泰勒公式与导数的应用.docx

1、泰勒公式与导数的应用泰勒公式与导数的应用名称主要内容泰勒中值定理：如果 f ( x) 在含有x0 的某个开区间 ( a,b) 内具有 n1阶的导数，则对任一x (a,b) ，有f (x) f (x0 )f/ (x0 )( xx0) f /2(!x0)(xx0)20 2!f (n) (x0)n(x x0) Rn( x)，此公式称为n 阶泰勒公式；n!f (n 1) ( )n1其中 Rn (x)(x x 0)( 介于 x0 于 x 之间)，称为拉格朗日型余项；或泰(n 1)!Rn(x) o( xx0)n ，称为皮亚诺型余项。勒n 阶麦克劳林公式：f (x) f (0)f /(0)x f /(0)x

2、2f (n)(0) xnxRn(x)2!n!公其中 Rn ( x)( n 1)f ( x) n 1 x(01)或 Rn(x) o(xn )。(n 1)!式常用的初等函数的麦克劳林公式： 1)ex 12x xn xo(xn)2!n!352n12) sin x xxx(nx2n 2)1)o( x3! 5!(2n1)!2462n3) cos x 1xxxnx 2n1)( 1) no(x2n2! 4! 6!(2n)!23xx x( 1)n xn14) ln(1 x)n1o(xn1)23n15) 11x 12x x xno(xn)1xm6) (1 x)m(m1 mx1)2m( m 1) ( mn 1)

3、nn)xn!x o( x2!巩固练习1.按(x 1)的幂展开多项式 f (x) x4 3x2 4。知识点 ：泰勒公式。思路：直接展开法。求 f (x) 按(x x0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式，则依次求 f ( x) 直到 n 1 阶的导 数在 x x0 处的值，然后带代入公式即可解： f (x) 4x3 6x ，f (1) 10 ； f (x) 12x2 6， f (1) 18；将以上结果代入泰勒公式，得介于 x与 4之间)知识点 ：麦克劳林公式。思路：间接展开法。 f(x) 为有理分式时通常利用已知的结论11x1 x x2xn o(xn )。解： f ( x)21 x x21 x x21

4、 x x 2 x21 x x2x1 x x22x(1x)11 2x(1 x)(1 x3 o(x3) 1 2x 2x2 2x4 o( x4 ) ；3 f (0)又由泰勒公式知 x3前的系数 0，从而 f (0) 0 。3!4.求函数 f (x) ln x 按(x 2) 的幂展开的带有皮亚诺型余项的 n阶泰勒公式。知识点 ：泰勒公式。思路 ：直接展开法，解法同 1；或者间接展开法，f ( x) 为对数函数时，通常利用已知的结论n1 nx ( 1)n no(xn 1) 。方法一 ：(直接展开)f (x)1， f (2)x1 x4 将以上结果代入泰勒公式，得f (x) 23 ， f (2),f (n)

5、 (x)1； f ( x) 2 ， f (2)x1 (n 1)!1)n， f (n) (2)ln x f (2)f (2)1!(x 2)f 2(!2) (x2!2)2f (2) (x(4)3!2)3(2)4!f (n)(2) ( xn!2)no(x2)n)ln 212(x2)123(x2)2( 1)11(x2)n o( x2)n)。方法f (x)lnln( 2 x2) ln 2 ln(1x2x22)ln22)31)n(xx221 (n 1)!2n2)4 L(x2)31(x321 3 (x 2)33 231)n11n(xn( 1)n2 2)n o(x 2 2)n)11 n (x 2)n o( x

6、 n 2nln212(x2)1213 ( x2322)22)22)n)。5.求函数 f(x)思路：直接展开法，解法同1； 或 者间接展开 法，f (x) 为有理分式时通常利用已知的结 论11x1 x x2(11)n 2xn 1方法： f (x)1)1；f ( x)1) 2 ； f (x)f ( 1) 6(n)(x)1)nn!n1 x(n)(1)( 1)nn!n 1 n! ；( 1) n 1将以上结果代入泰勒公式，得1f ( 1) f ( 1)1!(x 1)f ( 1)(x2!1)2f 3(! 1)(x1)3方法( n) ( n!1)(x1)( 1) nn21(x 6.求函数 y1)n(x(n1

7、)1()!)(x(n1)2(x 1)31 (x 1)1) n 1 11 ( x(x 1)介于 x 与 1之间)。1)n1)(x(x1)n( 1) nn21(x1)介于 x 与 1之间)。(x1)21)2(x1)3(x1)n(x1)3(x1)n( 1n)n2 1 (x 1)n 1xxe 的带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林展开式。知识点 ：麦克劳林公式。思路 ：直接展开法，解法同 1 ；间接展开法。f (x) 中含有 ex 时，通常利用已知结论2!n! o(xn) 。方法一 ： y(x1)ex ， y (0) 1； y(x 2)ex， y (0) 2；,y(n)(x n)ex ，y(n)(0) n

