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小波英文版

一种新的小波算法在水文周期分析中的应用

（1华中科技大学数字化工程与仿真中心，湖北武汉，430074；

2华中科技大学水电与数字化工程学院，湖北武汉，430074）

[摘要]在mexh小波函数的基础上，采用了一种新颖、快速、实用的非正交小波变换方法，并给出了该方法的两种推导过程。

文中对丹江口以上地区径流和降水量时间序列进行了小波分析，揭示了它们的多时间尺度结构，分析了不同时间尺度下时间序列变化的周期特征。

根据小波系数拟合出周期变化曲线，并与实际数据进行对比。

在实际数据受到随机成分影响的情况下，比较结果仍然相当吻合。

[关键词]小波变换；快速算法；周期分析；小波方差

水文时间序列的周期成分主要受地球绕太阳公转以及地球自转的影响而形成，同时也受气候、地理以及人类活动的影响。

其中,确定性成分是主要项,决定了周期性特征，而随机成分是干扰项[1]。

水文时间序列的周期不是严格意义上的周期，只是概率意义上的周期，并且同一时段中可能包含多种时间尺度的周期变化，即水文时间序列的变化在时域中存在多层次时间尺度结构和局部性特征。

水文过程周期规律的研究对探讨水循环的时空变化是很有意义的。

水文序列分析的传统方法有滑动平均、滤波、傅氏分析等，它们的不足在于：

①在时域和频域上不具备局部化性质；②对突变点的诊断缺乏数学上的严谨性[2]。

20世纪80年代发展起来的小波分析具有多分辨率分析的特点，为刻画非平稳信号提供了有力工具[3]。

小波变换表征信号局部特征的能力，可以剖析时间序列内部精细结构，有利于揭示水文序列的多时间尺度变化特征。

在利用小波计算水文时间序列周期方面，已经涌现出几种方法。

刘晓安[4]采用离散小散变换函数和db4小波对流量序列进行小波变换获得周期信息，但是此方法的理论依据不足，而且目测图像信息的误差较大。

赵利红[5]采用离散小波变换公式和Morlet小波算得周期结论，但王红瑞等[6]证明由于Morlet小波不满足容许性条件，使得结论的精确度不如满足容许性条件的小波。

桑燕芳[1]采用db4小波变换方法进行分解、去噪和重构获得周期信息，但结果显示出序列长度对周期识别存在一定影响,而且合理确定随机成分对应的小波系数阈值是很困难的。

汤成友等[7]采用Mallat算法和Daubechies小波先对水文时间序列去噪，再对确定性成分进行方差分析从而算得周期，该方法实际上是以统计方法为主，小波分析为辅，分解尺度具有主观性，而且工作量较大。

1mexh小波变换理论

1.1小波变换介绍

Foragivenwaveletfunctionaa,hydrologicaltimeseriesofthecontinuouswavelettransformabtocd

对于给定的小波函数

，水文时间序列

的连续小波变换为

（1）

式中，

为尺度因子，反映频域特征；

为时间因子，反映时域特征；

为

经伸缩和平移后取共轭得到的一簇函数。

为小波变换系数，是连续小波在尺度

、位移

上与信号的内积，表示信号与该点所代表的小波的相似程度。

当

与

相等时，该点的小波系数值为1[4]。

当

较小时，对频域的分辨率低，对时域的分辨率高；当

增大时，对频域的分辨率高，对时域的分辨率低[8]。

正是在这个意义上小波变换被誉为“数学显微镜”。

Where,aaforthescalingfactor,reflectingthecharacteristicsofthefrequencydomain;bbforthetimefactor,reflectingthecharacteristicsoftime-domain;ccforbytheexpansionandpost-translationalconjugationobtainedfromaclusteroffunction.ddforthewaveletcoefficients,continuouswaveletinthescaleisaa,withaadisplacementoftheinnerproductsignal,saidsignalwiththepointrepresentedbythedegreeofsimilarityofthewavelet.Whentheeeandff,etc.,thepointofthewaveletcoefficientis1.Whenggsmaller,theresolutionofthelowfrequencydomainofhigh-resolutiontime-domain;whenjjincreases,theresolutionofthehighfrequencydomainoflow-resolutiontime-domain.Itisinthissense,wavelettransformknownasthe"mathematicalmicroscope."

