泰勒公式与导数的应用.docx
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泰勒公式与导数的应用
泰勒公式与导数的应用
名称
主要内容
泰勒中值定理：
如果f（x）在含有
x
0的某个开区间（a,b）内具有n
1阶的导数，则对任一
x（a,b），有
f（x）f（x0）
f
/（x0）（x
x0）f//2（!
x0
）（x
x0）2
02!
f（n）（x0）
n
（xx0）Rn（x）
，此公式称为
n阶泰勒公式；
n!
f（n1）（）
n
1
其中Rn（x）
（xx0）
（介于x0于x之间）
，称为拉格朗日型余项；
或
泰
（n1）!
Rn（x）o[（x
x0）n]，称为皮亚诺型余项。
勒
n阶麦克劳林公式：
f（x）f（0）
f/（0）xf//（0）
x2
f（n）（0）xn
x
Rn（x）
2!
n!
公
其中Rn（x）
（n1）
f（x）n1x（
0
1）
或Rn（x）o（xn）
。
（n1）!
式
常用的初等函数的麦克劳林公式：
1）
ex1
2
xx
nx
o（xn）
2!
n!
35
2n
1
2）sinxx
xx
（
nx
2n2
）
1）
o（x
3!
5!
（2n
1）!
246
2n
3）cosx1
xxx
n
x2n
1）
（1）n
o（x2n
2!
4!
6!
（2n）!
23
xxx
（1）nx
n1
4）ln（1x）
n1
o（xn1）
23
n
1
5）11x1
2
xxx
n
o（xn）
1x
m
6）（1x）
m（m
1mx
1）
2
m（m1）（m
n1）n
n）
x
n!
xo（x
2!
巩固练习
★1.按（x1）的幂展开多项式f（x）x43x24。
知识点：
泰勒公式。
思路：
直接展开法。
求f（x）按（xx0）的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求f（x）直到n1阶的导数在xx0处的值，然后带代入公式即可
解：
f（x）4x36x，
f
（1）10；f（x）12x26，f
（1）18；
将以上结果代入泰勒公式，得
介于x与4之间）
知识点：
麦克劳林公式。
思路：
间接展开法。
f（x）为有理分式时通常利用已知的结论
1
1x
1xx2
xno（xn）。
解：
f（x）
2
1xx
2
1xx
2
1xx2x
2
1xx
2x
1xx2
2x（1
x）1
12x（1x）（1x3o（x3））12x2x22x4o（x4）；
3f（0）
又由泰勒公式知x3前的系数0，从而f（0）0。
3!
★★4.求函数f（x）lnx按（x2）的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。
知识点：
泰勒公式。
思路：
直接展开法，解法同1；或者间接展开法，
f（x）为对数函数时，通常利用已知的结论
n1nx
（1）nn
o（xn1）。
方法一：
（直接展开）
f（x）
1
，f
（2）
x
1x4将以上结果代入泰勒公式，得
f（x）23，f
（2）
f（n）（x）
1
；f（x）2，f
（2）
x
1（n1）!
1）n
，f（n）
（2）
lnxf
（2）
f
（2）
1!
（x2）
f2（!
2）（x
2!
2）2
f
（2）（x
（4）
3!
2）3
（2）
4!
f（n）
（2）（x
n!
2）n
o（（x
2）n）
ln2
12（x
2）
1
23
（x
2）2
（1）
11
（x
2）no（（x
2）n）。
方法
f（x）
ln
ln（2x
2）ln2ln（1
x2
x22）
ln2
2）3
1）n
（x
x2
2
1（n1）!
2n
2）4L
（x
2）3
1（x
32
13（x2）3
323
1）n11n（x
n
（1）n
22）no（（x22）n）
1
1n（x2）no（（xn2n
ln2
12（x
2）
1
2
13（x
23
22）2
2）2
2）n）。
★★5.求函数f（x）
思路：
直接展开法，解法同
1；或者间接展开法，
f（x）为有理分式时通常利用已知的结论
1
1x
1xx2
（1
1
）n2
xn1
方法
：
f（x）
1）
1；
f（x）
1）2；f（x）
f
（1）6
（n）
（x）
1）n
n!
n1x
（n）（
1）
（1）n
n!
n1n!
