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概率论基础复习题答案

填空题（含答案）

1（设随机变量ξ的密度函数为p（x）,则p（x）0;=1;p（x）dx,,,

。

Eξ=xp（x）dx,,,

考查第三章

2（设A,B,C为三个事件，则A,B,C至少有一个发生可表示为:

;A,CA:

C发生而B不发生可表示;A,B,C恰有一个发生可表示为:

ABC

。

ABC，ABC，ABC

考查第一章

（x）,（x）3（设随机变量，其概率密度函数为，分布函数为，则,~N（0,1）00

1,（0）,（0）等于，等于0.5。

002,

考查第三章

14（设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=，k=1,2,3,4,5，则Eξ=3，Dξ=5

2。

考查第五章

r5（已知随机变量X，Y的相关系数为,若U=aX+b,V=cY+d,其中ac>0.则U，VXY

r的相关系数等于。

考查第五章

12X~N（,,,）6（设，用车贝晓夫不等式估计:

P（|X,,|,k,）,1,2k考查第五章

pxpp7（设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=}=i,1,2,...,则0;=,iiiii,1

xp1;Eξ=。

iii,1

考查第一章

8（设A,B,C为三个事件，则A,B,C都发生可表示为:

;A发生而B,C不发生ABC

可表示为:

;A,B,C恰有一个发生可表示为:

。

ABCABC，ABC，ABC

考查第一章

9（，，则5。

X~N（5,4）P（X,c）,P（X,c）c,

考查第三章

2x，,x，1,010（设随机变量在[1，6]上服从均匀分布，则方程有实根的概率为,

4。

考查第三章较难

11（若随机变量X，Y的相关系数为r,U=2X+1,V=5Y+10则U，V的相关系数=r。

XYXY

考查第三章

,[,],,,12（若服从的均匀分布，,,,2，则的密度函数,gy（）22

1。

,,,,,gyy（）2,

考查第五章

AB13（设P（A）,0.4，P（A，B）,0.7，若与互不相容，则P（B）,

AB0.3;若与相互独立，则P（B）,0.5。

考查第一章

14（将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数

12CP34是奇数的概率P（A）=。

3P5

考查第一章

15（若，8，1.6，最可能值k,8。

~B（10,0.8）E,,D,,0

考查第二、五章

x,xex,016（设随机变量X的概率密度为，则=6,EX（3）fx（）,,00x,,

13XEe（）=16

考查第四、五章

117（任取三线段分别长为x,y,z且均小于等于a，则x,y,z可构成一三角形的概率2

考查第一章（较难）

18（设随机变量X，Y的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为1

考查第五章

19（若，3，0.16.,~（3,0.16）NE,,D,,

考查第五章

若20.，16，8.4.,~（10,0.7）BE（9）,，,D（23）,，,

考查第五章

21.某公司有A、B、C三个生产基地生产同一种产品，产量分别占20%，45%和35%（三

个基地的产品各有30%，20%，25%在北京市场销售（则该公司任取此产品一件，它可能在

销往北京市场的概率为0.2475（

考查第二章

X22.f（x）为一维连续型随机变量的概率密度函数，则有1;若f（x）dx,,,,

YP（Y,y）,p,p,离散型随机变量具有分布列则1（,kkkk

考查第三章

X，Yn,pn,pX,Y23.若是相互独立的随机变量，均服从二项分布，参数为及，则12

服从参数为参数为n，n,p的二项分布分布（12

考查第四章

X2EX24.设随机变量服从参数为和的正态分布,则=_____0____;N（0,2）0

DX=______2_____（

考查第五章

25（设A,B,C为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为

。

ABC，ABC，ABC，ABC

考查第一章

27（若二维随机向量（）的联合密度函数,,,

22（）2（）（）（）11x,arx,ay,ay,a1122P（x,y）=exp{[]},,，2222,,,,2

（1）,r12,,,21,r1212

22,,aar,,,,则E=,D=,E=,D=Cov（）=.,,,,,121212

考查第五章

28（两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一个人20分钟，过时就可离开，则

两人能会面的概率为5/9。

考查第一三章

选择题（含答案）

1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2:

1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2:

1，今任取一罐并从中依次取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的（D）

（A）2倍（B）254倍（C）798倍（D）1024倍

考查第二章

2.在[0,1]线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为（A）（A）0.25（B）0.5（C）0.75（D）1

