数学建模高校奖学金评定论文.docx
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数学建模高校奖学金评定论文
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
数模指导组
日期：
年月日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
高校综合奖学金的评定模型
摘要
本文研究高校奖学金的评定问题。
问题一，考虑到要减小将等级转化为百分制分数取值的随意性，故采用偏大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数，将考查课的等级转化为百分制分数与考试课的成绩统一起来，避免了由主观因素引起的误差，再通过计算平均学分绩得到学生的综合成绩排名前五名是：
学生N，学生A，学生B，学生L，学生I。
问题二，根据不同的学校对学生各方面能力的不同侧重，运用MATLAB建立层次分析模型，并通过权向量的一致性检验，不断地优化成对比较矩阵，确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重
=（0.4094,0.0479,0.2095,0.2190,0.1143
。
为了提高权重系数确定的准确性，本文又采用了相关分析的方法，通过观察客观分析的方法和层次分析法的相关系数，验证了层次分析法的准确性。
问题三，我们利用问题二求解出的各因素所占权重并且运用问题一中的学生成绩标准化处理模型，同时将获奖情况用隶属函数法转化为百分制，对总成绩进行排名后得出奖学金获奖名单如下：
一等奖：
学生N；
二等奖：
学生F，学生I，学生C；
三等奖：
学生E，学生A，学生B，学生G，学生K。
问题四，利用前三问的结果，给出了奖学金评定的说明。
关键词：
奖学金评定；隶属函数；平均学分绩；层次分析法；相关分析
一.问题的重述
奖学金制度是高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的制度，评定奖学金成为高校每年工作的一个重要环节。
目前，高校奖学金主要有综合奖学金和单项奖学金两大类。
综合奖学金主要是对各方面表现都比较优秀的学生设立的，单项奖学金则主要是针对在某一方面表现比较突出的学生设立的。
奖学金评定应该与学校希望实现的培养目标一致，体现出学校对学生各方面要求的侧重，以引导学生按照学校的培养目标确定自己的发展方向。
我们需要研究如下问题：
（1）根据Excel中的相关数据，选择一种合理的方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。
（2）结合所了解的相关情况，确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。
（3）该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个，给出具体获奖名单。
（4）撰写一篇不超过2页的奖学金评定说明，向负责奖学金评定的人（如班主任、班长等）阐述计算奖学金的主要依据和过程。
二.问题的分析
奖学金的分配方案要考虑很多因素，比如：
综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票等等。
我们将结合这些因素，设计奖学金评定的最佳方案。
问题一，先用隶属函数
将考查课的等级转化为百分制分数与考试课的成绩统一起来，然后通过公式：
计算平均学分绩，来得出学生的综合成绩并给出排名。
问题二，先运用MATLAB建立层次分析模型，并通过权向量的一致性检验，不断的优化成对比较矩阵，以期得到各因素合理的权重。
由于层次分析法和主成分分析法、因子分析法各有利弊，我们考虑将层次分析法、主成分分析法和因子分析法进行相关分析，进一步检验权重的准确性。
问题三，我们首先运用隶属函数法将获奖情况转化为百分制，然后利用问题二求解出的各因素所占权重和问题一中的学生综合成绩，按照如下标准：
卫生得分为100分减去宿舍扣的分数；学生工作情况以百分制为基准，保底分数为60分，担任班上重要职务（如：
班长、团支书）加20分，学校某社团重要干部（如：
部长、办公室主任等）加10分，担任班上一般职务（如：
女工委员、劳动委员学习委员等）加15分，可累加，但总分不超过100分；获奖情况得分由隶属函数模型来得出；学生投票则是以得票数除以总学生数（32人）乘以100为学生得到的以百分制记数的成绩。
对总成绩进行排名，最后按照该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个来得出奖学金获奖名单。
三.模型的假设
1.奖学金的评定只考虑综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票这五个因素。
2.考试课成绩每科均以百分制计算。
3.每个影响奖学金评定因素的数据处理都是相互独立的。
4.该班级总人数为32，为了得到该班同学的民主测评情况，要求该班级所有同学根据自己的了解，为自己认为各方面表现良好的同学投票。
每人至多投10票，表中“学生投票”列是统计得到的每个同学的得票数。