；
（1）n1
将以上结果代入泰勒公式，得
1
f
（1）f
（1）
1!
（x1）
f
（1）（x
2!
1）2
f3（!
1）（x
1）3
方法
（n）（n!
1）（x
1）
（1）n
n2
1
（x
★★6.求函数y
1）n
（x
（n1）1（）ξ!
）（x
（n
1）2
（x1）3
1（x1）
1）n1]1
[1（x
（x1）
介于x与1之间）。
1）n
1）
（x
（x
1）n
（1）n
n2
1
（x
1）
介于x与1之间）。
（x
1）2
1）2
（x
1）3
（x
1）n
（x
1）3
（x
1）n
（1n）n21（x1）n1
x
xe的带有皮亚诺型余项的
n阶麦克劳林展开式。
知识点：
麦克劳林公式。
思路：
直接展开法，解法同1；间接展开法。
f（x）中含有ex时，
通常利用已知结论
2!
n!
o（xn）。
方法一：
y
（x
1）ex，y（0）1；y
（x2）ex，y（0）2；
y（n）
（xn）ex，
y（n）（0）n，
将以上结果代入麦克劳林公式，
xxe
f（0）
f（0）xf（0）x
1!
2!
x3
方法
2!
xe
x（1
（n
1）!
2!
（n1）!
o（xn）。
★★7.验证当
x12时，
按公式
x2
f（0）x3
3!
o（xn）。
n1
x
（n
1）!
o（xn
0.01，并求e的近似值，使误差小于0.01
f（n）（0）nxn!
1））x
3
x
计算e
6
o（xn）
2!
x
x的近似值时，所产生的误差小于
知识点：
泰勒公式的应用。
思路：
利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围
★★8.用泰勒公式取n5，求ln1.2的近似值，并估计其误差。
知识点：
泰勒公式的应用
1）lim（3x33xx2x）；
x
11x21x2lxim0（cosxex）sinx2
知识点：
泰勒展开式的应用。
思路：
间接展开法。
利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。
lim
2
2x
m
i
★★10.设x0，证明：
x
ln（1x）
知识点：
泰勒公式。
思路：
用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。
特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展开的一部分时，可考虑用泰勒公式。
也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之）
★★11.证明函数f（x）是n次多项式的充要条件是f（n1）（x）0。
知识点：
麦克劳林公式。
思路：
将f（x）按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。
0。
解：
必要性。
易知，若f（x）是n次多项式，则有f（n1）（x）
证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使f（n）（ξ）0（aξb）。
知识点：
泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。
（n1）（x）在[a,b]上满足
思路：
证明f（n）（ξ）0（aξb），可连续使用拉格朗日中值定理，验证
罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据f（x）在xb处的泰勒展开式及已知条件得结论。
方法一：
∵f（x）在[a,b]上可导，且f（a）f（b），
∴由罗尔中值定理知，在（a,b）内至少存在一点ξ1，使得f（ξ1）0；
∵f（x）在[ξ1,b][a,b]上可导，且f（b）0，
∴由罗尔中值定理知，在（ξ1,b）（a,b）内至少存在一点ξ2，使得f（ξ2）0；依次类推可知，f（n1）（x）在[ξn1,b][a,b]上可导，且f（n1）（ξn1）f（n1）（b）0，
∴由罗尔中值定理知，在（ξn1,b）（a,b）内至少存在一点ξ，使得f（n）（ξ）0
方法二：
根据已知条件，
f（x）在xb处的泰勒展开式为：
f（b）2
f（n1）（b）n1
f（n）（ξ）
f（x）
f（b）f（b）（x
b）
（xb）2L
（xb）n1
（xb）
2!
（n1）!
n!
f（n）（
ξ）n
（xb）n（x
ξ
b），
n!
∴f（a）
f（n）（ξ）（a
（a
b）n
0，从而得f（n）（ξ）0
，结论成立。
n!
