杆类构件的应力分析与强度计算.docx
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杆类构件的应力分析与强度计算
第七章杆类构件的应力分析与强度计算
习题
7.1图示阶梯形圆截面杆AC,承受轴向载荷R=200kN与F2=100kN,AB段的直径
di=40mm。
如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。
I1
AE
3
C
F
解:
AB
BC
即，
解出:
mm二49mm
题7.1图
如图所示：
物体仅受轴力的作用，在有两个作用力的情况下经分析受力情况有:
AB段受力：
Fnab二FiBC段受力：
Fnbc二h•F?
段正应力：
6b=弘=仃彎些
Aabxd10.04兀
段正应力：
Cb^-FnbC=4阻=4Fi2F2
BCAbc"d22y2
而BC与AB段的正应力相同
2
7.2图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm，载荷F=50kN。
试求图示斜截
面农=30°m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。
解：
拉杆横截面上的正应力-0=匕1=F50000卩玄二i00MPa
0AA500"0
应用斜截面上的正应力和剪应力公式：
CTo
匚30_厂0cos:
30=」sin2:
有图示斜截面m-m上的正应力与切应力为：
匚30=75MPa30=43.3MPa
当〉=0时，正应力达到最大，其值为；「max“OOMPa
即：
拉压杆的最大正应力发生在横截面上，其值为lOOMPa。
当〉=45时，切应力最大，其值为-max-=50MPa
2
即拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45•的斜截面上，其值为50MPa。
铜杆，横截面面积A=300mm2，许用应力I,=100Mpa。
7.3图示结构中AC为钢杆，横截面面积A（=200mm2，许用应力卜1=160Mpa；BC为试求许可用载荷F1。
题7.3图
解：
（1）分析受力，受力图如图7.7b所示。
Fx=0-Fnacsin45FNBCsin30=0
'Fy=0FNaccos45FNbccos30-F=0
解得：
FNBC-°.732F
FNac=0.5175F
（2）计算各杆的许可载荷。
对BC杆,
根据强度条件
0.732FI；-J2=100MPa
A2
解得:
匕1A，（100106Pa）30010》m2
0.732
根据强度条件-=门
2-40.98kN
对AC杆,
0.732
0.5175F注1N60MPa
解得:
匕1A
0.5175
160106Pa20010-m
61.84kN0.5175
所以取Fmax=40.98KN，即IP）-40.98KN
7.4图示简易起重设备中，BC为一刚性杆，AC为钢质圆截面杆，已知AC杆的直径为
d=40mm，许用拉应力为lc.1-170MPa，外力F=60kN，试校核AC杆的强度。
题7.4图
解：
C铰链的受力图如图所示，平衡条件为
二Fx-0,Fnb_FnQOS二0
'Fy=0,FnasinF=0
5F4F
解上面两式有Fna=100KN，Fnb=80KN
33
4汇Fma
AC杆所受的拉应力为二ac先二79.58MPa
兀X0.04
所以有匚acV匕1二170MPa
AC所受载荷在许可范围内。
7.5图示结构，AB为刚性杆，1,2两杆为钢杆，横截面面积分别为A=300mm2人=200mm2，材料的许用应力&]=160MPa。
试求结构许可载荷t】。
Fn1
0.5m
1.5m
Fn2a
2
TE
题7.5图
解：
AB杆受力图如图所示，其平衡条件为:
》Ma=o,0.5F—Fn2=0Fn2=0.2I5
二.Fy=0,Fn1'Fn-F
FN1=0.75F
由；电可得
A
-i
FN1
A1
0.715
300it
lc.1-160MPa
解得F<64KN
〜于=2^山丄160沁
解得F-128KN
取两者中较小的值：
有IFI-64KN
7.6图示结构中AB为刚性杆。
杆1和杆2由同一材料制成，已知F=40kN,E=200GPa，lc.1-160MPa，求两杆所需要的面积。
2m
1.5m
0.4m
1.6m
AB
题7.6图
解：
AB杆受力图如图所示,
、Ma=o,0.4F-Fnb=0Fnb=0.F=KN
Fy=0,
FnA■FNB=
FN1=0.8F=32KN
由二=Fn可得
A
FNA
32000
-i
Ai
lcI-160MPa
o
解得A_200mm
Fnb
■■2二
A2
8000
A2
lc.1-160MPa
o
解得A_50mm
7.7在图示结构中，所有各杆都是钢制的，F=100kN。
试求各杆的应力。
32
横截面面积均等于310m
外力
'Fy=0,
解：
B铰链的受力图如图（a）
Fnc
Fna
（a）
（b）
FNA-FN@in■二0
3F―
=75KN（拉力），
4
C铰链的受力图如图（b）所示，平衡条件为
解上面两式有F
NA
Fnc
5F
=125KN（压力）
—Fx=0,Fnac_FnGOS二0
、Fy=0,FzcSin-FN亍0
3F
解上面两式有Fnac=F=100KN（拉力），Fnd=75KN（压力）
4
解出各杆的轴力后，就可求各杆的应力
FNA
75000
r
-A
31
310~
Fnc
125000,
_A
310"
Fnac
100000
_A
一310’
Fnd
75000
-A
-310”
Pa=41.67MPa
Pa=25MPa
二AC
:
二BC
CD
AB
=25MPa
Pa=33.33MPa
7.8图示横截面为75mmX75mm的正方形木柱，承受轴向压缩，欲使木柱任意横截面上的正应力不超过2.4MPa，切应力不超过0.77MPa，试求其最大载荷F=?