5.奖学金评定过程中所占的权重是主要是以培养学术型人才为主，综合能力发展为辅的培养目标为准
6.不考虑获国家奖的情况。
四.符号说明
:
影响奖学金评定因素的成对比较矩阵，
为成对比较矩阵
的元素，表示第
个因素与第
个因素的比值；
:
综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票这五个因素在奖学金评定中所占的权重；
:
影响奖学金评定因素的权向量，
为权向量
重的元素；
:
一致性指标
；
:
一致性比率；
五.模型的建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
5.1.1隶属函数模型的建立与求解
如果我们将考查课中的不同等级分别对应到某一个自己规定的分数，那么这样得到的结果随意性很大，完全受我们主观因素的影响，也没有依据，不具科学性。
隶属函数是对模糊概念的定量描述，它的确定过程本质上说应该是客观的。
所以在我们将考查课的等级制转化为百分制的过程中运用隶属函数具有一定科学性。
利用模糊数学的方法，设五个等级（优秀，良好，中等，合格，不合格）依次对应为5，4，3，2，1。
采用偏大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数
其中
为待定参数。
当“优秀”时，则隶属度为1，即
；当“中等”时，则隶属度为0.8，即
；
当“不合格”时，则隶属度为0.01，即
。
用MATLAB编程解得
。
（程序见附录）
则
。
再由MATLAB编程解得
。
即“合格”对应52.45分，“良好”对应91.26分。
由此，我们将考查课的等级制转化为百分制，如下表：
等级
优秀
良好
中等
合格
对应分数
100
91.26
80
52.45
5.1.2平均学分绩模型的建立与求解
计算平均学分绩方法在大多数学校被采用,用它来计算学生的智育得分,考察学生的全年的学习情况,并进一步得到学生的全年综合测评得分。
当总分相同时,学分少的课程分数高,而学分高的课程分数低的学生,他的综合得分就没有学分少的课程分数低，学分高的课程分数高的学生高。
这种方法能够充分体现学分高的课程的重要性，十分有利于引导学生按照学校的培养目标确定自己的发展方向。
平均学分成绩的计算公式是：
我们用EXCEL表格分别对考试课计算平均学分绩，考查课计算平均学分绩，然后用考试课平均学分绩乘以18.5除以28.5加上考查课平均学分绩乘以10除以28.5得到综合成绩。
再利用EXCEL表格将其排名。
得到结果如下：
姓名
考试课（18.5）
考查课（10）
综合成绩
排名
学生N
95.16
97.62
96.02315789
1
学生A
93.05
97.62
94.65350877
2
学生B
92.68
92.82
92.72912281
3
学生L
87.51
95.87
90.44333333
4
学生I
87.7
91.07
88.88245614
5
学生F
85.89
91.94
88.01280702
6
学生H
86
90.19
87.47017544
7
学生J
84.92
90.19
86.76912281
8
学生C
83.68
90.56
86.09403509
9
学生K
81.08
91.94
84.89052632
10
学生G
82.41
87.13
84.06614035
11
学生E
74.97
89.75
80.15596491
12
学生D
75.92
87.75
80.07087719
13
学生M
72.54
82
75.85929825
14
5.2问题二的模型建立与求解
5.2.1层次分析模型的建立
奖学金评定应该与学校希望实现的培养目标一致，我们假定学校的培养目标主要是以培养学术型人才为主，综合能力发展为辅。
我们建立了以层次分析法为基准的模型，最后得出各个影响奖学金评定因素的权重。
层次分析法是将和决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
它比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。
其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值，及其所对应的特征向量，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对权重。
我们建立该问题的层次模型，目标层是各指标的权重，方案层是各项指标，决策层是所有参评学生，由于决策层对结果没有什么影响，故而我们在图中不在给出。
层次图如下所示：
5.2.2成对比较矩阵的构造
（1）构造成对比较矩阵
=
，A称为互反矩阵，成对比较矩阵中的元素
。
（2）根据综合成绩、宿舍卫生、学生工作、获奖情况、学生投票5个准则得到
=
5.2.3求解权向量
设综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重分别为
=
。
经MATLAB计算得出权向量为
=（0.4094,0.0479,0.2095,0.2190,0.1143
。
5.2.4一致性检验
（1）成对比较矩阵通常不是一致阵，但是为了能够用它的对应于特征值
的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致性应该在容许的范围内，我们可以用
