专题二十九平面解析几何椭圆双曲线抛物线.docx

1、专题二十九平面解析几何椭圆双曲线抛物线专题平面解析几何（2）椭圆、双曲线、抛物线一、知识梳理:1.椭圆（焦点在x轴）（焦点在y轴）标准方程2 2X y+ F = 1(a A b A 0) a b第一定义：平面内与两个定点 F1 , F2的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。m|MFi|+MF2 =2a(2a jFiF2 )“2 yM0 IIF/ XX ay bX b ly 兰 a顶点坐标(坦 0) (0,b)(0,a) (b,0)X轴，y轴；长轴长为2a，短轴长为2b对称中心原点0(0,0)Fi(c,0) F2(c,0)Fi(0,c

2、) F2(0,-c)焦点坐标焦点在长轴上，c = Ja2 -b2 ； 焦距:F1F2 =2c2 2 , 2 c c , 2 c a -be= ( 0 e0)2y = 2 px(P0)2y = -2px(P0)2x = 2 py(P0)iF平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F叫做抛物线的焦定义点，直线I叫做抛物线的准线。 M |mF 1=点M到直线I的距离范围X 0,y Rx0X 平 y 0对称性关于x轴对称关于y轴对称焦占八、八、（即）(子0)(0,子)（0七）焦点在对称轴上顶点0(0,0)离心率e=1准线方程Px = 一2Px =2PP准线与焦点位于顶点两

3、侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的 距离焦点到准线的 距离考点椭圆基础题型2 2k的取值范围是（ ）例1.已知方程 &+；?= 1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k 2k一 1A .（2，2）B . (1 ,+s )c.(1 , 2)(2, 1)C, D两点的椭圆的短轴的长为4迄例2.矩形ABCD中，|AB| = 4, |BC|= 3，则以A, B为焦点，且过 A. 2也例3 .一个椭圆中心在原点，焦点 椭圆方程为（2 2A 0）的一个焦点，则点 F到C的一条渐近线的距离为（ ）B . 3 C. V3m D. 3m2 2例7 .已知双曲线a 2= 1（a 0, b 0）的左、右焦点分别为 F1、

4、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点 为（3, 4），则此双曲线的方程为（ ）2 2 2 2A J 匕一1 B & Z 1A . 16 9 = 1 B . 3 4 = 16 .椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 这个椭圆方程为 . 2 28.过椭圆+ + = 1的右焦点作一条斜率为 2的直线与椭圆交于 A,B两点，O为坐标原点，则 OAB的面积为5 42 29.已知双曲线牛一-=1的右焦点的坐标为(13, 0)，则该双曲线的渐近线方程为9a T10如图所示，已知双曲线以长方形 ABCD的顶点A, B为左、右焦点，且双曲

5、线过 C,顶点若AB= 4, BC= 3,则此双曲线的标准方程为 .11.顶点在原点，对称轴是 y轴，并且经过点 P(-4, - 2)的抛物线方程是112.已知点P在抛物线y2= 4x 上,且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为 -,则点P到x轴的距离为13.如图，过抛物线y2= 2px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且AF|= 3,则抛物线的方程是 .14.已知抛物线y2= 2px(p0)的焦点为F , A是抛物线上横坐标为 4,且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等 于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为 M .(1)

6、求抛物线的方程；(2)若过M作MN丄FA,垂足为N，求点N的坐标.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则解析：选D.由椭圆的方程可知 a= 2,由椭圆的定义可知，|AF2 + |BF2|+ |AB|= 4a = 8,所以|AB|= 8 （|AF21+ |BF2|）3, =3 .所以b2= 3，即b=百.a 考点二一一双曲线基础问题|a= 3解得1 ，所以此双曲线的方程为lb= 4-考点三一一抛物线基础问题例8.已知m, n, m + n成等差数列，m, n, mn成等比数列，则抛物线 mx2= ny的焦点坐标是( )1 1c、 c 1A. (0, 2) B .(2，0) C . (0，

