初二培优习题含答案.docx
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初二培优习题含答案
初二培优试题
1．已知，如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D与点B重合，点C落在点C′
的位置上，若∠1=60°，AE=2．
（1）求∠2，∠3的度数．
（2）求长方形ABCD的纸片的面积S．
20.解：
（1）∵AD∥BC，∴∠2=∠1=60°；
又∵∠4=∠2=60°，∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°．
（2）在直角△ABE中，由
（1）知∠3=60°，∴∠5=90°﹣60°=30°；∴BE=2AE=4，∴AB=2
；
∴AD=AE+DE=AE+BE=2+4=6，
∴长方形纸片ABCD的面积S为：
AB•AD=2
×6=12
．
2．如图，直线y=﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线
y=﹣x+10在第一象限内一个动点．
（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．
解
（1）∵A（8，0），∴OA=8，S=
OA•|yP|=
×8×（﹣x+10）=﹣4x+40，（0＜x＜10）．
（2）当S=10时，则﹣4x+40=10，解得x=
，当x=
时，y=﹣
+10=
，
∴当△OPA的面积为10时，点P的坐标为（
，
）．
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF．
（1）求证：
四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？
为什么？
（1）证明：
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB，∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，则AF=DC，∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，
理由：
∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，∴AD=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．
4．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于P，若AE=AP
（1）求证：
△ABE≌△ADP；
（2）求证；BE⊥DE；
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP=90°，∴∠EAB=∠PAD，
在△ABE和△ADP中，
，∴△ABE≌△ADP；
（2）证明：
∵△ABE≌△ADP，∴∠APD=∠AEB，又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴BE⊥DE；
5．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元．
（1）设B市运往C村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式；
（2）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
解根据题意得：
（1）W=300x+500（6﹣x）+400（10﹣x）+800[12﹣（10﹣x）]=200x+8600．
（2）因运费不超过9000元∴W=200x+8600≤9000，解得x≤2．∵0≤x≤6，∴0≤x≤2．
则x=0，1，2，所以有三种调运方案．
（3）∵0≤x≤2，且W=200x+8600，∴W随x的增大而增大∴当x=0时，W的值最小，最小值为8600元，
此时的调运方案是：
B市运至C村0台，运至D村6台，A市运往C市10台，运往D村2台，最低总运费为8600元．
6．在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），C（0，b），且a、b满足（a+1）2+
=0．
（1）直接写出：
a= ，b= ；
（2）如图，点B为x轴正半轴上一点，过点B作BE⊥AC于点E，交y轴于点D，连接OE，若OE平分∠AEB，此时，OB与OC有怎样的大小关系？
证明你的结论．
（3）在
（2）的条件下，求直线BE的解析式．
解：
（1）∵（a+1）2+
=0，∴a+1=0，b+3=0，∴a=﹣1，b=﹣3，
（2）OB=OC，证明如下：
如图，过O作OF⊥OE，交BE于F，
∵BE⊥AC，OE平分∠AEB，∴△EOF为等腰直角三角形，
∴∠EOC+∠DOF=∠DOF+∠FOB=90°，∴∠EOC=∠FOB，且∠OEC=∠OFB=135°，
在△EOC和△FOB中，
，
∴△EOC≌△FOB（ASA），∴OB=OC；
（3）∵△EOC≌△FOB，∴∠OCE=∠OBE，OB=OC，
在△AOC和△DOB中，
，
∴△AOC≌△DOB（ASA），∴OD=OA，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴OD=1，OC=3，
∴D（0，﹣1），B（3，0），
设直线BE解析式为y=kx+b，
把B、D两点坐标代入可得
，解得
．
∴直线BE的解析式为y=
x﹣1．
7．如图，A是∠MON边OM上一点，AE∥ON．
（1）在图中作∠MON的角平分线OB，交AE于点B；（要求：
尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在
（1）中，过点A画OB的垂线，垂足为点D，交ON于点C，连接CB，将图形补充完整，并证明四边形OABC是菱形．
【考点】L9：
菱形的判定；KB：
全等三角形的判定．
【专题】13：
作图题．
【分析】
（1）角平分线的作法：
用圆规以顶点为圆心，任意长为半径画一个弧（要保证有两个交点，不要太小），再以刚才画出的交点为顶点，以大于第一次的半径为半径画弧（左右各画一个弧），再取两道弧的交点，并连接这个交点的一开始最上面的顶点，这就是角平分线．
（2）本题可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明OABC是个平行四边形，然后证明OA=AB即可．
【解答】解：
（1）如图，射线OB为所求作的图形．
（2）证明：
∵OB平分∠MON，∴∠AOB=∠BOC．
∵AE∥ON，∴∠ABO=∠BOC．
∴∠AOB=∠ABO，AO=AB．∵AD⊥OB，∴BD=OD．
在△ADB和△CDO中∵
∴△ADB≌△CDO，AB=OC．∵AB∥OC，
∴四边形OABC是平行四边形．∵AO=AB，∴四边形OABC是菱形．
【点评】本题考查尺规作图、全等三角形的判定，性质及特殊四边形的判定问题，解决本题的关键是熟悉基本作图，熟悉特殊平行四边形的判定方法．
8．如图，直线l1，l2交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）、D（0，4），直线l1所对应的函数关系式为y=﹣2x﹣2．
（1）求点C的坐标及直线l2所对应的函数关系式；
（2）求△ABC的面积；
（3）P是线段BD上的一个动点（点P与B、D不重合）．设点P的坐标为（m，n），△PBC的面积为S，写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围．
【考点】FF：
两条直线相交或平行问题．
【分析】
（1）设出直线l2的函数关系式，因为直线过B（﹣4，0），D（0，4）两点利用代入法求出k，b，从而得到关系式．
（2）A点坐标是l1与x轴的交点坐标，A点坐标是把l1，l2联立，求其方程组的解再求三角形的面积．
（3）设点P的坐标为（m，n），△PBC的面积为S得出解析式解答即可．
【解答】解：
（1）由y=﹣2x+2，令y=0，得﹣2x+2=0，∴x=1，∴C（1，0），
设直线l2所对应的函数关系式为y=kx+b，
由图象知：
直线l2经过点B（﹣4，0），D（0，4）
∴
，解得
，∴直线l2所对应的函数关系式为y=x+4；
（2）由
，解得
，∴A（﹣2，2），∵BC=3，∴S△ABC=
×3×2=3；
（3）设点P的坐标为（m，n），△PBC的面积为S，可得：
S=
，
自变量的取值范围为：
﹣4＜m＜0．
【点评】此题主要考查了两条直线相交或平行问题，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题，题目综合性较强，难度不大，比较典型．
