aa
e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆。
2y=±皂c
最大距离为：
a+c
最小距离为：
a-c
相关应用题：
远日距离a+c
近日距离a-C
22
椭圆X^+-y2=1与直线y=kx+b的位置关系:
ab
r22
x_+y__1
直线和椭圆的
位置
利用ja2b2"1转化为一元二次方程用判别式确定。
[y=kx+b
相交弦AB的弦长卜B|+k2J（Xi+X2）2-4X4X2
通径:
AB|=卜2-yi
共
线
曲
22
•亠=k（kh0）ab
22
占—笃=k（kH0）
ab
方程
2
双曲线笃
a
2
笃=1与直线y=kx+b的位置关系:
b2
直线和双曲线的位置
利用
2
_y__1
~b2"'转化为一元二次方程用判别式确定。
[y=kx+b
严2
x
~2
估
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长|AB|=Jl伙2』x,+X2）2—4x,X2
3.抛物线
通径：
|ab|=
y2—yi
2
X=-2py
（P>0）
2
y=2px
（P>0）
2
y=-2px
（P>0）
2
x=2py
（P>0）
i
F
平面内与一个定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦
定义
点，直线I叫做抛物线的准线。
{M||mF1=点M到直线I的距离}
范围
X>0,y€R
x<0,严R
X€R,y>0
X平y<0
对称性
关于x轴对称
关于y轴对称
焦占
八、、八、、
（即）
（子0）
（0,子）
（0七）
焦点在对称轴上
顶点
0（0,0）
离心率
e=1
准线
方程
P
x=一―
2
P
x=—
2
P
P
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
考点
■椭圆基础题型
22
k的取值范围是（）
例1.已知方程&+；?
=—1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数
——k2k一1
A.（2，2）
B.（1,+s）
c.
（1,2）
（2,1）
C,D两点的椭圆的短轴的长为
4迄
例2.矩形ABCD中，|AB|=4,|BC|=3，则以A,B为焦点，且过A.2也
例3.一个椭圆中心在原点，焦点椭圆方程为（
22
A<+y-=1
A.8+61
B.
Fi,F2在x轴上，P（2，翻是椭圆上一点，且|PFi|,IF1F2I,IPF2成等差数列，则
22
16+^6=1
22
D-16+诗=1
例4.已知椭圆
F1、F2,过F1的直线I交椭圆于A、B两点，若|BF2+|AF2|
C.
D.73
考点二一一双曲线基础问题
例6.已知F为双曲线C:
A.也
X—my2=3m（m>0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）
B.3C.V3mD.3m
22
例7.已知双曲线a^—^^2=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3,4），则此双曲线的方程为（）
2222
AJ匕一1B&Z—1
A.16—9=1B.3—4=1
6.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是这个椭圆方程为.
22
8.过椭圆—++=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
54
22
9.已知双曲线牛一-=1的右焦点的坐标为（{13,0），则该双曲线的渐近线方程为
9
aT
10•如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点，且双曲线过C,
顶点•若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为.
11.顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P（-4,-2）的抛物线方程是
1
12.已知点P在抛物线y2=4x上,且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为-,则点P到x轴的距离为
13.如图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若|BC|
=2|BF|,且AF|=3,则抛物线的方程是.
14.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过M作MN丄FA,垂足为N，求点N的坐标.
由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则
解析：
选D.由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知，|AF2+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8—（|AF21+|BF2|）>3,=3.所以b2=3，即b=百.
a¥
考点二一一双曲线基础问题
|a=3
解得1，所以此双曲线的方程为
lb=4
--
考点三一一抛物线基础问题
例8.已知m,n,m+n成等差数列，m,n,mn成等比数列，则抛物线mx2=ny的焦点坐标是（）
11c、c1
A.（0,2）B.（2，0）C.（0，4）
1解析：
选A•由题意知，2n=m+m+n且n2=mmn,解得m=2,n=4,故抛物线为x2=2y,其焦点坐标为（0,刁.
D.（4，0）
例9.已知抛物线C与双曲线x2—y2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线
A.y2=±2护XB.y2=±2xC.y2=±4x
解析：
选D.因为双曲线的焦点为（一护,0）,付2,0）.设抛物线方程为
所以抛物线方程为y2=也述X.
例10.设F为抛物线C:
y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交
A姮
A.3
C的方程是（）
D.y2=±S/2xy2=±3x（p>0），则号=寸2，所以p=2（2,
C于A，B两点，贝y|AB|=（）
D.a/3
y—0=tan30°x—子）即y=^x—申.
解析：
选C.・.F为抛物线C:
y2=3x的焦点，•••f{3,0）.・.ab的方程为
—7
22121213
―="2即xa+Xb=2由于|AB|=xa+xb+P,所以|AB|=2+2=12.
3
iy2=3x,
I1273
联立Y迥Va得1X—?