7、4)1 解析：选A 由题意知，2n = m + m + n且n2= mmn,解得m= 2, n = 4,故抛物线为x2= 2y,其焦点坐标为(0,刁.D.(4，0)例9.已知抛物线C与双曲线x2 y2= 1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线A . y2= 2护X B . y2= 2x C . y2= 4x解析：选D .因为双曲线的焦点为(一护,0),付2, 0).设抛物线方程为所以抛物线方程为 y2 =也述X.例10.设F为抛物线C: y2 = 3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交A姮A. 3C的方程是( )D. y2= S/2x y2= 3x(p0)，则号=寸2，所以 p= 2(2,C

8、于 A，B 两点，贝y |AB|=( )D. a/3y 0=tan 30 x子)即 y=x申.解析：选C.F为抛物线C: y2= 3x的焦点， f3, 0).ab的方程为72 21 21 21 3=2即 xa+ Xb=2由于 |AB|= xa + xb+ P,所以 |AB|=2 + 2 = 12.3iy2= 3x,I 12 7 3联立 Y 迥 Va 得 1X ?+136= 0冷 + X2= 厂3 X三、巩固练习：2 21 .椭圆仝+宁=1上有两个动点 P、36 9A. 6Q, E(3, 0),ep丄eq，贝U EP Qp的最小值为( )D. 12-时a=寸 3m2 6m + 18 = ( m

9、4) 2+ 6，因为一60)与双曲线X y = 1有相同的焦点，则a的值为( )A .匹 B.屮0 C. 4 D . J34a 9 4 32 2 2 2 解析：选C.因为椭圆X7+詈=1(a0)与双曲线X y = 1有相同的焦点(7, 0),则有a2 9 = 7，/a = 4.a 9 4 32 2F2分别为双曲线 字b2= 1(a0, b0)的左，右焦点.若在双曲线右支上存在点3 3解析：选A .设P点坐标为(m,C. 92 2 . n)，则 336 + n- = 1，所以 |pe| = P ( m-3) 2 +(n 0) 23.设 Fi,P,满足 |PF2|= IF1F2I,且C 5 f 回

10、C. 4 D. 4PF1的距离等于双曲线的-或e= 1(舍去).N，则 |FM| : |MN|D. 1 : 3PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 ( )A . 4 B . 53 3B.易知|PF2|= |F1F2|= 2c,所以由双曲线的定义知|PF1|= 2a+ 2c,因为F2到直线 实轴长，所以(a + c)2+ (2a)2 = (2c)2,即 3c2 2ac 5a2 = 0,两边同除以 a2,得 3e2 2e 5 = 0,解得 e= 4.已知点A(2,0),抛物线C: x2= 4y的焦点为F ,射线FA与抛物线C相交于点M ,与其准线相交于点 =( )A . 2 ：V5

11、 B. 1 : 2 C. 1 :1 1F2到直线解析：选解析：选C.直线FA: y=只+ 1，与x2= 4y联立，得xm= 1，直线FA: y= 1,与y= 1联立，得N(4, 1)，由三角形相似知 XM = 士.C1： y2= 2px(p0)的焦点，顶点B在抛物线的准线I上且AB丄I，则点A的位 B .在C1上 C.在G开口外 D .与P值有关AB中点的横坐标为p,则A(3P，m), ABF是边长|AB|= 2p的等边三角形，即)2+ m2= 2p,.p2 + m2= 4p2,Am= 3p,A(p,3p),代入 y2 = 2px 中，得点 A 在抛物线上，5.已知等边 ABF的顶点F是抛物线

12、 置( )A .在C1开口内 解析：选B .设B( p, m),由已知有 |af|=H(乎2、2 2 故选B .6 .椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 这个椭圆方程为 .ja c=羽,解析：由题意知ic 1a= 27 .若一个椭圆长轴的长度，解析：不妨设椭圆的方程为|a= 2 品 X2 y2 、y2 x2 x2 y2解得Y 椭圆方程为12+=1或12 + 9 = 1.答案：12+9 =1lc=/3.短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是 .2 2X y 2弋+*= 1(ab0)，则由题意知，2a+ 2c = 2X2b，即