题7.8图
解：
木柱横截面上正应力达到最大，其值为即：
拉压杆的最大正应力发生在横截面上。
26
A7510
75^"小2・4MPa
（1）
拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成
45的斜截面上切应力最大,
其值为max
-F_f
—__2Z6"
22A27510
（2）
由
（1）式得F<13.5KN
由
（2）式得F<8.66KN
所以其最大载荷F=8.66KN
7.9—阶梯轴其计算简图如图所示，已知许用切应力
I）-60MPa,22mm,
D2=18mm，求许可的最大外力偶矩
解：
用截面法求得AB,
Me°
AB段扭矩T|=2Me
BC段扭矩T2=M
由此可见AB段的扭矩比BC段的扭矩大，但两段的直径不同，因此需分别求出两段的
切应力
AB段
1,max
兀
16
2M
=9.57Me105H]=60MPa
（0.022m）3
解得有Me=62.7l^m
BC段
解得有
■2,max
兀3
16（°.018m）3
5
=8.73Me10<[H60MPa
Me=73.77NLm
两值去较小值，即许可的最大外力偶矩Me二62.70NLm
7.10图示空心圆轴夕卜径D=100mm，内径d=80m,已知扭矩T=6kN,G=80Gpa，试求:
（1）横截面上A点（：
'=45mm）的切应力和切应变；⑵横截面上最大和最小的切应力;（3）画出横截面上切应力沿直径的分布图。
解：
（1）计算横截面上A点（；=45mm）的切应力和切应变
空心圆轴的极惯性矩为
44二0.140.084
"五（1"右心百门
■0.1
A点的切应力
T■
a〒
p
60000.045
446.58MPa
40.084
[1-（）4]
320.1
■0.1
A点切应变
6
=0.5810-
A46.5810
9
G8010
（2）横截面上最大和最小的切应力横截面上最大的切应力在其最外缘处
max
TD
60000.05
2Ip
=51.76MPa0.084
[1-（）4]
320.1
二0.14
横截面上最小的切应力在其内径边缘
Td
60000.04
min
2IP
=41.41MPa0.084
[1-（）]
320.1
二0.14
（3）横截面上切应力沿直径的分布图如图（
a）所示
7.11截面为空心和实心的两根受扭圆轴，材料、长度和受力情况均相同，空心轴外径为内径为d，且d/D=0.8。
试求当两轴具有相同强度（！
.实max-！
.空max）时的重量比。
解：
令实心轴的半径为d0实心轴和空心轴的扭转截面系数分别为
33
Wp1
D4D43
WP2（1一二）（1一0.8）二0.0369二D
p1616
当受力情况向同，实心轴和空心轴内的最大切应力相等时，有:
Wp1
Wp2
所以可得Wp1=Wp2
即=0.0369）3
16
所以
d。
3
DF百加91・192
设实心轴和空心轴的长度均为I，材料密度为p,贝U空心轴与实心轴的重量比
儿22
;（D-d）l
兀2
4d0ig
D2（1-0.82）
d?
（1.192d）2（1-0.82）
d?