考查第一章

3.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X+Y服从（C）

2,（A）N（2,0）（B）自由度为2的分布（C）N（0,2）（D）不能确定考查第三章

n4.设P（X=n）=a（n,1,2,...）且EX=1，则a为（B）

5,13,51（A）1（B）（C）（D）223

考查第五章

5（下列论述不正确的是（B）

（A）若事件A与B独立则与B独立（B）事件AB不相容则A与B独立A

（C）n个事件两两独立不一定相互独立（D）随机变量和独立则二者不相关,考查第二章

6（甲乙两人各投掷n枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为（C）

n11k2nn2nC（A）0（B）（C）（D）（）C（）,n2n22k,0

考查第一、二章

7.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X+Y服从（C）

2,（A）二项分布（B）分布（C）N（0,2）（D）不能确定考查第三、四章

AB8.对于任意事件与，有（C）。

P（A,B）,

（A）（B）P（A）,P（B）P（A）,P（B），P（AB）

P（A）,P（AB）（C）（D）P（A）,P（AB）

考查第一章

a9.在[0,]线段上随机投掷两点，两点间距离大于的概率为（D）a2

（A）1（B）0.75（C）0.5（D）0.25考查第一章

3,5n10.设P（X=n）=a，其中a为，则EX=（B）（n,1,2,...）2

5（A）（B）1（C）0.5（D）3

考查第五章

11（下列论述不正确的是（C）

A（A）n个事件两两独立不一定相互独立（B）若事件A与B独立则与B独立

（C）事件AB不相容则A与B独立（D）随机变量和,独立则二者不相关,

考查第二章

p12（掷n枚硬币，出现正面的概率为，至少出现一次正面的概率为（A）

n11n,（A）（B）（C）1（D）1

（1）,,pCpp

（1）,1,pn

考查第一章

13.设A，B为两个互斥事件，且P（A）>0，P（B）>0，则下列结论正确的是（C）。

（A）P（B|A）>0,（B）P（A|B）=P（A）（C）P（A|B）=0（D）P（AB）=P（A）P（B）

考查第二章

114.事件A，B相互独立，，P（A）=（D）。

P（AB）,,P（AB）,P（AB）9

112（A）（B）（C）0（D）233

考查第二章

XDX,EX15.随机变量服从（D）分布时，。

（A）正态（B）指数

（C）二项（D）泊松（Poisson）

考查第五章

22X~N（,,4）,Y~N（,,5）16.设，记p,P（X,,,4）,p,P（Y,,，5），则12（A）。

,（A）对任何实数p,pp,p，都有（B）对任何实数，都有1212

,p,pp,p（C）只对的个别值，才有（D）对任何实数，都有1212考查第三章

17（若有十道选择题，每题有A、B、C、D四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰好答对六道的概率为（B）

313664（A）（B）C（）（）10544

6,1,,6e（C）（D）（）6!

考查第二章

2X~N（72,,）18（某课程考试成绩,已知96分以上占2.3%，则60~84分所占比例为（A）

（已知）,,20.977，，

（B）（A）2

（1）1,,1

（2）,,

（C）（D）2

（2）1,,0.5

考查第三章

19.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则XY服从（C）

2,（A）泊松分布（B）分布（C）N（0,2）（D）不能确定考查第三、四章

AB,20.对于任意事件，有（A）。

P（A,B）,

（A）（B）0P（A）,P（B）

（C）1（D）PB（）

考查第一章

21.设随机变量的密度函数为,

,,cos,,,axx,（）,px22,

0其它,

则常数为（B）a

111（A）（B）（C）0（D）23

考查第三章

22（下列陈述不正确的是（D）

A（A）两两独立不一定相互独立（B）若事件A与B独立则与B独立

（D）随机变量二者不相关则和独立（C）事件AB独立则PABPA（|）（）,,

考查第二章

23.下列数列可以构成分布列的是（C）

11nnnn21,2,...n,11,2,...n,（A）（B）（C）0（D）n,n,（）1,2,...（）1,2,...32考查第三章

24（下列陈述不正确的是（B）

,（A）和不相关则（B）随机变量二者不相关则和独立,DDD（）（）（）,,,,，,，,

和,不相关则（D）随机变量二者不相关则（C）,cov（,）0,,,EEE（）,,,,,考查第五章

AB25（事件中，发生且与不发生的事件为:

（C）A,B,CC

（A）A:

C;（B）ABC:

ABC:

ABC;

CA:

C.（C）;（D）

考查第一章

设为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是:

（A）26（A,B

P（AB）,P（A）P（B）（A）;（B）;P（A:

B）,P（A）P（B）

（C）;（D）P（B|A）,P（B）P（AB）,P（A）P（B）.考查第一章

27（工厂每天从产品中随机地抽查50件产品，已知这种产品的次品率为0.1%，，则在这一

年内平均每天抽查到的次品数为:

（A）

（A）0.05;（B）5.01;（C）5;（D）0.5.

