动力学的临界和极值问题_精品文档.doc

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动力学的临界和极值问题

教学目标:

教学重点、难点:

新课引入:

教学过程:

一、临界和极值

在应用牛顿定律解决动力学问题中,当物体运动的加速度不同时,物体有可能处于不同的状态,特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时,往往会有临界现象。

此时要采用极限分析法,看物体在不同加速度时,会有哪些现象发生,尽快找出临界点,求出临界条件。

在某些物理情境中,物体运动状态变化的过程中,由于条件的变化,会出现两种状态的衔接,两种现象的分界,同时使某个物理量在特定状态时,具有最大值或最小值。

这类问题称为临界问题。

在解决临界问题时,进行正确的受力分析和运动分析,找出临界状态是解题的关键。

1、相互接触的物体,它们分离的临界条件是:

它们之间的弹力,而且此时它们的速度相等,加速度相同。

【例】如图,在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板,将薄板上放一重物,并用手将重物往下压,然后突然将手撤去,重物即被弹射出去,则在弹射过程中,(即重物与弹簧脱离之前),重物的运动情况是(  )

F

A、一直加速 B、先减速,后加速

C、先加速、后减速 D、匀加速

答案:

 【例】如图所示,劲度系数为的轻弹簧竖直固定在水平面上,上端固定一质量为的托盘,托盘上有一个质量为的木块。

用竖直向下的力将原长为的弹簧压缩后突然撤去外力,则即将脱离时的弹簧长度为()

A、B、

C、D、

答案:

a

P

A

45°

【例】如图所示,一细线的一端固定于倾角为的光滑楔形滑块的顶端处,细线的另一端拴一质量为的小球。

当滑块至少以加速度向左运动时,小球对滑块的压力等于零。

当滑块以的加速度向左运动时,线的拉力大小。

答案:

【例】一个质量为的小球用细线吊在倾角的斜面顶端,如图,斜面静止时,球紧靠在斜面上,绳与斜面平行,不计摩擦,当斜面以的加速度向右做加速运动时,求绳的拉力及斜面对小球的弹力。

答案:

、0

【例】如图所示,在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块、。

它们的质量分别为、,弹簧的劲度系数为,为一固定挡板。

系统处于静止状态。

现开始用一恒力沿斜面方向拉物块使之向上运动,求物块刚要离开时物块的加速度和从开始到此时物块的位移,重力加速度为。

答案:

①;

②。

【例】如图所示,一根劲度系数为质量不计的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为的物体。

手持一质量为的木板,向上托,使弹簧处于自然长度。

现让木板由静止开始以加速度()匀加速向下运动,求:

(1)经过多长时间、分离。

(2)手作用在板上作用力的最大值和最小值。

答案:

①;

②最大:

;最小:

解:

①分离时弹力为0,而且加速度为;

②开始运动时力最大:

对系统:

分离时力最小:

对:

【例】如图所示,木块、的质量分别为、,紧挨着并排放在光滑的水平面上,与间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成角,与间的接触面光滑。

现施加一个水平力作用于,使、一起向右运动且、一不发生相对运动,求的最大值。

答案:

【例】如图所示,一质量为的物块与直立轻弹簧的上端连接,弹簧的下端固定在地面上,一质量也为的物块叠放在的上面,、处于静止状态。

若、粘连在一起,用一竖直向上的拉力缓慢上提,当拉力的大小为时,物块上升的高度为,此过程中,该拉力做功为;若、不粘连,用一竖直向上的恒力作用在上,当物块上升的高度也为时,与恰好分离。

重力加速度为,不计空气阻力,求恒力的大小。

B

A

答案:

解:

静止时,对:

粘连时,缓慢地提:

对:

不粘连,分离时:

对:

对:

由以上各式可得:

【例】如图所示,质量的小球挂在倾角为的光滑斜面的固定铁杆上,当小球与斜面一起向右以:

(重力加速度为)

(1)时,绳子拉力和斜面的弹力大小;

α

(2)时,绳子拉力和斜面的弹力大小。

答案:

①;②0

2、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题,此时绳子的张力:

【例】如下图所示,两绳系一个质量为的小球,两绳的另一端分别固定于轴的、两处,上面绳长,两绳都拉直时与轴夹角分别为和。

问球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧?

答案:

【例】如图所示,两细绳与水平的车顶面的夹角为和,物体的质量为。

当小车以大小为的加速度向右匀加速运动时,绳1和绳2的张力大小分别为多少?