1.2mexh小波系数的计算方法

本文采用的是mexh小波，其函数形式为：

。

它是高斯函数的二阶导数（加负号），可知在

=0处

有二阶零点，所以满足容许条件，而且其小波系数随

衰减较快。

mexh小波的时、频两域都有很好的局部性，并且满足

。

由于它不存在尺度函数，所以此小波函数不具有正交性。

Thisarticleisbasedonwaveletmexh,thefunctionoftheform:

ff.ItisaGaussianfunctionofthesecondderivative（plusminus）,wecanseeinthedd=0Departmentfftherearesecond-orderzero,sotomeetthepermitconditions,andthewaveletcoefficientsdecayrapidlywiththecc.mexhwavelet,thefrequencyofthetwodomainshaveverygoodlocality,andtomeetxx.Becauseofitsscalingfunctiondoesnotexist,thiswaveletfunctiondoesnothaveorthogonality.

对于正交小波的快速计算，已经发展了相当完善的Mallat算法，而对于非正交的小波变换，文献资料鲜有报道。

本文采用了一种快速、实用的算法，流程如图1所示。

其中，FT和IFT分别表示傅氏和逆傅氏变换。

Forfastorthogonalwaveletbasis,hasdevelopedacomprehensiveMallatalgorithm,whilefornon-orthogonalwavelettransform,theliteraturehasbeenreportedrarely.Inthispaper,afastandpracticalalgorithm,theprocessshowninFigure1.Which,FTandIFT,respectively,FourierandinverseFouriertransform.

图1mexh小波系数的计算流程图

以下从两个不同的角度----Parseval定理和时域卷积定理推导上述算法。

①从Parseval定理的角度推导：

由Parsevarl定理知对于两函数

和

有：

Thefollowingfromtwodifferentangles----Parsevaltheoremandtime-domainconvolutiontheoremoftheabovealgorithmisderived.

①fromtheperspectiveoftheParsevaltheoremisderived:

KnowntheoremfromthetwoParsevarlfunctionaaandbbare:

=

=

由小波变换公式可以转换为：

=

=

=

=

=

②从时域卷积定理的角度推导：

小波变换公式变形为：

②fromthetime-domainpointofviewconvolutiontheoremisderived:

Deformationofwavelettransformformulaasfollows:

=

=

=

=

当

看作常数而

看作连续时间变量时，上式为

和

的卷积。

由时域卷积定理即时域中两函数的卷积等效于频域中频谱的乘积得：

Whentheccasaconstantandcontinuous-timeasavariable,fortheaaandss-typeofconvolution.Theorembythetime-domainconvolutionfunctionoftworeal-timedomainconvolutionisequivalenttothefrequencydomainspectrumoftheproductwas:

=

=

=

=

可见，从Parsevarl定理的角度和时域卷积的角度推导出的小波变换系数公式是一致的。

由此得非正交小波变换系数为：

CanbeseenfromtheperspectiveofParsevarltheoremandtime-domainconvolutionofthepointofviewderivedfromtheformulaofthewavelettransformcoefficientsarethesame.Thiswasnon-orthogonalwavelettransformcoefficient:

aa

（2）

上述算法求解非正交小波变换系数相比常规的离散小波变换算法具有如下明显的优点：

①将小波变换系数的计算转换到纯频域中进行，只需计算时间序列和小波函数的傅氏变换即可，可以充分利用FFT（快速傅氏变换）算法优势，运算速度较快；

②由于式

（2）是在时间序列

和小波函数

的整个时间段上进行，因此小波变换系数中的变量

自动映射到整个时间段上而不用专门设置，所以计算结果只是

的函数，只需对

离散化即可，计算过程较为简单，并且易于计算机程序实现[9]。

Algorithmforsolvingtheabove-mentionednon-orthogonalwavelettransformcoefficientscomparedtoconventionaldiscretewavelettransformalgorithmhasobviousadvantagesasfollows:

①tothecalculationofwaveletcoefficientstoswitchtopurefrequencydomain,simplycalculatingthetimeseriesandwaveletfunctiontotheFouriertransform,cantakefulladvantageofFFT（FastFourierTransform）algorithmadvantageoffaster;

②asaresultoftype

（2）ssinthetimeseriesandwaveletfunctionoftheccontheentiretimeperiod,thewaveletcoefficientsofthevariablesaaautomaticallymappedtotheentireperiodoftimeratherthanspecializedsettings,theresultsonlyafunctionofxx,ccdiscretizationonlyforyoutocalculatetheprocessmoresimpleandeasyrealizationofacomputerprogram.

2应用实例

丹江口水库是汉江的南水北调中线工程水源地。

汉江作为长江的一条支流，既要提供本流域的“三生”用水，又要承担向河南、河北、北京、天津供水的重任，具有较大挑战性。

本文运用mexh小波分析方法，对丹江口地区的径流和降水的震荡变化规律进行研究，识别周期成分，揭示它在不同时间尺度下的波动特性，为汉江流域水资源开发利用和南水北调中线工程水资源优化配置提供技术支撑。

本文所采用的数据资料是1933-2001年的径流量（来自长江水利委员会）和1961-2006年的降水量（来自中国水利水电科学研究院）。

2.1径流周期性分析

2.1.1初始数据处理

为减少径流序列中季节变化及短期噪声的干扰，首先对年平均流量序列进行标准化处理：

Inordertoreduceseasonalvariationinrunoffseriesandshort-termnoise,firstofall,theaverageannualflowofthestandardizationofsequenceprocessing:

（3）

式中：

为第

年的标准径流量；

为第

年实测平均径流量；

、

分别为多年平均径流量和均方差。

标准化处理后，实测序列即转换为标准化序列[10]。

Where:

aaforthefirstyearsofthestandardccrunoff;zzmeasuredforthefirstyeartheaveragezzrunoff;xx,cc,respectively,theaveragerunoffformanyyearsandthemeansquaredeviation.Standardizationoftreatment,measuredsequencethatisconvertedtostandardizedsequence.

丹江口以上地区1933～2001年（69年）的标准径流序列如图7或图8中的无点实线所示。

2.1.2小波变换

用mexh小波对标准径流序列进行连续小波变换，由计算结果绘制小波变换系数等值线图（图2），图中反映出降水量序列的周期变化、突变点分布和位相结构特征[11]。

小波系数为正时，表示径流量偏多，图中用实线绘出；为负时表示径流量偏少，图中用虚线绘出。

由图3可见，能量中心的频域尺度主要集中在8～10年，22～24年（即在这两个区域内有规律地出现丰枯交替过程），代表了较为明显的两个主要周期。

Mexhwaveletwiththestandardrun-offcontinuouswavelettransformsequences,drawnfromthecalculationofwavelettransformcoefficientcontourmap（Figure2）,thefigurereflectsthesequenceofthecycleofprecipitationchange,mutationdistributionandphasestructuralcharacteristics.Waveletcoefficientsforthetimebeing,saidrunoffonthehighside,withsolidlinedrawnmap;negativethatlowrunoff,mapdrawnwithdottedlines.CanbeseenfromFigure3,theenergycenterofthefrequency-domainmeasuremainlyconcentratedinthe8to10years,22~24years（thatis,inthesetworegionsappearregularlyalternating丰枯process）,onbehalfofthemoreobviousthetwomaincycles.

图2径流的小波变换系数等值线图

2.1.3小波方差

小波方差[12]公式为：

Waveletvarianceformulais:

（4）

它的离散形式为：

Itsdiscreteformasfollows:

（5）

式中：

为尺度

、时间

处的小波系数的平方；n为系列的长度。

Where:

aatoscalecc,timexxDepartmentofthesquareofthewaveletcoefficients;nisthelengthofseries.