数值的大小来衡量
的不一致程度。
（2）将一致性检验
定义为一致性指标，定义一致性比率
取
=1.12。
经过MATLAB计算得到成对比较矩阵的最大特征根
=5.0275,其一致性检验
=（5.0275-5）/（4*1.12）=0.0061
0.1,通过一致性检验。
5.2.5各因素在奖学金评定过程中所占的权重
确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重
=（0.4094,0.0479,0.2095,0.2190,0.1143
。
影响因素
综合成绩
卫生
学生工作
获奖情况
学生投票
权重
0.4094
0.0479
0.2095
0.2190
0.1143
5.2.6相关分析
为了检验层次分析法的用于此题中的准确性，我们建立其他方式的成绩排名方法，通过比较本文所选方法的结果与其他排名结果之间的相关性，对各种排名结果进行相关分析。
分析得到的相关系数矩阵如下：
各种排名结果之间的相关系数矩阵
平均成绩排名
平均学分绩排名
主成分排名
因子排名
平均成绩排名
1.000
0.992
0.993
0.921
平均学分绩排名
0.992
1.000
0.989
0.895
主成分排名
0.993
0.989
1.000
0.903
因子排名
0.921
0.895
0.903
1.000
由上表相关矩阵的结果可知,前3种排名方案所得到的结果之间的相关系数都在0.99左右,可见这三种排序结果无显著的差异,或者说基本上是一致的。
因子分析排名的结果与前三种方案的排名结果之间的相关系数分别为0.921，0.895,0.903,可见这种方法的排名与前三种方案所得到的排名结果有一定的差异,验证了前面的结论。
主成分分析排名结果与平均学分绩排名相关性为0.989,这说明这两种方法排名结果几乎是一致的。
5.3问题三的模型建立与求解
5.3.1隶属函数模型的建立与求解
由于给出的学生中没有获得国家奖的，所以我们不考虑获国家奖的情况。
利用模糊数学的方法，设六个等级（省一等，省二等，省三等，校一等，校二等，校三等，无奖）依次对应为7，6，5，4，3，2，1。
采用偏大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数
其中
为待定参数。
当“省一等”时，则隶属度为1，即
；当“校一等”时，则隶属度为0.8，即
；当“无奖”时，则隶属度为0.01，即
。
用MATLAB编程解得
。
（程序见附录）
则
。
再由MATLAB编程解得
，
，
。
即“省二等”对应94.49分，“省三等”对应87.97分，“校二等”对应65.14分,“校三等”对应34.99分。
由此，我们将考查课的等级制转化为百分制。
如下表：
获奖情况
省一等
省二等
省三等
校一等
校二等
校三等
无奖
对应百分制分数
100
94.49
87.97
80
65.14
34.99
1
5.3.2总成绩的求解及在奖学金评定中的综合排名表
根据问题二求出的综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票的权重及各个量的量化结果算出奖学金分配方案。
应用如下公式：
学生成绩量化标准，综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况、学生投票的量化后都采用100分满分制。
卫生得分为100分减去宿舍扣的分数。
学生工作情况以百分制为基准，保底分数为60分，担任班上重要职务（如：
班长、团支书）加20分，学校某社团重要干部（如：
部长、办公室主任等）加10分，担任班上一般职务（如：
女工委员、劳动委员学习委员等）加15分，可累加，但总分不超过100分。
获奖情况得分由5.3.1中隶属函数模型得出。
学生投票则是以得票数除以总学生数（32人）乘以100为学生得到的以百分制记数的成绩。
奖学金评定综合排名表
姓名
综合成绩
所在宿舍卫生总扣分
学生工作
获奖情况
学生投票
总分
排名
学生N
96.02
100
75
80
90.63
87.69
1
学生F
88.01
100
60
94.49
75
82.66
2
学生I
88.88
95
75
65.13
43.75
75.91
3
学生C
86.09
100
75
34.99
87.5
73.41
4
学生E
80.16
76
90
1
93.75
66.25
5
学生A
94.65
98
60
1
81.25
65.52
6
学生B
92.73
70
75
1
71.88
65.46
7
学生G
84.07
55
80
1
81.25
63.32
8
学生K
84.89
10
85
1
75
61.83
9
学生D
80.07
50
85
1
62.5
60.35
10
学生J
86.77
100
60
1
53.13
59.18
11
学生L
90.44
5
60
1
56.25
56.48
12
学生H
87.47
30
60
1
46.88
55.39
13
学生M
75.86
10
60
1
37.5
48.61
14
5.3.3奖学金的分配方案
结合以上奖学金评定综合排名表，我们给出以下奖学金评定方案。
奖项
获奖人
一等奖
学生N
二等奖
学生F