内容概要
名称
主要内容
函数单调性的判别法：
设y
（1）若在（a,b）内f（x）
（2）若在（a,b）内f（x）
f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，则
0，则y
0，则y
f（x）在［a,b］上单调增加；
f（x）在［a,b］上单调减少。
函数的
1）曲线凹凸性的概念：
设
f（x）在区间
I内连续，如果对I上任意两点x1,x2，恒有
单调性
x1x2f（x1）
f（x2）
与曲线
f（12）1
2，则称
f（x）在I上的图形是凹的；如果恒有
的凹凸
22
性
x1x2f（x1）
f（x2）
f（12）1
22
，则称
f（x）在I上的图形是凸的。
2）拐点的概念：
连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。
曲线凹凸性的判别法：
设f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内具有一阶和二阶导数，则
（1）若在（a,b）内f（x）
0，则y
f（x）在［a,b］上的图形是凹的；
（2）若在（a,b）内f（x）
0，则y
f（x）在［a,b］上的图形是凸的。
巩固练习
2
★1.证明函数yxln（1x2）单调增加
知识点：
导数的应用。
思路：
利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。
在某个区间I上，f（x）0（f（x）0），
则f（x）在I单调增加（减少）
证明：
2x（1x）2
∵y1220（仅在x1处y0），
1x1x
∴y
2
xln（1x）在（,）内是单调增加的。
★2.判定函数f（x）xsinx（0x2π）的单调性。
f（x）xsinx（0x2π）是单调增加的
知识点：
导数的应用。
思路：
利用一阶导数符号判断函数的单调性。
求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。
解：
（1）y
132
x3x23x1的定义域为（
2
）；令yx22x30，
得x11，x23。
列表讨论如下：
x
（,1）
1
（1,3）
3
（3,）
f（x）
0
－
0
f（x）
↗
↘
↗
132
由上表可知，yx3x23x1在（,1）、（3,）内严格单增，而在（1,3）内严格单减。
8
（2）在（0,）内，令y220，得x2；
x
当x（0,2）时，有y0；当x（2,）时，有y0；
）内严格单减。
8
y2x（x0）在（0,2）内严格单增，在（2,
x
232
3）yx3x2的定义域为（,）；令y
3
得x1；x0为不可导点。
列表讨论如下：
x
（,0）
0
（0,1）
1
（1,）
f（x）
0
－
0
f（x）
↗
↘
↗
）内严格单增，而在（0,1）内严格单减。
232
23x3x2在（,0）、（1,
由上表可知，y
4）
yln（x
1x2）的定义域为（
），
1x1
x1
x2（11x2）1x2
0，
∴y
ln（x
1x2）在（
）内严格单增。
5）
（1
x）x的定义域为[0,），∵y
（x
3
x2）
32x0，
∴y
（1
x）x在[0,）上严格单增。
6）
2
2x2lnx的定义域为（0,），令y
4x
4x2
10，得
当x
（0,1）时，y0；当x（1,）时，
22
0；
∴y
2x2lnx在（0,1）内严格单增，在（1,
22
）内严格单减。
★★4.证明下列不等式：
1）当x0时，1
1
x1x；
（2）当
2
4时，2x
x2
3）当x0时，（1
x）ln（1x）arctanx；
4）0x
π
时，tanx
2
13
x
3
知识点：
导数的应用或者泰勒公式的应用。
第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的
思路：
利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3方法。
解：
（1）方法一：
令f（x）
12x1x，
1
则当x0时，f（x）12
11
21（111x）0，
∴f（x）11x1x在［0,）上严格单增；从而f（x）f（0）0，
2
即1x1x，结论成立。
2方法二：
由泰勒公式，得
f（x）
112x1
（1
2
x23）
3
8（1ξ）2
8（1
∴f（x）
2
x
3
8（1ξ）2
0，
从而得1
1x，结论成立。
2）方法一：
令f（x）
2x
2
x，则当x
4时，f（x）
f（x）2xln222
f（4）
2
16ln22
22
2（ln42）2
x2
2xln2
x
∴f（x）2xln22x在（4,
）内严格单增，
从而f（x）2xln22xf（4）16ln244（ln16
x2
∴f（x）2xx2在（4,）内严格单增，在（4,
∴2xx2，结论成立。
3
ξ）2
2x，
22
2（lne2）22
1）0，
）内f（x）2xx2
0ξ
