过A点，

∴∠BCA=∠ABC=30°，BO=OC=

BC=2，

∴在Rt△AOC中，OA=OC•tan∠ACB=2tan30°=

，

∴A（0，

），B（﹣2，0），C（2，0）．

【点评】本题考查基本几何知识和平面直角坐标系，属于开放题．

22．在直角坐标系中描出下列各组点，并组各组的点用线段依次连接起来．

（1）（1，0），（6，0），（6，1），（5，0），（6，﹣1），（6，0）；

（2）（2，0），（5，3），（4，0）；

（3）（2，0），（5，﹣3），（4，0）．

观察所得到的图形像什么？

如果要将此图形向上平移到x轴上方，那么至少要向上平移几个单位长度？

【考点】坐标与图形变化-平移．

【专题】作图题．

【分析】直接描点，连线后再判断图象的平移长度．

【解答】解：

描点，连线可得，图案象飞机．

要将此图形向上平移到x轴上方，那么至少要向上平移3个以单位长度．

【点评】本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．

平移中点的变化规律是：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

23．如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为（﹣2，1）．

（1）△ABC和△A′B′C′满足什么几何变换；（直接写答案）

（2）作△A′B′C′关于x轴对称图形△A″B″C″；

（3）△ABC和△A″B″C″满足什么几何变换？

求A″、B″、C″三点坐标（直接写答案）．

【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．

【专题】网格型．

【分析】首先根据A的坐标确定坐标轴的位置，然后根据旋转变换与轴对称的定义，即可作图，确定变换的类型．

【解答】解：

（1）轴对称变换；（2分）

（2）图形正确（A″、B″、C″三点对一个点得1分）；（5分）

（3）中心对称变换，（7分）

坐标为A″（2，﹣1）、B″（1，﹣2）、C″（3，﹣3）．

【点评】本题考查的是图形关于轴对称及关于中心对称的特点，解答此题的关键是明确对称点的坐标特点，找出对应点进行连线即可．

24．如图，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形解答下列问题：

（1）图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？

（写出变换过程）

（2）在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标．

【考点】坐标与图形性质；平移的性质；旋转的性质．

【专题】网格型．

【分析】

（1）对应点是C、F，△ABC应先以点C为基准向右平移到F，BC转到EF位置，可看出是逆时针旋转90°，

（2）可任意建立平面直角坐标系，得到相应三点的坐标．

【解答】解：

（1）答案不唯一，只要合理即可得（2分）．如：

将△ABC向右平移3个格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1以点C1为旋转中心，按逆时针方向旋转90°就得到了△DEF；

（2）答案不唯一，只要正确建立直角坐标系并正确写出各点坐标，即可得．如：

方法一：

如图①建立直角坐标系，则点D（0，0）、E（2，﹣1）、F（2，3）；

方法二：

如图②建立直角坐标系，则点D（﹣2，0）、E（0，﹣1）、F（0，3）；

方法三：

如图③建立直角坐标系，则点D（﹣2，﹣3）、E（0，﹣4）、F（0，0）；

方法四：

如图④建立直角坐标系，则点D（﹣2，1）、E（0，0）、F（0，4）．

【点评】图形的转换应找到关键点，关键线段的变化，原点位置不同，得到点的坐标也不同．

25．如图，在平面直角坐标系中，已知