+136=0「冷+X2=—
厂3X—
三、巩固练习：
22
1.椭圆仝+宁=1上有两个动点P、
369
A.6
Q,E（3,0）,
ep丄eq，贝UEP•Qp的最小值为（）
D.12-时a
=寸3m2—6m+18=（m—4）2+6，因为一62222
2.已知椭圆刍+y-=1（a>0）与双曲线X—y=1有相同的焦点，则a的值为（）A.匹B.屮0C.4D.J34
a943
2222解析：
选C.因为椭圆X7+詈=1（a>0）与双曲线X—y=1有相同的焦点（±7,0）,则有a2—9=7，/a=4.
a943
22
F2分别为双曲线字—b2=1（a>0,b>0）的左，右焦点.若在双曲线右支上存在点
3—'\[3
解析：
选A.设P点坐标为（m,
C.9
22.
n），则336+n-=1，所以|pe|=P（m-3）2+（n—0）2
3.设Fi,
P,满足|PF2|=IF1F2I,且
C5f回
C.4D.4
PF1的距离等于双曲线的
-或e=—1（舍去）.
N，则|FM|:
|MN|
D.1:
3
PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A.4B.5
33
B.易知|PF2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,因为F2到直线实轴长，所以（a+c）2+（2a）2=（2c）2,即3c2—2ac—5a2=0,两边同除以a2,得3e2—2e—5=0,解得e=4.已知点A（2,0）,抛物线C:
x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点=（）A.2：
V5B.1:
2C.1:
11
F2到直线
解析：
选
解析：
选C.直线FA:
y=—只+1，与x2=4y联立，得xm=1，直线FA:
y=—1,与y=—1联立，
得N（4,—1），由三角形相似知XM=士.
C1：
y2=2px（p>0）的焦点，顶点B在抛物线的准线I上且AB丄I，则点A的位B.在C1上C.在G开口外D.与P值有关
AB中点的横坐标为p,则A（3P，m）,△ABF是边长|AB|=2p的等边三角形，即
）2+m2=2p,.・.p2+m2=4p2,Am=±3p,^A（^p,±3p）,代入y2=2px中，得点A在抛物线上，
5.已知等边^ABF的顶点F是抛物线置（）A.在C1开口内解析：
选B.设B（—p,m）,由已知有|af|=H（乎—2、22故选B.
6.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是这个椭圆方程为.
ja—c=羽,
解析：
由题意知ic1
[a=2
7.若一个椭圆长轴的长度，
解析：
不妨设椭圆的方程为
|a=2品X2y2、y2x2x2y2
解得Y•椭圆方程为12+©=1或12+"9=1.答案：
12+"9=1
lc=/3.
短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是.
22
Xy2
弋+*=1（a>b>0），则由题意知，2a+2c=2X2b，即a+c=2b，又c=ab
33
a2—b2,消去b
整理得5c2=3a2—2ac，即卩5e2+2e—3=0,解得e=5或e=—1（舍去）.答案：
-
22
8•过椭圆X+y=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为.
54
十22
导汁1
解析：
由题意知椭圆的右焦点F的坐标为（1,0），则直线AB的方程为y=2x—2.联立f54，解得交点A（0,—
[y=2x—2
11455
2|OF||yA—yB|=2Xu|—2―3|=3答案：
3
9.已知双曲线宁—J=1的右焦点的坐标为（餐，0），则该双曲线的渐近线方程为
2
a=4，故双曲线方程为X—
541
2）,B（3,3）,.dAB=L
22J
y
i9a
解析：
依题意知（養）2=9+a,所以
答案：
2x+3y=0或2x—3y=010•如图所示，已知双曲线以长方形
=3,则此双曲线的标准方程为
22
解析：
设双曲线的标准方程为予—b=1（a>0,b>0）.
2
4=1,则渐近线方程为
^±-=0•即2x^3y=0.
ABCD的顶点A,
B为左、
由题意得
右焦点，且双曲线过
B（2，0），
C（2，3），
!
-22
4=a+b,[a2=1,
•Y49解得丫C•••双曲线的标准方程为
存—孑=1,[b=3,
11.顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P（—4,
解析：
设抛物线方程为
2
x2-A
1.答案:
2
X2-器1
C,
12.已知点P在抛物线
—2）的抛物线方程是.
=my,得m=—8,所以抛物线方程是
1
2则点
x2=my,将点P（—4,—2）代入x2
y2=4x上,且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为
X2
8y.答案：
x2=—8y
P到x轴的距离为
（Xp,yP）,抛物线y2=4x的准线方程为x=—1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点
XP12
=-,解得Xp=1,.・.yP=4,.・.|yp|=2.答案：
2XP—（—1）2
13.如图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若BC|=2|BF|,
且AF|=3,则抛物线的方程是.
解析：
分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D，则|BF|=|BD|,v|BC|=2|BF|,/|BC|=2|BD|,a
解析：
设点P的坐标为
P到准线的距离，故
/BCD=30°，又•|AE|=|AF|=3,a|AC|=6，即点F是AC的中点，
根据题意得p=3,.••抛物线的方程是y2=3x.答案：
y2=3x
14.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴，垂足为B,OB的中点为M.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过M作MN丄FA,垂足为N，求点N的坐标.
解：
（1）抛物线y2=2px的准线为X=—p，于是
（2）•••点A的坐标是（4,4），由题意得B（0,
4
4+p=5,.・.p=2.A抛物线方程为
y2=4x.
4）,M（0,2）.
4.又fa的方程为y=4（x—1）,
MN的方程为y—2=—4x,②联立①②，解得x=5,y=5,.・.N的坐标为弓
又|F（1,0）,.*FA=3,IMN1FA,*mn=—
3
MN的方程为y—2=—4
•4）
X+b^—1（0Vbv2）的左、右焦点分别为
的最大值为5,贝yb的值是（
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