数学小学五年级数学《圆的认识》教案.docx
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数学小学五年级数学《圆的认识》教案
小学五年级数学《圆的认识》教案
一、整体感受
师：
今天这节课，我们研究时正是圆。
瞧，（教师出示一个．信封）这信封里就装有一个圆，想看看吗?
生（齐）：
想!
师（从中摸出一个圆）：
是圆吗?
生：
是。
师：
现在，老师把它重新放回信封里，有信心把它从信封里摸出来吗?
生：
有!
师：
那当然，如果信封里只有这一个图形，谁都能摸出来。
（生笑。
）但问题是，信封里除了这个圆以外，还有其他平面图形。
想看看吗?
生：
想!
教师先后从信封中取出一些图形（如图1），让学生一一辨认。
师：
现在，要从这一堆平面图形中把圆摸出来，有难度吗?
生（齐）：
没有!
师：
为什么?
生：
很简单呀，圆是弯弯的，而其他图形的边都是直直的。
生：
圆没有角，而其他图形都有角。
师：
奇怪，为什么这些图形都有角，而圆却没有呢?
生：
因为这些图形都是由直线围成的
师：
不够专业。
生：
哦，是由线段围咸的。
师：
这就对了!
我们把这些由线段围成的平面图形，叫做直线图形。
直线图形都有角。
圆是直线图形吗?
生：
不是，它是由曲线围成的。
师：
所以，圆看起来特别一
生：
光滑。
生：
圆润。
师：
感觉真好!
那么，该给这类由曲线围成的，光滑、圆润的平面图形，取个怎样的名称呢?
生：
曲线图形。
师：
没错!
那现在，要从这一堆直线图形中把圆这个唯一的曲线图形摸出来，难不难?
生：
不难。
生：
找最光滑的摸就行了。
师：
不过，问题可不像你们想象的那么简单。
因为信封里，还有几个图形呢。
（生颇感意外。
）
教师出示图2。
师：
怎么样，它也是由曲线围成的吧?
生：
是呀。
师：
看起来也特别光滑?
生：
是的。
师：
看来，你们一定会把它也当做圆模出来。
生：
不会!
不会!
师：
为什么?
生：
因为圆很圆，但它不那么圆。
生：
因为它有的地方凹，有的地方凸。
师：
噢，这个图形看起来有些凹凸不平。
而圆呢?
生：
圆不会凹进去，一直向外凸着。
生：
圆看起来特别饱满。
师：
这个词儿好!
不过（教师接着从信封里取出图3），这儿还有一个图形，它可没有凹凸不平。
怎么样，够光滑、够饱满吧?
生：
嗯。
师：
看来，这一回你们一定会把它当做圆摸出来了。
生：
也不会!
师：
为什么?
生：
因为这个图形看起来扁扁的，不像圆那么鼓。
师（将椭圆旋转90°后）：
现在看起来呢?
生：
感觉这个图形瘦瘦的。
师：
那圆呢?
（教师出示圆片，并不停旋转。
）感觉怎么样?
生：
怎么转，看起来都一样。
生：
而且，圆看起来特别匀称。
师：
小小的一个游戏，无非是为了让大家认识到，和其他平面图形相比，圆的确生：
很特别。
师：
没错，和这些直线图形相比
生：
圆是一个曲线图形。
师：
但是，和这些曲线图形相比，圆看起来又特别
生：
光滑、饱满、匀称
师：
难怪2000多年前，伟大的古希腊数学家毕达哥拉斯在研究完大量的平面图形后，发出这样的感慨：
在一切平面图形中，圆最美。
而且，2000多年过去了，这一观点得到了越来越多的数学家乃至普通大众的认可。
那么，圆究竟美在哪儿?
更进一步地，究竟是什么内在的原因，使得圆这种平面图形看起来这样光滑、饱满、匀称，以至于成为所有平面图形中最美的一个?