根据式（5）计算小波方差，并作小波方差图（图3），该图能反映波动的能量随尺度

的分布，可以用来辩识时间序列中各种尺度扰动的相对强度和周期特征[9]。

小波方差随时间尺度变化的过程中有3个峰值，横坐标分别是3年、9年、23年。

其中后两个峰值在相应尺度下信号震荡强烈，所以9年和23年是主要周期，3年则是次要周期。

18年处也对应一个峰值，但此峰值不明显，可视为小波方差值的小波动，予以忽略。

Accordingtotype（5）calculationofwaveletvariance,andwaveletvariancemap（Figure3）,theplantoreflectthefluctuationsinthedistributionofenergywiththescale,timeseriescanbeusedtoidentifyvariousscalesandtherelativeintensityofthedisturbancecycle特征.Waveletvariancechangeswiththetimescaleoftheprocessofthreepeaks,respectively,theabscissais3years,9years,23years.Thelattertwoofwhichscalethepeaksignalinthecorrespondingstrongshocks,so9yearsand23yearsisamajorcycle,3-yearcycleisofsecondaryimportance.18yearsalsocorrespondtoapeak,butthispeakwasnotobvious,canberegardedaswaveletsmallfluctuationsinthemargintobeignored.

图3径流的小波方差图

2.2降水量周期性分析

2.2.1初始数据处理

丹江口以上地区1961～2006年（46年）的标准降水量序列如图9中的无点实线所示，对实测数据的处理方法同上。

2.2.2小波变换

对上述标准降水量序列作小波变换，结果见图4。

图5显示，从1961-2006年整个时间序列都可见，能量中心的频域尺度主要集中在22～24年，代表了较为明显的主要周期。

在1961-1990年间，在频域尺度8-10年内也有规律地丰枯变化，但后面没有延续这种规律，这与实际情况相符。

进入90年代以来，实际降水偏枯。

图4降水量的小波变换系数等值线图

2.2.3小波方差

进一步计算出小波方差，并作小波方差图（见图5）。

小波方差随时间尺度变化的过程中有3个峰值，横坐标分别是3年、9年、23年。

其中最后一个峰值在相应尺度下信号震荡强烈，所以23年是主要周期，3年和9年则是次要周期。

5年处也对应一个峰值，但此峰值不明显，可视为小波方差值的小波动，予以忽略。

图5降水量的小波方差图

2.3结果分析

选取标准径流序列的两个尺度（9年和23年），分别绘制小波系数曲线，如图6和图7中的带点实线所示，可得它们的周期分别为9年和23年。

图中的小波系数曲线实际上是对实际数据进行了一定程度“去噪”、“拟合”的结果，即保留低频成分，滤掉高频成分。

其震幅表明水文信号的强度。

Selectthestandardtwo-scalerunoffseries（9and23years）,respectively,thewaveletcoefficientsdrawncurveinFigure6andFigure7asshowninsolidlineabittogettheircycleof9yearsand23years.Graphcurveofthewaveletcoefficientsistheactualdatatoacertainextent"de-noising","fit"theresults,thatistoretainlow-frequencycomponents,highfrequencycomponentsfilteredout.Itsamplitudeshowsthattheintensityofthehydrologicalsignal.

图69年尺度小波系数与标准径流序列对比图

图723年尺度小波系数与标准径流序列对比图

选取降水量的23年尺度，绘制该尺度的小波系数曲线，如图8中的带点实线所示，其周期为23年。

图823年尺度小波系数与标准降水量对比图

可见，在实际数据受到随机成分影响的情况下，实际曲线与拟合曲线仍然相当吻合。

拟合曲线都呈现周期性，但同一拟合曲线各周期间的震幅并不严格相同，恰好说明小波分析在注重整个时间序列的频域信息的同时，也充分考虑了局部的时域信息。

Canbeseenintheactualdatabytherandomelementoftheimpactofcases,theactualcurveandfittingcurvearestillveryf