13、a+ c = 2b，又 c = a b3 3a2 b2,消去 b整理得 5c2 = 3a2 2ac，即卩 5e2+ 2e 3 = 0,解得 e=5或 e= 1(舍去).答案：-2 28 过椭圆X + y = 1的右焦点作一条斜率为 2的直线与椭圆交于 A,B两点，O为坐标原点，则 OAB的面积为 .5 4十2 2导汁1解析：由题意知椭圆的右焦点 F的坐标为(1, 0)，则直线AB的方程为y= 2x 2.联立f 5 4 ，解得交点A(0,y= 2x 211 4 5 52|OF | |yA yB|= 2X u | 2 3|= 3 答案：39.已知双曲线宁J = 1的右焦点的坐标为(餐，0)，则该双

14、曲线的渐近线方程为2a= 4，故双曲线方程为X 5 4 12), B(3, 3) ,.dAB=L2 2 J yi 9 a解析：依题意知(養)2= 9 + a,所以答案：2x+ 3y= 0 或 2x 3y= 0 10如图所示，已知双曲线以长方形=3,则此双曲线的标准方程为 2 2解析：设双曲线的标准方程为 予b = 1(a 0, b0).24 = 1,则渐近线方程为-= 0即 2x3y= 0.ABCD的顶点A,B为左、由题意得右焦点，且双曲线过B（2，0），C（2，3），!- 2 24 = a + b , a2= 1,Y 4 9 解得丫 C 双曲线的标准方程为存孑=1, b= 3,11.顶点在原

15、点，对称轴是 y轴，并且经过点 P( 4,解析：设抛物线方程为2x2- A1.答案:2X2-器 1C,12 .已知点P在抛物线2)的抛物线方程是 .=my,得m= 8,所以抛物线方程是12则点x2= my,将点 P( 4, 2)代入 x2y2= 4x 上,且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为X28y.答案：x2= 8yP到x轴的距离为(Xp, yP),抛物线y2 = 4x的准线方程为x= 1，根据抛物线的定义，点 P到焦点的距离等于点XP 1 2 =-,解得 Xp= 1,.yP= 4,.|yp|= 2.答案：2 XP ( 1) 213.如图，过抛物线 y2= 2px(p0)的焦点F的直线l

16、依次交抛物线及其准线于点 A、B、C,若BC|= 2|BF|,且AF|= 3,则抛物线的方程是 .解析：分别过点A、B作准线的垂线 AE、BD，分别交准线于点 E、D，则|BF|= |BD|,v|BC|= 2|BF|,/|BC|= 2|BD |,a解析：设点P的坐标为P到准线的距离，故/BCD = 30，又|AE|= |AF|= 3,a|AC|= 6，即点 F 是 AC 的中点，根据题意得p=3,.抛物线的方程是y2= 3x.答案：y2= 3x14.已知抛物线y2= 2px(p0)的焦点为F, A是抛物线上横坐标为 4,且位于x轴上方的点, 到抛物线准线的距离等于 5,过A作AB垂直于y轴，垂足为B, OB的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN丄FA,垂足为N，求点N的坐标.解：(1)抛物线y2= 2px的准线为X = p，于是(2) 点A的坐标是(4, 4)，由题意得B(0,44 + p = 5,.p = 2.A抛物线方程为y2= 4x.4), M(0, 2).4.又fa的方程为y= 4(x 1),MN的方程为y 2= 4x,联立，解得x = 5, y= 5,.N的坐标为弓又 | F(1 , 0),.*FA= 3,IMN 1FA,*mn= 3MN的方程为y 2= 4 4）X + b 1（0 V bv 2）的左、右焦点分别为的最大值为5,贝y b的值是（