学生I
学生C
三等奖
学生E
学生A
学生B
学生G
学生K
5.4奖学金的评定与说明
奖学金评定说明
第一条为全面贯彻党的教育方针，激励学生努力学习，奋发向上，促进学生德、智、体、美等方面全面发展，培养社会主义事业的合格建设者和可靠接班人，根据《XXXXX大学本科学生综合素质测评办法》的要求，制定本办法。
第二条为了鼓励更多的同学努力学习，积极的参加各项活动与工作，学校决定对一些学习成绩优秀，各方面表现良好的同学颁发奖学金，奖学金每学年评定一次，每年9月份进行。
第三条本校是在考虑人才培养方向上偏重学术型人才建设的培养，但同时要求具有较高的综合素质能力，所以本校在评定奖学金中作了如下规定：
（1）所有考试课成绩和考查课成绩的平均分占奖学金评定中的40.94%；
（2）所在宿舍卫生得分占奖学金品顶中的4.79%；
（3）在学生工作中任职的加分占奖学金评定中的20.95%；
（4）参加各种竞赛取得名次的加分占奖学金评定中的21.9%；
（5）学生投票的得分占占奖学金品顶中的11.43%。
第四条其中在奖学金评定过程中将影响其评定的五个因素，即综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票统一量化。
如下表：
评定因素
计算方法
综合成绩
宿舍卫生
学生工作
以百分制为基准，保底分数为60分，担任班上重要职务（如：
班长、团支书）加20分，学校某社团重要干部（如：
部长、办公室主任等）加10分，担任班上一般职务（如：
女工委员、劳动委员学习委员等）加15分，可累加，但总分不超过100分
获奖情况
“省一等”对应100分；“省二等”对应94.49分；“省三等”对应87.97分；“校一等”对应80分；“校二等”对应65.14分；“校三等”对应34.99分；“无奖”对应1分。
学生投票
第五条奖学金评定最终依据，每个学生在奖学金评定中
。
根据分数依次从最高分往下取，如在评定过程中有名次并列的同学，在评定时按排名从高到低取，以达到奖学金限定名额为准。
在奖学金等级评定中如有名次并列的同学则先取综合成绩高的同学。
希望各班班主任参照此标准对各班同学的奖学金评定，进行公平、公正、公开的评比模式给出获得奖学金的同学的名单。
注：
获得奖学金名单于每学期正式开学的一个月之内交到学校资助中心办公室处，过期无效。
六.模型的评价与分析
6.1模型的优点：
在将考查课的等级转化为百分制和将获奖情况的等级转化为百分制的过程中，我们使用了隶属函数。
隶属函数在一定程度上减小了主观因素的影响，更具科学性。
问题二利用层次分析法求出权重，将所有影响奖学金评定的因素进行量化处理，最终得到奖学金评定的排名。
为了提高权重系数确定的准确性，本文又采用了相关分析的方法，通过观察客观分析的方法和层次分析法的相关系数，验证了层次分析法的准确性，说明了结果地可靠性。
将影响奖学金评定过程的因素全部统一量化为以百分制记数，减小了用其他转化方式的随意性，使最终结果更具说服力。
6.2模型的缺点
在奖学金评定过程中采用了以偏重学术型人才建设，但同时要求具有较高的综合素质能力为准的培养方式，使模型不能更好的推广运用到以偏重能力建设为主，基础学科学习为辅或是以注重清洁卫生为主的其他高校中。
在奖学金评定过程中只考虑了综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票五个因素，带一定主观性，可能会影响奖学金评定的公平性。
参考文献
[1]刘卫国，MATLAB程序设计教程（第二版），中国水利水电出版社，2010.2
[2]姜启源谢金星叶俊，数学模型（第三版），北京，高等教育出版社，2003.8，层次模型
[3]郭培俊，毛海舟，应用AHP法评定奖学金，浙江工贸职业技术学院学报，第9卷第1期：
2009年3月。
[4]XX百科文献
附录
5.1.1隶属函数MATLAB程序
symsabcd
[ab]=solve（'（1+a*（1-b）^（-2））^（-1）=0.01','（1+a*（3-b）^（-2））^（-1）=0.8','a,b'）
[cd]=solve（'c*log（5）+d=1','c*log（3）+d=0.8','c,d'）
计算2时的函数值：
x=（1+a.*（2-b）.^（-2））.^（-1）
计算4时的函数值：
y=c*log（4）+d
5.2.3求解权向量MATLAB程序
s=[1,7,2,2,4;1/7,1,1/4,1/5,1/3;1/2,4,1,1,2;1/2,5,1,1,2;1/4,3,1/2,1/2,1];
[v,d]=eig（s）
5.3.1隶属函数MATLAB程序
symsabcd
[ab]=solve（'（1+a*（1-b）^（-2））^（-1）=0.01','（1+a*（4-b）^（-2））^（-1）=0.8','a,b'）
[cd]=solve（'c*log（7）+d=1','c*log（4）+d=0.8','c,d'）
计算2时的函数值：
x=（1+a.*（2-b）.^（-2））.^（-1）
计算3时的函数值：
x=（1+a.*（3-b）.^（-2））.^（-1）
计算5时的函数值：
y=c*log（5）+d
计算6时的函数值：
y=c*log（6）+d
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