概率论与数理统计复习整理.docx

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概率论与数理统计复习整理

概率论与数理统计复习

第一章

一、事件的和、积、差及事件的互不相容、事件的互逆

例1甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件

二、概率的公理化定义

可列可加性：

设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝φ，（i≠j）,i,j＝1,2,…,有

P（A1⋃A2⋃…）＝P（A1）＋P（A2）+….（1.1）

则称P（A）为事件A的概率。

三、概率的性质

（1）有限可加性：

设A1，A2，…An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝φ，（i≠j）,i,j＝1,2,…,n,则有

P（A1⋃A2⋃…⋃An）＝P（A1）＋P（A2）+…P（An）;

（2）单调不减性：

若事件A⊃B，则

P（A）≥P（B）

（3）事件差A、B是两个事件,则

P（A-B）=P（A）-P（AB）

4）加法公式：

对任意两事件A、B，有

P（A⋃B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）

特别地,当AB=φ时,有P（AB）=0,此时

可记P（A⋃B）＝P（A+B）=P（A）＋P（B）

该公式可推广到任意n个事件A1，A2，

…，An的情形；如

P（A⋃B⋃C）＝P（A）＋P（B）+P（C）

－P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC）

（6）可分性：

对任意两事件A、B，

例5某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时订甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少

订有一种报纸的概率.

二.复习：

排列与组合的基本概念

（1）乘法公式：

设完成一件事需分两步,第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法

2）加法公式：

设完成一件事可有两种途径,第一种途径有n1种方法,第二种途径有n2种

方法,则完成这件事共有n1+n2种方法。

1排列：

从含有n个元素的集合中随机抽取k次

（1）有重复排列:

从含有n个元素的集合中随机抽取k次,每次取一个,记录其结果后放回,将记录结果排成一列,共有nk种排列方式（分k步完成,乘法原理）.

2）无重复排列（选排列）：

从含有n个元素的集合中随机抽取k次,每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列，共有Pnk=n（n-1）…（n-k+1）种排列方式.分k步完成,乘法原理

3）全排列：

从含有n个元素的集合中随机抽取n次,每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列.共有Pnn=n（n-1）（n-2）…3×2×1=n﹗种排列方式.分n步完成,乘法原理

3.组合

（1）从含有n个元素的集合中随机抽取k个,而不考虑其顺序共有

1、随机取数问题

例1在1~10这10个自然数中任取一数，求

（1）取到的数能被2或3整除的概率;

（2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率;

（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率

2、摸球问题（产品的随机抽样问题）

例2n个人等可能地分配到N间房中（m≤n≤N）,每房容纳的人数不限,求下列事件的概率:

A={指定的n间房各有一人};B={恰好有n间房各有一人}

C={指定的一间房有m人};D={正好有一间房有m人};

条件概率

若事件A、B是古典概型的样本空间Ω中的两个事件,其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点,则有

一般地，设A、B是样本空间Ω中的两个事件，则称

为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率

称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.

设A、B∈Ω,P（A）>0,则事件A与B的交的概率

P（AB）＝P（A）P（B|A）或者P（A）>0时,P（AB）＝P（B）P（A|B）称为事件A、B的概率乘法公式。

设A1，…,An是Ω的一个划分，且P（Ai）>0，（i＝1，…，n），则对任何事件B∈Ω有

公式称为全概率公式。

例2商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？

（0.084）

定义1设A、B是两事件，P（A）≠0,若P（B）＝P（B|A）

则称事件A与B相互独立。

上式等价于:

P（AB）＝P（A）P（B）

若在此基础上还满足：

（2）P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）,则称事件A、B、C相互独立

1.设事件A、B、C、D相互独立则

3.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件A1={掷第一次出现正面}

A2={掷第二次出现正面},A3={正、反面各出现一次},

A4={正面出现两次},则有结论（）成立.

（A）A1、A2、A3相互独立;（B）A2、A3、A4相互独立;

（C）A1、A2、A3两两独立;（D）A2、A3、A4两两独立

例2．如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率

例9某厂生产的每台仪器可直接出厂的占0.7,需要调试的点0.3,调试后能出厂的占0.8,不能出厂的不合格品占0.2.现新生产n（n≥2）台仪器（设每台仪器的生产过程是相互独立的）,求:

（1）全部仪器能出厂的概率;

（2）恰有两台不能出厂的概率;

（3）至少有两台不能出厂的概率.