就让我们一起带着问题，深入地认识圆；研究圆。
二、寻根究底
师：
圆的美，光靠看是不够的，咱还得动手来画。
因为，画圆的过程，正是我们体会它的特点、发现它的美的过程。
（教师简单介绍圆规的构造后）课前，老师布置同学们试着用圆规画过圆。
现在，请大家试着在白纸上画一个圆。
（学生用圆规画圆，教师巡视。
）
师：
应该说，绝大多数同学画得都很棒。
不过，也有失败的作品。
瞧，这个圆显然变形了，这个则咧着嘴。
大胆地猜一猜，这些同学之所以没能成功地用圆规画出一个圆，可能在哪儿出问题了?
生：
可能是画圆时，圆规的脚移动了。
师：
不动，怎么画出圆呀?
（生笑。
）
生：
是装有针尖的脚动了!
师：
那你得说清楚呀。
同学们，你们觉得，针尖所在的脚能随便动吗?
生：
不能!
一动，画出的圆一定会咧开嘴巴。
师：
你试过?
生：
是的!
我失败过好几次呢。
师：
经验之谈呀!
当然，也有同学画圆时，圆规两脚都没动，但也画出圆来了，你们猜
生：
我知道!
一定是圆规不转，纸转。
师：
奇怪，你怎么知道?
生：
我就这么试过。
师：
看来，用圆规画圆时，针尖得固定，这是宝贵的经验。
还有其他可能吗?
生：
也可能是他们画圆时，圆规两脚的夹角的角度变了。
师：
角度变了，也就意味着
生：
圆规两脚之间的距离变了。
师：
看来，用圆规画圆时，两脚之间的距离不能变。
现在，掌握了这些要求，有没有信心比刚才画得更好?
生：
有!
（不少学生拿起圆规急着要画。
）
师：
别着急!
数学学习光会动手还不够，咱还得
生：
动脑。
师：
心有灵犀呀!
第二次用圆规画圆时，请大家边画边思考：
如果方法完全正确，用手中的圆规会不会画出这样一会儿凹、一会儿凸的曲线图形?
或者是扁扁的椭圆?
（教师依次指图2、图3。
）
生：
不会!
师：
先别忙着下结论，还是带着这些问题，边画边细细体会吧!
（学生操作。
教师巡视，了解学生的感受与思考。
）
师：
为什么画不出这样的曲线图形，相信不少同学已经有了答案。
不过，为了使大家感受更鲜明，我打算在黑板上也来画一个。
（教师画完半个圆后，停下。
）想象一下，照这样画下去，会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形吗?
生：
不会。
师：
会画出扁扁的椭圆吗?
生：
也不会。
师：
为什么?
生：
因为圆规两脚间的距离没有变。
师：
哪儿到哪儿的距离没有变?
生：
就是从这儿（手指圆上的点）到这儿（手指圆心）的距离没有变。
只要距离不变，就不会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形了。
师：
光这样说好像有点抽象。
你能不能把这一不变的距离用一条线段表示出来?
（学生上台，连接圆上任选一点与圆心，得到一条线段。
）
师：
可别小看这条线段，在这个圆里，它可是起着至关重要的决定性作用。
有谁了解这条线段?
生：
这条线段叫做半径，可以用小写字母r表示。
（教师板书，并引导学生在自己的圆内画出一条半径，标上字母r。
）
师：
有没有补充?
生：
半径的一端连着圆心，另一端在圆上。
师：
说得好!
圆心是圆规画圆时针尖留下的，可以用字母O示。
更准确地说，半径的另一端在圆上。
（教师板书，并引导学生在自己的圆上标出圆心及字母O。
）
师：
关于半径，你们还知道些什么?
生：
圆应该不只有一条半径。
生：
圆有无数条半径。
生：
半径的长度都相等。
师：
看来，关于半径，同学们的发现还真不少。
但是，没有经过思维考量的数学直觉，算不上真正的数学知识。
刚才有人说，圆有无数条半径，同意的请举手。
（全班学生都举起了手）不过，为什么呢?