9．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：
△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：
四边形ABEC是矩形．
【考点】L7：
平行四边形的判定与性质；KD：
全等三角形的判定与性质；LC：
矩形的判定．
【专题】14：
证明题．
【分析】
（1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB=DC，⇒∠ABF=∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF；
（2）由
（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．
【解答】证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，∴∠ABF=∠ECF，∵EC=DC，∴AB=EC，
在△ABF和△ECF中，
∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，
∴△ABF≌△ECF（AAS）．
（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC，∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，∴四边形ABEC是矩形．
【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．
10．如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．
（1）请补全下表：
α
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
S
1
（2）填空：
由
（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为S（α）．例如：
当α＝30°时，
；当α＝135°时，
．由上表可以得到
（______°）；
（______°），…，由此可以归纳出
．
（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD＝
，∠AOB＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：
可以利用
（2）中的结论）．
图2
（1）
；
；
；
.（说明：
每对两个给1分）----------------------------------2分
（2）120；30；α.-----------------------------------------------------------------------------------4分
（说明：
前两个都答对给1分，最后一个α答对给1分）
（3）答：
两个带阴影的三角形面积相等.
证明：
将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO,将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD.
∴S△AOB＝
S菱形AEBO＝
S（α）---------------------------------------------------5分
S△CDO＝
S菱形OCFD＝
S（
）-----------------------------------------6分
由
（2）中结论S（α）＝S（
）
∴S△AOB＝S△CDO.
11、如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。
如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。
①求证：
DF＝EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。
请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？
若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
解：
（1）延长FP交AB于点Q，，
①∵AC是正方形ABCD对角线，∴∠QAP=∠APQ=45°，∴AQ=PQ，
易得出BQ=PF，
∵PE⊥PB，∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，∴∠QBP=∠FPE，
∵∠BQP=∠PFE=90°，∴△BQP≌△PFE，∴QP=EF，∵AQ=DF，∴DF=EF；
12．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：
OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？
并说明理由．
【考点】矩形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】压轴题．
【分析】
（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出案；
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【解答】
（1）证明：
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；
（2）解：
∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，∴EF=
=13，∴OC=
EF=6.5；
（3）解：
当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．
13．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．
【考点】直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
【分析】
（1）S△QDP=
DQ•AB，由题意知：
AQ=t，DQ=AD﹣AQ=16﹣t，将DQ和AB的长代入，可求出S与t之间的函数关系式；
（2）当四边形PCDQ为平行四边形时，PC=DQ，即16﹣t=21﹣2t，可将t求出；
（3）当PD=PQ时，可得：
AD=3t，从而可将t求出；当DQ=PQ时，根据DQ2=PQ2即：
t2+122=（16﹣t）2可将t求出．
【解答】
（1）解：
直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，
依题意AQ=t，BP=2t，则DQ=16﹣t，PC=21﹣2t，
过点P作PE⊥AD于E，
则四边形ABPE是矩形，PE=AB=12，∴S△DPQ=
DQ•AB=
（16﹣t）×12=﹣6t+96．
（2）当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，∴21﹣2t=16﹣t解得：
t=5，
∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形．
（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，
①当PD=PQ时，QE=ED=
QD，
∵DE=16﹣2t，∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16﹣2t，
解得：
t=
，∴当t=
时，PD=PQ
②当DQ=PQ时，DQ2=PQ2∴t2+122=（16﹣t）2解得：
t=
∴当t=
时，DQ=PQ
【点评】本题主要考查梯形、平行四边形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合．
14.如图，在▱ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F，连接BE、CF，过点A作AP∥BC，交DC的延长线于点P．
（1）求证：
△ABE≌△DCF；
（2）当∠P满足什么条件时，四边形BECF是菱形？
证明你的结论．
15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．
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