-0.512
7.12一电机的传动轴直径d=40mm，轴传递的功率P=30kW，转速n=1400r/min。
材料的许用切应力LI-40MPa，试校核此轴的强度。
30
解：
传动轴的外力偶矩为Me=9550N|_m=204.64N_m
1400一
轴内最大切应力T二204.64Pf=16.28Pa乞.[=]MPa
Wp.3兀汉0.034
pd
16
所以安全
7.13—传动轴，主动轮A输入功率为FA=36.8kW，从动轮B、C、D的输出功率分别
为PB=PC=11.0kW，PD=14.8kW，轴的转速为n=300r/min。
轴的许用切应力
I.I-40MPa，试按照强度条件设计轴的直径。
B
C
A
3
题7.13图
3
D
解：
各轮的外力偶矩分别为
MA=955036^N|_^1171.46N_h300
11
Mb=Mc=9550N[m=350.17N_k
3161171.46
:
40106-
300
300
T
max
_Mmax
=1171.460106Pa
Wp
-Wp
nQ
d3
16
148
Md=9550NLm=471.13N_m
有
=0.0530m二53.0mm
因此轴的最小直径为53.0mm
7.14如图所示，一钻探机钻杆的外径D=60mm，轴的内径d=50mm,功率
P=7.36k0转速n-180r/min，钻杆钻入土层的深度丨=40m，材料的许用切应力
11-40MPa。
如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求此分布力偶的集度m,
并作出钻杆的扭矩图，进行强度校核。
题7.14图
ml
图二
解：
计算阻力矩集度
首先计算外力偶矩
P7360||
Me=95509550NLm=390.2NLm
n180
再对其利用静力学平衡条件
Mx7ml-M=0
可得阻力矩集度
m==390.2NLm/m=9.755N|_m/m
l40
x的线性函数,
作扭矩图：
由图一，扭矩T二Tx二mx，是沿钻杆轴线方向横截面位置坐标所以，扭矩图如图二所示。
对钻杆进行强度校核
钻杆的最大工作切应力
Tmax
-MAX:
ml
9.76汉40
Wp兀D3”/i兀丄3-
16D「-a）一（60x10）1-
1616、丿［（60丿」
4—ot
Pa=17.77MPa
A
因最大工作切应力
.Max=17.77MPa：
：
L丨-40MPa，所以安全
7.15如图所示一简支梁，梁上作用有均布载荷q=2kN/m，梁的跨度丨=4m，横截面为矩形，尺寸如图所示，试计算梁内弯矩最大截面上的最大正应力和弯矩最大截面上k点的正
应力。
80
■
1
A
k
3
I
B
z
T
y
解：
因结构和载荷均对称，所以很容易的应用静力学平衡条件确定支座反力
FA=FB=4KN
Mmax=4KN|_m
8
梁内弯矩最大截面上的最大正应力在梁正中横截面的最上端和最下端，即
=M^=4000Nm=93.7MPa
bh
6
其弯矩图见图所示，梁内最大弯矩
A点和B点处
max
-■max
WZ
40000.03
bh3
12
=70.3MPa
弯矩最大截面上k点的正应力匚k=MmaxykkIz
7.16—矩形截面简支梁由圆木锯成。
已知
a=1.5m，tI-10MPa。
试确
定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比
h/b，以及锯成此梁所需木料的最小直径
d
解：
因结构和载荷均对称，所以很容易的应用静力学平衡条件确定支座反力
Fa讥=5KN
FaC
D
Fb
h
ra■卜
aT
a・
A
max
作受力图，梁内最大弯矩
应用弯曲正应力的强度条件
=Faa=51.5KN|_m=7.5KN|_m
二max
max
wz
可计算出梁应具有的弯曲截面系数
wz
Mmax7.5130」
6im
I-I10it）
75140m3
若矩形截面梁是由圆柱形木料锯成的,
则有几何关系
h2b2=d2
所以该矩形截面的弯曲截面系数
bh2bd2-b2
若以b为自变量，则WZ取最大值的条件是
处鑒Y0
dbdb2
所以有
22
d^3b_=0
将②代入上式得-
b
h2b
由式①得WZ=
6
联立④⑤两式求解，可得
-7.510*m3
b_0.131m=131mm,h_185mm,
将b,h的数值代入式②得所以，粮所需木料的最小直径为
dr：
：
；b2h2=.13121852mm=227mm
227mm
7.17如图所示外伸梁上面作用一已知载荷20kN，梁的尺寸如图所示，梁的横截面采用工
字钢，许用应力「1-60MPa。
试选择工字钢的型号。
A—
<
1m
1.8m
题7.17图
C
11.11KN
解：
解除支座约束，代之以约束反力
•■
1m
1.8m
卓Fb
B
（a）
什Fs
G20KN
'+'
作受力图，如图（a）所示，利用静力学平衡条件可解得支座反力
Fb=31.11KNFc二-11.11KN
作剪力图和弯矩图，如（b）（c）所示，由图中可见最大剪力和最大弯矩分别为
Fsmax=20KNMmax=20KNLm
有弯曲应力的强度条件；「max二=20000岂［二］=60MPa
WzWz
可得梁的弯曲截面系数WZ_200006m3二333cm3
60勺06
查表可得25a工字钢的W^=401.88cm3，
所以选用25a工字钢
7.18如图所示一矩形截面简支梁，跨中作用集中力
F，已知丨=4m，b=120mm，
h=180mm，弯曲时材料的许用应力为1-'-10MPa，求梁能承受的最大载荷Fmax。
■*
1/2
l/2
题7.18图
解：
因结构和载荷均对称，所以很容易的应用静力学平衡条件确定支座反力
作受力图，梁内最大弯矩Mmax=巳二F
4
应用弯曲正应力的强度条件bmax=M^m^xmaxWZ
可计算出梁应能承受的载荷范围
二max
Mmax
WZ
F6F
bh20.120.182
乞［二］=10106Pa
可解出
FgZ120.18.48KN
6
所以梁能承受的最大载荷Fmax=6.48KN
7.19图所示一T形截面铸铁外伸梁，所受载荷和截面尺寸如图所示，已知铸铁的许可应力
-40MPa,「c卜100MPa，试校核梁的强度。
解：
截面的几何性质
14^3x7+20汇3>d5.5y2cm=12cm
143203
13213244
lZ=[31433142233203203.52]cm=6901.5cm4
1212
作梁的弯矩图如（a）所示
在B截面有
+
max
32
101031210
6901.510”
Pa=17.39MPaY[；「c]=100MPa
max
10103510,
6901.510$
Pa二7.24MPaY[；「t]=40MPa
在C截面有
二max=20105£Pa=14.49MPaV[二c]=100MPa
6901.510
max
3_2
20101210
6901.510$
Pa=34.78MPaY[；—]=40MPa
由此可知，最大应力小于许用应力，安全。
*7.20如图所示为一外伸工字型钢梁，工字型钢的型号为22a，梁上载荷如图所示，已知
l=6m，F=30kN,q=6kN/m，材料的许用应力为I-170MPa,L丨-100MPa。
试校核梁的强度。
l/3
l/2
l/2
iFs
（a）
19KN
O
（+
x
.lieMil..