（一只只举起的手慢慢放了下来。
）
师：
原来，大家都是蒙的!
不过还好，至少还有几只手直到现在还举着。
要不，先来听听他们的声音，或许你会从中受到启发。
生：
刚才我只画了一条，但如果我们继续画下去，永远也画不完，所以应该有无数条。
师：
都同意?
生：
同意!
师：
有人就不同意。
这是我自己班上的小陈同学在学完《圆的认识》后回去做的一次小实验（教师呈现在半径5厘米的圆上画得密密麻麻的半径）。
瞧，他在这么大的圆里画满了半径，最后一数，才524条。
不对呀，不是说无数条吗?
生：
我觉得他的圆太小了，要是再大一点，那么画的半径就更多了。
师：
哦，你是说大圆的半径有无数条，而小圆的半径则未必?
（生一时语塞。
）
生：
不对，大圆小圆的半径都应该是无数条。
我想，主要是这位同学用的铅笔太粗了。
如果用细一半的铅笔画，应该可以画一千多条；如果用再细一半的铅笔画，半径就有两千多条。
这样不断地细下去，最终可以画出无数条半径。
师：
多富有想象力呀!
半径可以不断地细下去，直到无穷无尽。
这样想来，半径当然应该有
生：
无数条。
生：
我还有补充。
因为半径是从圆上任意一点发出的，所以圆有无数条半径。
师：
什么叫任意?
生：
随便。
师：
那么，在一个圆上有多少个这样随便的点?
生：
无数个。
生：
有一个点，就能连出一条半径。
有无数个点，就能连出无数条半径。
师：
回过头来看看，同样是无数条半径，经过我们的深入思考，大家感觉怎么样?
生：
我觉得更清楚了。
生：
原来只是种感觉，现在真正理解了。
师：
数学学习可不能只浮子表面，或停留于直觉，还得学会问为什么。
只有这样，数学思考才会不断走向深入。
关于半径，还有其他新的发现吗?
生：
它们的长度都相等。
师：
同意的举手。
（全班学生又一次都举起了手。
）了不起!
不过
生：
为什么?
（话还没说完，一大半学生就放下了手。
听课教师大笑。
）
师：
有这样的追问意识挺好!
不过，光等着别人来回答也不是个办法。
这样吧，我稍作提醒：
课前，数学老师让咱们都带了直尺，猜猜为什么?
生：
可以量。
（学生操作后，发现圆的半径的确都相等。
）
生：
其实根本不用量。
因为画圆时，圆规两脚的距离一直不变，而两脚的距离其实就是半径的长，所以半径的长度当然处处相等。
师：
多妙的思路1看来，画一画、量一量是一种办法，而借助圆规画圆的方法进行推理，同样能得出结论。
通过刚才的研究，关于半径，我们已有了哪些结论?
生：
半径有无数条，它们的长度都相等。
师：
其实，关子圆，早在2000多年前，我国古代伟大的思想家墨子也得出过和我们相似的结论。
只不过，他的结论是用古文描述的，不知道你们能不能看懂?
（课件出示：
圆，一中同长也。
）生：
一中，应该是指圆心。
师：
没错。
圆心，正是圆的中心。
那同长
生：
应该是指半径同样长!
师：
这样看来，墨子得出的结论和我们刚才得出的
生：
完全一样。
师：
不过，也有人指出，这里的同长除了指半径同样长以外，还可能指
生：
直径同样长。
师：
没错。
（板书：
直径。
）连接圆心和圆上某一点的线段叫半径。
那么，怎样的线段叫直径呢?
（少数学生举手。
）我猜，多数同学不是不知道，而是不会用语言来描述，是这样吗?
（多数学生连连点头。
）那么，你们能用手比画出一条直径吗?