考查第六章

Y28（则服从分布:

（C）X~U（0,1）,Y,3X,2,

（A）U（,1,1）;U（,1,0）.（B）（C）U（,2,1）;（D）U（2,3）;

考查第四章

（2x，y）f（x,y）,2e,（0,x,y,，,）.29（设随机变量X,Y的联合概率密度为则:

（B）

（A）X,Y不相关;（B）X,Y相互独立;

（C）相关;（D）不相互独立（X,YX,Y

考查第四、五章

30（事件A，B互不相容，是指（B）

（A）P（AB）=P（A）P（B）（B）AB=

,,B（C）AB=（D）A=

考查第一章

计算题（含答案）

ka一（设随机变量只取非负整数值，其概率为P{，a>0是常数，,,k},,k，1（1，a）试求E及D,,

a解:

记t=<11，a

kk1,,,,,aaaaa,k'k1===kt=（t）E,kk,,,,22k12k1，,（1，a）（1，a）（1，a）（1，a）（1，a）,k1k1,k1k1,,

ata1'2==（）=（）a221,t1,t（1，a）（1，a）

kkk2,,,,aaaa22k''E,==+=kkk（k,1）（t），a,,,,k1k1k1，，，3（1，a）（1，a）（1，a）（1，a）k1k1k1k,,,,1

22a123==2a，a（），a31,t（1，a）

222D,,E,,（E,）=a，a

考查第五章（较难）

二（炮战中，在距离目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1,0.7,0.2,而

在各处射击时命中目标的概率分别为0.05,0.1,0.2。

任射一发炮弹，求目标被击中的概率。

若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。

A,A,A解:

1）设分别表示炮弹从250米，200米，150米处射击的事件,123

B表示目标被击中。

则由全概率公式

P（B）,P（A）P（B|A），P（A）P（B|A），P（A）P（B|A）112233=0.1，0.05，0.7，0.1，0.2，0.2,0.115

2）由Bayes公式

0.1，0.051,,,0.0430.11523

考查第二章

三（某单位招聘2500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000人报名，假

2设报名者的成绩X服从分布N（,,,）已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问

被录用者中最低分为多少,

2,（）x,,122,（）X的分布函数为fx,e

2,,

,X,,2~（,）,~（0,1）XNN,

,,,90,90,359X{,90},{,},1,,（）,PXP,,,1000

90,359,（）,1,,0.9641,1000,,,60,1151,（）,,0.1151,10000

2x,标准正态分布表可得到=72和=100的值，然后令录取的最低分为，则,0

,,,,xx2500,X00{}{}（）,,,,,,PXxP0,,,10000

x,79,从而得到即录取的最低分为79分。

考查第三章（较难）

四（从1到2000这2000个数字中任取一数，求1）该数能被6整除的概率;

2）该数能被8整除的概率;

3）该数能被6和8整除的概率;

4）该数能被6或8整除的概率。

解:

利用古典概型的公式

mA所含样本点数PA（）,,n样本点总数有利于的场合数A,样本点总数

3332501831）;2）;3）;,2000200020008

PPP（）（）（）能被8整除，能被6整除,既能被6整除又能被8整除

3331834）,，,200082000

1,4

考查第一章

A五（空战中，从，，处射击的概率分别为0.2,0.7,0.1,而在各处射击时命中敌AA312

机的概率分别为0.2,0.1,0.05。

任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。

A若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由处射出的概率。

解:

1）设B表示目标被击中。

则由全概率公式P（B）,P（A）P（B|A），P（A）P（B|A），P（A）P（B|A）112233=0.2，0.2，0.7，0.1，0.1，0.05,0.115

2）由Bayes公式

0.1，0.051,,,0.0430.11523

考查第一章

六（一地区农民年均收入服从元，元的正态分布，求:

,500,,20该地区农民年均收入在500元~520元间的人数的百分比;如果要使农民的年均收入在内的概率不小于0.95，则至少为多大,（,,a,,，a）a3个农民中至少有一个年均收入在500元~520元间的概率。

2，，,~N500,20

解:

（1）

520500500500,,,,,,,P500520100.84130.50.3413,,,,,,,,,,,,,，，，，，，0000,,,,2020,,,,

，，P,,a,,,,，a,0.95

（2），

a,,,,,,,,,1,0.95，2P0.95,,,,0,,202020,,,,

a可得，，,1.96a,39.220

003Cpp（）

（1）,（3）考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，其概率为:

，311

0031,C（0.3413）（1,0.3413）3

考查第三章（较难）

101,,

,PXX{0}1,,七（设随机变量（i=1,2）,且满足，则求概率X11112i,,

,424

PXX{},。

PXX{0}1,,PXX{0}0,,解:

由，得，即1212

PXX{1,1},,,,,,,PXX{1,1},,,PXX{1,1},,,,,,PXX{1,1}012121212

XX再根据联合分布与边际分布的关系可以求得和的联合分布。

XXPXxp{},,,101211ii,

11,10044

111004421110044PXyp{},,1112ij,424

PXX{},所以,0.12

考查第四章

八、有一袋麦种，其中一等的占80%，二等的占18%，三等的占2%，已知一、二、三等

麦种的发芽率分别为0.8，0.2，0.1，现从袋中任取一粒麦种:

试求它发芽的概率;

若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少,

解:

设事件“取出来的种子是一等种子”“取出来的种子是二等种子”A,A,12A,“取出来的种子是三等种子”3

B,“取出的种子发芽”“取出的种子未发芽”B,

P（A）,80%P（A）,18%P（A）,2%由题:

123

P（B|A）,0.8P（B|A）,0.2P（B|A）,0.1123

P（B|A）,0.2P（B|A）,0.8P（B|A）,0.9123

P（B）,P（A）P（B|A），P（A）P（B|A），P（A）P（B|A）1）全概率公式（112233

=67.8%

（2）贝叶斯公式

=0.497

考查第二章

九、设随机变量ξ的分布列为

ξ,0,,22

P0.20.30.30.2

2,,,，1求的分布列。

解:

,22222（,），1（），1,,,，10，1,，122

p0.20.30.30.2

整理得η的分布列

2,，121，,4,1P0.30.50.2

考查第四章

十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20%，65%，15%.毕业后十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为80%，70%，55%.求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。

解:

记B={成为优秀教师}

PBPAPBAPAPBAPAPBA（）（）（|）（）（|）（）（|）,，，112233

8020706555156975,，，，，，,10010010010010010010000

考查第二章

十一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以ξ表示两次所得点数之和。

求1）ξ的分布列;2）Eξ。

解:

1）

23456789101112

p1*******321i3636363636363636363636

EkPk,,,,{}2）,k,2

121,，，，，，，23...12363636

252,,736

考查第五章

十二、设二维离散型随机向量（ξ，η）的联合分布列为:

η012

1CCC101010

202C2C1010

302CC1010

1）求常数C;

2）求ξ，η的边缘分布列;

3）求ξ,2的条件下，η的条件分布列;

4）判断ξ与η是否相互独立。

解:

1）C=1;

2）

η012piξ

10.10.10.10.3200.20.20.430.200.10.3

0.30.30.4pj

和的边沿分布列为:

123,

P0.30.40.3

012P0.30.30.4

3）

012,|,,2

P00.50.5整理得:

12,|,,2

P0.50.5

4）因为PPP{2,0}00.40.3{2}{0},,,,,,,,，,,,

所以与不相互独立,

考查第四章

X十三、一个篮球运动员的投篮命中率为0.6，以表示他首次命中时累计的投篮次数。

写

X出的分布律（

k,1P{X,k},（0.4）（0.6）k,1,2,？

解:

分布律为考查第一章

kx，10,x,2,十四、已知连续型随机变量ξ有密度函数p（x）,,0其他,

求系数k及分布函数，并计算P{1.5<ξ<2.5}（解:

由密度函数的性质

22k21,p（x）dx,（kx，1）dx,（x，x）,2k，2,,02,,0

x1？

k,,F（x）,p（t）dt,2,,

当时，,p（t）,0F（x）,0x,0

xx11122当时，（）

（1）（）Fx,,tdt,t,t,x,x0,x,2,02440

当时，F（x）,1x,2

x0,0

12Fxxxx？

（）,,0,,2,4,x1,2,

12P{1.5,,,2.5},F（2.5）,F（1.5）,1,[1.5,（1.5）],0.06254

考查第三章

十五、设随机变量的联合分布为X,Y

X1234Y

00.000.030.050.02

10.120.050.070.01

20.080.030.080.11

30.050.04x0.06

XY,2求x,及X,Y的边际分布（直接填写在表中），给出在的条件下的条件分布（解:

x=0.2

XY,2在的条件下的条件分布为

1234Y,2X|

4141115101530

考查第四章

十六、设二元连续型随机向量（X,Y）的联合密度函数为

1,0,x,1,|y|,x,,f（x,y）,,0,其它.,

求的数学期望、方差和相关系数（X,Y

xP（x）,0解:

当0

1P（y）,1dx,1，y当-1

10,y,1,P（y）,1dx,1,y当而y,1,P（y）,0,,,y

1221103E,,x,2xdx,x,，，E,,y（1,y）dy，y（1，y）dy,0,,,0,01330

2121122222D,,E,,（E,）,x,2xdx,（）,,（）,,032318

122D,,E,,（E,）,6

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