12KN（b）13KN
39KINM
=18.cm
o早
Sz,max
解：
利用型钢规格表查得，22a号工字钢截面的WZ=309cm3
d=7.5mm
解除支座约束，代之以约束反力，作受力图，如图（
a）所示，利用静力学平衡条件可解得
支座反力
Fb二29KN
Fd
=13KN
作剪力图和弯矩图，如（b）（c）所示,
由图中可见最大剪力和最大弯矩分别为
Fsmax=19KN
Mmax=39KNLm
有弯曲应力的强度条件
Pa=126.21MPa十］=170MPa
吁_Mmax39000
FSS乙max
max
、max_W-30910£
19000—Pa=13.40MPa兰［可=100MPa
IZd0.1890.0075
最大正应力与最大切应力均小于许用正应力和许用切应力，安全。
*7.21—简支工字型钢梁，已知1=6m，q=6kN/m，F=20kN，材料的许用应力为
I--.1-170MPa，LI-100MPa，试选择工字钢的型号。
lF
nr
dJ11i
‘J
II
1、
u
「Fa
Fb”
J
l/2
l/2
A
B
申M47KN?
m
^rmTTTIlI切口Hrm电
O（c）
解：
解除支座约束，代之以约束反力，作受力图如图（a）所示，因结构对称，利用静力学
平衡条件可解
有弯曲应力的强度条件
-max
max
WZ
47000
兀十円70MPa
得支座反力
Fa=28KN
Fb=28KN
作剪力图和弯矩图，如（b）
（c）所示，由图中可见最大剪力和最大弯矩分别为
Fsmax二28KN
Mmax=47KNLm
可得梁的弯曲截面系数WZ470006m‘=276.47cm3
17010
查型钢表可得22a工字钢的WZ=309cm3，d=7.5mm，—I^=18.9cm
S^max
所以选用25a工字钢
最后，作弯曲切应力强度校核
max
FsS
z,max
IZd
28000
0.1890.0075
Pa=17.53MPa打］=100MPa
64
7.22铸铁制成的槽型截面梁，C为截面形心，lz=4010mm，%=140mm，
y2=60mm，1=4m，q=20kN/mMe=20kNm，匕丨=40MPa，
Lc1=150MPao
（1）作出最大正弯矩和最大负弯矩所在截面的应力分布图，并标明应力
数值；
（2）校核梁的强度。
Me
「q
题7.22图
□hhmrmB
Fa
Fb
+Fs
2.25
+M
O0.
（b）
36.5KNm
35KN
2.25
（c）
解：
（1）解除支座约束，代之以约束反力,
作受力图如图（
a）所示，因结构对称，利用静
力学平衡条件可
解得支座反力
Fa=45KN
Fb=35KN
作剪力图和弯矩图，如（b）（c）所示，由图中可见最大剪力和最大弯矩分别为
Fsmax=45KN
Mmax=36.5KN|_m
截面的几何性质
y=140mm
在最大负弯矩处截面有
y2=60mm
lz=40106mm4
a+
max
二__Pa=70MPaV&c]=150MPa
二max
410*
在最大正弯矩处截面有
410*
3
201030.06,Pa=30MPaY[J]=40MPa
CT+
max
36.5100.06Pa=54.75MPaY[二c]=150MPa
410^
3o
36.51031410
Pa=127.75MPa十t]=40MPa
-5
410
应力分布图如图所示
70MPa
30MPa
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