（学生比画。
）
师：
刚才的半径是同学们画的。
这回，我自己来试试。
（教师故意将直尺摆放在偏离圆心的位置，提笔欲画。
）
生：
老师，您的直尺放错位置啦，应该放在圆心上。
师：
哦，，原来是这样。
（教师调整好直尺的位置，并从圆上某点开始画，画到圆心时停下。
）
生：
错!
生：
这是一条半径呢，还得继续往下画。
教师继续往下画，眼看就要画到圆上时，不露痕迹地停下了笔。
生：
对!
生：
不对!
是错的。
我们上当了。
师：
怎么又反悔了?
生：
还没到头，还得再往前画一点点。
教师继续往下画。
就在学生喊对时，教师又悄悄地往前画了一小段。
生：
对!
生：
不对!
出头啦。
师：
一会儿对，一会儿错，都给你们弄糊涂了。
画直径到底得注意些什么呢?
生：
得通过圆心。
生：
两头都要在圆上。
生：
还不能出头。
师：
这就对啦!
数学上，我们把通过圆心、两端都在圆上的线段叫做直径。
直径通常用字母d表示（板书：
d）。
请在你的圆上画出一条直径，标上字母d。
（学生操作。
）
师：
半径的特点已经研究过了，直径又有哪些特点呢?
大家可以和半径比较着研究。
半径有无数条，那么
生：
直径也有无数条。
师：
半径的长度都相等，那么
生：
直径的长度也都相等。
师：
直径有无数条，我们就不必去探讨了，原因和半径差不多。
直径的长度都相等，为什么呢?
生：
我们是量的，发现直径的长度都是6厘米。
师：
瞧，动手操作又一次帮助我们获得了结论。
生：
不用量也行。
我们发现，每一条直径里面都有两条半径，半径的长度都相等，那么，直径的长度当然也都相等。
师：
在我们看来，这只是一条直径，但在他的眼里，还看出了两条半径，多厉害!
尤其是，他的发现还帮助我们获得了一个新的结论，那就是，在同一个圆里，直径和半径是有关系的。
谁能用最简洁的语言描述出它们之间的关系?
生：
直径是半径的两倍。
师：
挺好。
还能更简洁吗?
生：
半径x2：
直径。
师：
的确又简洁了些。
还能更简洁吗?
（无人举手。
）想想它们的字母
生：
我知道了，d=2r。
师：
这就是数学语言的魅力!
同学们可千万别小看这个结论。
（教师课件出示图4）试想一下，如果在一个圆里，圆的半径不是都相等的，而是有的长、有的短，最后连起来的还会是一个光滑、饱满、匀称的圆（指着图4）吗?
生：
那样的话，就会凹凸不平了。
师：
是什么内在的原因，才使得圆看起来这么光滑、饱满、匀称?
生：
是半径的长度都相等。
师：
正因为在同一个圆里，半径的长度处处相等，才使得圆看起来如此光滑、饱满、匀称。
圆的美，其内在原因也正在于此。
三、沟通联结
师：
在同一个平面图形中，具有这样等长线段的不是只有圆。
瞧，这是一个正三角形（见图5中的第1个图形），从它的中心出发，连接3个顶点，这3条线段的长度
生：
都一样。
师：
这样的线段一共有3条。
再来看正方形（见图5中的第2个图形），这样的线段有几条?
生：
4条。
师：
正五边形（见图5中的第3个图形）呢?
生：
5条。
师：
正六边形（见图5中的第4个图形）呢?
生：
6条。
师：
正八边形（见图5中的第5个图形）呢?
生：
8条。
师：
圆有多少条?
生：
无数条。
师：
难怪有人说，圆其实是一个
生（底气不足）：
正无数边形。
师：
多有意思的描述呀[刚才，我们是一个一个来观察的，下面，我们再完整地来看一看（呈现图5）。
师：
从正三角形到正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，随着正多边形边数的不断增加，你们发现了什么?