0，
f（4）
注：
利用f（x）的符号判断f（x）的单调性，利用f（x）的单调性判断其在某区间上的符号，
f（x）在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。
方法二：
令f（x）xln22lnx，
/211当x4时，f/（x）ln2x2ln22112ln4
120，
x），
从而得出
∴f（x）
xln22lnx在（4,）内严格单增，
∴f（x）
xln22lnxf（4）4ln22ln4
0，从而有，xln22lnx，
xln2∴e
2lnxx2
e
，即2x，结论成立。
3）令f（x）
（1x）ln（1x）arctanx，
则当x0时有
f（x）ln（1x）1120（仅在x0时，f（x）0），
1x
∴f（x）在［0,
）上严格单增，从而有f（x）f（0）0，
即（1x）ln（1x）arctanx，结论成立
π22
4）令g（x）tanxx，则当0x时，有g（x）secx1tanx0
sin00，即x0是方程的一个根；
思路：
利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。
解：
易知，
令f（x）xsinx，则f（x）1cosx0（仅在x2kπ（kZ）处f（x）0），
∴f（x）xsinx在（,）内严格单增，从而f（x）只有一个零点，
即方程sinxx只有一个实根。
★★6.单调函数的导函数是否必为单调函数？
研究例子：
f（x）xsinx。
知识点：
导数的应用。
思路：
利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。
解：
单调函数的导函数不一定为单调函数。
）上不单调。
思路：
利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。
解：
（1）
∴y
2）
12
y12，y2，∵当x0时，y0
xx
1在［0,）上为凹函数，没有拐点。
x
xx2x1
的定义域为（,1）（
1,1）（1,
）；
1x2，
22，
（x21）2
2
2x（x23）
23
（x1）
0，得x
0；
当x
1或0x
1时，
y0；当
1x
0或x1时，y0；
∴y
的凹区间为（1,0）、
（1,），
凸区间为（,1）、（0,1）；∴拐点为（0,0）。
3）
yxarctanx的定义域为（
），y
arctanxx2，
1x2
（12x2）20，
（1x2）2
∴y
xarctanx在整个定义域上为凹函数，
没有拐点。
4）
y（x1）
x
ex的定义域为（
），y4（x1）3ex，
12（x1）2
ex0，∴y（x
1）4
在整个定义域上为凹函数，
没有拐点。
5）
yln（x2
1）的定义域为（
），
2x2（1
1x2，y
x2），（1x2）2，
令y
x
（,1）
1
（1,1）
1
（1,）
f（x）
－
0
0
－
f（x）
1）、（1,
0，得x1,21；列表讨论如下：
2
由上表可知，yln（x21）的凸区间为（
），凹区间为（1,1），拐点为（1,ln2）
及（1,ln2）。
arctanx
yearctanx的定义域为（
），
arctanx
e
y2，
1x
arcanx
e（12x）
22，
（1x2）2
令y
0，得x1；当x1时，y
22
0；当x1
2
时，
∴y
1arctanx111arctan
earctanx的凹区间为（,]，凸区间为[,），拐点为（,e2）。
222
★★★8.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
知识点：
函数凹凸性的概念。
思路：
利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线性组合时可考虑利用函数的凹凸性。
x
（,1）
1
（1,23）
23
（23,23）
23
（23,）
f（x）
0
0
0
f（x）
令y
0，得x11，x2,323；现列表讨论如下：
由上表可知，拐点为（1,1）、（23,13）、（23,13）。
843843
2
bx2的拐点？
高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。
3
★★10.问a及b为何值时，点（1,3）为曲线yax3
知识点：
导数的应用。
思路：
拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点。
又
知识点：
导数的几何意义及导数的应用。
思路：
利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知条件，建立方程组，确定函数中的待定参数。
f（x0）0，
f（x）f（x0）f（x）
f（x0）lim
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