5.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其

中女生的报名表分别为3份、7份和5份;现随机地取一个地区

的报名表,从中先后抽取两份,求:

（1）求先抽到的一份是女生表的概率;

（2）已知后抽到的一份

是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率.

第二章离散型随机变量与连续型随机变量

例3某产品中恰有8件合格品2件次品,每次从中

任取一件进行检查,直到查到正品为止.分别按

有放回和不放回抽样,求所需抽取数的分布律.

4（p73）设随机变量X的概率函数

试确定常数a.

一）伯努利（Bernoulli）概型与二项分布

1.（0-1）分布（

2.二项分布

定义设将试验独立重复进行n次,每次试验中,事件A发生的概率均为p,则称这n次试验为n重伯努利试验

若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。

记作X～B（n,p）

例4某车间有同类设备20台,由一人负责维修工作.若每台设

备发生故障的概率为0.01且各台设备工作是相互独立的,求

有设备发生故障而不能及时维修的概率;如果3人共同负责维

修80,那么有设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?

4.二项分布的最大值及近似计算

2）二项分布的近似计算

泊松定理

二）泊松（Poisson）分布P（λ）

（1）泊松分布为二项分布的近似值.

（2）泊松分布常见于稠密性问题中,如在一段时间内电话交

换台接到的呼换次数;公共汽车站候车的旅客数;售票口

到达的顾客数,保险公司在一定时期内被索赔的次数等

等均可近似地用泊松分布来描述.

2.泊松分布的最大值与经典题型

（三）几何分布

（1）几何分布的概率构成等比（几何）数列,成几何

增长,公比为（1-p）.顾名思义称之为几何分布.

（2）几何分布直观叙述为期待某个事件首次出现.

设X服从几何分布,则对任何两个正整数

这一性质称为几何分布的无记忆性,意指几何分布对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了.

（四）超几何分布

一个袋中装有N件产品,其中有M件次品,从中无

放回抽取n件.以X表示取到的次品数.

X～H（n,M,N）

（1）从一批产品中一次抽取n件样品与不放回地抽取n

件是等价的,都服从超几何分布.

（2）当有放回地抽取n件样品时,每次取到次品的概率都

是一样的（多少?

）,此时超几何分布退化为二项分布

（3）在无放回抽样中,当样本总数N很大,而n很小时，超几何分布可近似用二项分布描述

例：

例2设一批产品共2000个,其中有40个次品.随机抽取100个样

品,求样品中次品数的概率分布,若抽样方式是:

（1）不放回抽样

（2）放回抽样

连续型随机变量

2.密度函数的性质（p48）

（1）非负性f（x）≥0，（-∞

（2）归一性

（3）连续型随机变量取某一可能值的概率等于0.

（1）概率等于0的事件不一定是不可能事件

两种类型随机变量结合的题型

例2设随机变量X在[1,4]上服从均匀分布,现在对X进行3次独立观察,求至少有2次观察值大于2的概率.

2.指数分布

（1）指数分布通常用来描述对某一事件发生的等待时间,几

何分布描述伯努利试验中,直到事件A发生为止进行的试验

次数.如果将每次试验视为经历一个单位时间,则直到A发生为止进行的试验的次数可视为直到A发生为止的等待时间.

（2）电子元件、灯泡的使用寿命;电话台收到两次呼叫的时间间隔;随机服务系统的服务时间等均服从指数分布.

一般地有以下的结论:

P{X>s+t/X>s}=P{X>t}

这一性质称为指数分布的无记忆性,意指指数分布

对过去的信息在后面的计算中被遗忘了.

随机变量的分布函数

设是随机变量，对任意实数,事件

的概率称为随机变量的分布函数.

1单调不减性

2归一性

3右连续性对任意实数

离散型随机变量分布函数

定义若离散型随机变量X具分布律

连续型随机变量的分布函数

定义若连续型随机变量X的密度函数为,则称

为X的分布函数，记作

第三章

1、设随机变量X的概率密度为

求X的数学期望。

答案：

0

2、设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为

答案：

2

应用0—1分布求数学期望的方法

例：

一民航大巴载有50位旅客从机场开出,旅客有10个车站

可以下车,如到达一车站没有人下车就不停车,以X表示停

车次数,求平均停车次数E（X）（设每位旅客在各个车站下车

是等可能的,而且各旅客是否下车相互独立）

例2设（X,Y）在D={（X,Y）:

x2+y2≤1}上服从均匀分布,求证：

X与Y不相关,但不是相互独立的。

大数定律

切比雪夫不等式：

例2已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。

依概率收敛：