生：
它们一个比一个更像圆。
师：
哪个图形最像?
生：
正八边形。
师：
不过，毕竟离圆还有一些距离。
要怎样，才能更接近圆?
生：
边数要再多一些，一定会更接近。
师：
真会这样吗?
想不想通过实验来验证一下?
（教师借助简化后的几何画板依次画出正十六边形、正三十二边形、正一百边形，并引导学生观察边的变化。
当画出正一百边形时）
生：
哇，真是太圆了。
师：
这才是正一百边形呢。
想象一下，如果是正一千边形、正一万边形，甚至正二亿边形直到无穷无尽，这时
生：
它就是一个圆了。
师：
如果我们把这些正多边形排成一排，正三角形站第1个，正方形站第2个，正五边形站第3个这样排下去，猜猜看，这个队伍的最远方站着的应该是谁?
生：
圆。
师：
不对呀，这些都是直线图形，圆是曲线图形，跑来干嘛?
（学生一时不知如何回答。
）这里涉及更高深的数学知识，到了中学、大学，相信同学们一定会有更深入的了解。
师：
这个圆片没有标出圆心。
既然圆心都没有标，它的半径是多少呢?
能想办法测量出来吗?
（学生操作，随后交流。
）
生：
我们组把一个圆对折，折痕就是它的直径。
量出直径的长度后再除以2，就求出了半径的长度。
半径是3厘米。
师：
可别小看这一方法。
正是这一对折、一重合，还让我们在不经意间发现了圆的另一个秘密，那就是，圆其实还是一个
生：
轴对称图形。
生：
而且，；圆还有无数条对称轴。
师：
也就是说，和其他轴对称图形相比，圆还具有无穷对称性。
还有别的方法吗?
生：
我们组把一个圆对折后再对折，一展开，两条折痕的交点就是圆心，找出圆心后，半径就能量出来了。
我手中的圆半径是5厘米。
生：
其实不用展开，直接量出这条边的长，就是半径的长。
我们组的圆半径正好是4厘米。
师：
不是说圆的半径都相等吗?
同学们手中的圆，半径有的是3厘米，有的是4厘米，还有的是5厘米。
这是为什么?
生：
说半径相等，指的是在同一个圆里，大家的圆大小不同，半径当然也就不等了。
师：
那么，同学们手中的圆，哪个最大，哪个最小?
生：
半径5厘米的最大，半径3厘米的最小。
师：
是不是这样呢?
让我们举起来，互相看看，比比。
（生举起手中的圆）。
看来，圆的大小和什么有关?
生：
和半径有关。
师：
半径越长，；圆
生：
越大。
半径越短，圆越小。
，
师：
刚才，有同学悄悄地说，这些圆的圆心都没标，应该不是用圆规画出来的。
你们觉得呢?
生：
是的，如果用圆规画的话，应该会留下一个针眼；
师：
那不用圆规，我会是怎样画出这些圆的呢?
生：
用一只碗扣在白纸上，然后沿着碗边描一圈画出来的。
师：
依葫芦画瓢?
有想象力！
但很遗憾，不对。
生：
可能是用一根绳子的一端拴着铅笔，另一端固定，然后把铅笔绕一圈画出来的。
师：
很有创意的想法，简直就是一把简易的圆规。
但很遗憾，还是不对！
生：
我知道了，你是先画一条线段，然后换一个方向再画一条同样长的线段，然后再换方向画下去，最后把这些线段的端点连起来，就画咸了一个圆。
师：
你太有想象力了!
待会儿的学习中；我们将一起来验证你的这一想法。
行了，不用再猜了，答案其实就藏在这里。
（教师打开WORD文档，并利用画图工具画出了一个标准的圆。
）
生（恍然大悟）：
哦，原来是用电脑画的！
师：
可问题又来了。
这样画圆，大小很随意，半径怎么可能正好是3厘米、4厘米或5厘米呢?