答案:

0。

3、由运动情况造成的临界和极值问题,此时题目中将会出现“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语。

【例】物体的质量,静止在光滑水平面上的平板车的质量为、长。

某时刻以向右的初速度滑上木板的上表面,在滑上的同时,给施加一个水平向右的拉力。

忽略物体的大小,已知与之间的动摩擦因数,取重力加速度。

试求:

(1)若,物体在小车上运动时相对小车滑行的最大距离;

(2)如果要使不至于从上滑落,拉力大小应满足的条件。

答案:

①;②。

解:

①由牛顿第二定律:

对:

对:

此后,物体将做减速运动,而将加速,直到达到共速;

有:

得:

此时,相对位移

之后,将从的左端滑下。

②当较小时,将从的右端滑下,临界条件是:

到达的右端时,、具有共同的速度。

当较大时,将从的左端滑下,临界条件是:

达到共同速度时,、相对静止。

此时:

【例】一小圆盘静止在桌布上,位于一方桌的水平桌面的中央。

桌布的一边与桌的边重合,如图。

已知盘与桌布间的动摩擦因数为,盘与桌面间的动摩擦因数为。

现突然以恒定加速度将桌布抽离桌面,加速度的方向是水平的且垂直于边。

若圆盘最后未从桌面掉下,则加速度满足的条件是什么?

(以表示重力加速度)

答案:

解:

圆盘的运动应该是先在桌布上加速,后在桌子上做匀减速运动,如果圆盘未从桌面上掉下来(设从桌布上掉下来时的速度为,末速度为0),则有:

对圆盘:

加速阶段:

;;

减速阶段:

;;

设桌布从盘下抽出所经历时间为,在这段时间内桌布移动的距离为。

对桌布:

由运动情况:

;。

由以上各式得:

【例】如图所示,一质量的木箱放于质量的平板车的后部,木箱到驾驶室的距离,已知木箱与木板间的动摩擦因数,平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的倍。

平板车以的恒定速率行使,突然驾驶员刹车,使车做匀减速运动,为了不让木箱撞击驾驶室,试求:

(1)从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间?

(2)驾驶员刹车时的制动力不能超过多少?

答案:

①;②。

解:

①设箱的位移为,车的位移为;

车的加速度为。

箱子如果不与车相碰,则有:

由牛顿定律,对箱:

由运动学公式,对箱:

对车:

由以上各式有:

,所以。

②设汽车的制动力为,由牛顿第二定律:

得:

【例】一木箱可视为质点,放在汽车水平车厢的前部,如图所示,已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为。

初始时,汽车和木箱都是静止的。

现在使汽车以恒定的加速度开始启动沿直线运动。

当其速度达到后做匀速直线运动。

要使木箱不脱离车厢,距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件?

【例】如图所示,在光滑桌面上叠放着质量为薄木板和质量为的金属块。

的长度。

上有轻线绕过定滑轮与质量为的物块相连。

与之间的滑动摩擦因数,最大的静摩擦力可视为等于滑动摩擦力。

忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。

起始时令各物体都处于静止状态,绳被拉直,位于的左端(如图所示),然后放手,求经过多长时间后从的右端脱离(设的右端距滑轮足够远)()。

【例】一圆环套在一均匀圆木棒上,的高度相对的长度来说可以忽略不计。

和的质量都等于,和之间的滑动摩擦力为()。

开始时竖直放置,下端离地面高度为,在的顶端,如图所示。

让它们由静止开始自由下落,当木棒与地面相碰后,木棒以竖直向上的速度反向运动,并且碰撞前后的速度大小相等。

设碰撞时间很短,不考虑空气阻力,问:

在再次着地前,要使不脱离,至少应该多长?

答案:

解:

开始释放后,、一起做自由落体运动,

设其到达地面前瞬间的速度为。

由机械能守恒:

与地面撞击后,环将做加速运动(设其加速度为),而将做减速运动(设其加速度为),当的速度减为0后,反向又以加速,直到再次落地,由对称性可知:

此时的速度依然为。

由牛顿第二定律,对:

对:

故它们运动的时间为:

此时:

棒运动的位移为0,环相对于棒运动的位移,对环:

有:

棒的长度:

,即。

4、最大静摩擦力也会造成临界和极值问题,此时有:

A

B

F

【例】如图所示,质量分别为和的两物体、叠放在一起,放在光滑的水平地面上,已知、间的最大摩擦力为物体重力的倍,若用水平力分别作用在或上,使、保持相对静止做加速运动,则作用于、上的最大拉力与之比为多少?

答案:

【例】如图所示,光滑水平面上放置质量分别为和的四个木块,其中两个质量为的木块间用一不可伸长的轻绳相连,木块间的最大静摩擦力是。

现用水平拉力拉其中一个质量为的木块,使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对的最大拉力为()

A、

B、

C、

D、

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