难不成，我是用直尺在屏幕上量的?
生（笑）：
不可能!
师：
别着急，继续往下看就知道了（教师双击画图工具里的圆，出现了一个对话框，其中有高度和宽度两个项目。
）想一想，对于圆来说，高度意味着什么?
生：
它的直径。
师：
现在，要画一个半径3厘米的圆，高度得调整为多少?
生：
3厘米。
生：
不对，应该是6厘米。
教师将高度调整为6厘米，电脑里竟然出现了一个椭圆。
生：
还得调整宽度。
教师将宽度也调整为6厘米，画出一个圆。
师：
用同样的方法，能画出半径4厘米、5厘米的圆吗?
生：
能，只要依次把高度和宽度都调整为8厘米、10厘米就行了。
师：
古人云，没有规矩，不成方圆。
最初的意思是说，没有圆规是画不出圆的。
现在看来，不用圆规，真的就画不出圆了吗?
生：
不对，画圆其实还有很多种方法。
师：
当然，话还得说回来，在所有这些方法中，用圆规画圆仍然是最常用的一种。
（教师引导学生在用圆规画半径为3厘米、4厘米、5厘米的圆的过程中进一步体验圆规两脚间的距离等于半径的长。
）
四、审美延展
师：
最后，让我们再一次回到平面图形的世界，感受圆与其他图形错综复杂的关系。
瞧，这里有一个正三角形，现在，我们沿着它的中心把它稍作旋转（出示图6）。
旋转以后的三角形与原来的三角形有没有完全重合?
生：
没有。
师：
不行，我还得再旋转一次。
生：
还是没有。
师：
再来看圆。
想象一下，如果我们沿着圆心把圆也旋转一下，情况又会怎样?
生：
不管怎么转，都会重合。
师：
是不是这样呢?
来，拿出刚才的圆，用铅笔尖抵住圆心，并按在桌面上，轻轻转一转。
（学生操作。
）我们把圆的这一特点叫做旋转不变性。
那么，三角形具有旋转不变性吗?
生：
没有。
师：
不过别遗憾。
如果我们按照特定的角度继续把这个三角形旋转下去，情况又会怎样呢?
让我们拭目以待。
（课件演示，最终呈现图7。
）
生（惊讶）：
哇，太棒了，居然是一个圆!
生：
不对，是一个近似的圆。
师：
瞧，直线图形转着转着，又回到了圆，真有意思。
不过，刚才我们是绕着平面图形的中心点旋转的。
如果绕着其他点旋转，还会出现这样近似的圆吗?
生：
应该不会?
生（声音很小）：
可能会。
师：
会还是不会，还是用事实来说话吧[瞧，这是一个正方形。
现在，我们绕着它的一个顶点旋转（课件演示旋转过程，最终呈现图8）
生（不可思议）：
居然也行！
生：
好漂亮！
师：
更漂亮的还在后面呢!
（课件呈现图9、图10。
）
生：
哇!
师：
别光顾着感叹，能看出这两幅图是由什么图形旋转而成的吗?
生：
椭圆。
生：
线段。
师：
想不想看看线段是怎样旋转成图10这样美妙的图案的?
生：
想!
师：
观察时，请大家牢牢盯住线段的两个端点，看看线段旋转时，这两个端点是沿着怎样的轨迹移动的。
教师利用课件演示线段旋转的完整过程，学生根据观察到的情形，用手比画线段端点移动的轨迹。
师：
其实，所谓圆，就是某个点沿着特殊路线运动后留下的轨迹。
到了中学，同学们就会明白。
我们还接触了其他平面图形，如长方形、梯形、平行四边形，甚至还有不规则的曲线图。
这些图形如果绕着其中的某一点旋转，会不会也出现和圆有关的美妙图案呢?
课后动手去试一试吧!
相信，一定会有更多的惊喜在等待着大家!
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