8、 ，将以上结果代入麦克劳林公式，x xef (0)f (0) x f (0) x1!2!x3方法2!xex(1(n1)!2!( n 1)!o( xn ) 。 7.验证当x 12 时，按公式x2f (0) x33!o( xn ) 。n1x(n1)!o(xn0.01，并求 e 的近似值，使误差小于 0.01f (n) (0) n x n!1 ) x3x计算 e6o(xn)2!xx 的近似值时，所产生的误差小于知识点 ：泰勒公式的应用。思路 ：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围8.用泰勒公式取 n 5，求 ln1.2 的近似值，并估计其误差。知识点 ：泰勒公式的应用1) lim (3

9、x3 3x x2 x ) ；x1 1 x 2 1 x2 lxim0 (cos x ex )sin x2知识点 ：泰勒展开式的应用。思路 ：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。lim22xmi 10.设 x 0 ，证明： xln( 1 x)知识点 ：泰勒公式。思路 ：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展 开的一部分时，可考虑用泰勒公式。也可用3.4 函数单调性的判定定理证明之)11.证明函数 f(x) 是n次多项式的充要条件是 f (n 1)(x) 0。知识点 ：麦克劳林公式。思路 ：将 f (x )

10、 按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。0。解：必要性。易知，若 f (x) 是n次多项式，则有 f (n 1)(x)证明在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f (n)() 0(a b) 。知识点 ：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。(n 1)(x)在a,b 上满足思路：证明 f (n) () 0(a b) ，可连续使用拉格朗日中值定理，验证罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据 f ( x) 在 x b 处的泰勒展开式及已知条件得结论。方法一 ： f (x) 在a,b 上可导，且 f (a) f (b) ，由罗尔中值定理知，在 (a,b) 内至少存在一点 1，使得 f (1) 0

11、 ； f (x)在1,b a,b 上可导，且 f (b) 0，由罗尔中值定理知，在 (1,b) (a,b) 内至少存在一点 2，使得 f (2) 0 ； 依次类推可知， f (n 1) (x)在n 1,b a,b上可导，且 f (n 1)(n 1) f (n 1)(b) 0，由罗尔中值定理知，在 (n 1,b) (a,b) 内至少存在一点 ，使得 f (n) () 0方法二 ：根据已知条件，f ( x) 在 x b 处的泰勒展开式为：f (b) 2f(n 1)(b) n1f (n) ()f (x)f (b) f (b)( xb)( x b)2 L(x b)n 1( x b)2!(n 1)!n!

12、f (n) () n( x b) n (xb)，n! f (a)f (n)() (a(ab)n0，从而得 f (n) () 0，结论成立。n!内容概要名称主要内容函数单调性的判别法：设 y(1)若在 (a,b) 内 f (x)(2)若在 (a,b) 内 f (x)f (x)在a,b上连续，在 (a,b) 内可导，则0 ，则 y0 ，则 yf (x)在a,b 上单调增加；f (x)在a,b 上单调减少。函数的1) 曲线凹凸性的概念：设f ( x) 在区间I 内连续，如果对 I 上任意两点 x1 , x2 ，恒有单调性x1 x2 f (x1 )f (x2 )与曲线f ( 1 2) 12 ，则称f

13、( x) 在 I 上的图形是凹的；如果恒有的凹凸22性x1 x2 f (x1 )f (x2 )f ( 1 2) 122，则称f ( x) 在 I 上的图形是凸的。2)拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。曲线凹凸性的判别法：设 f (x)在a,b 上连续，在 (a,b)内具有一阶和二阶导数，则(1)若在 (a,b) 内 f (x)0 ，则 yf (x)在a,b 上的图形是凹的；(2)若在 (a,b) 内 f (x)0 ，则 yf (x)在a,b 上的图形是凸的。巩固练习21.证明函数 y x ln(1 x2 ) 单调增加知识点 ：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单

14、调性是常用的方法。 在某个区间 I 上， f (x) 0( f (x) 0)，则 f ( x ) 在 I 单调增加(减少)证明：2x (1 x)2 y 1 2 2 0(仅在 x 1处 y 0 )，1 x 1 xy2x ln(1 x) 在( , ) 内是单调增加的。2.判定函数 f (x) x sin x(0 x 2) 的单调性。f (x) x sin x(0 x 2) 是单调增加的知识点 ：导数的应用。思路 ：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域 划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨 论，

15、使得思路更清晰一些。解：( 1) y1 3 2x3 x 2 3x 1的定义域为 (2) ；令 y x2 2x 3 0 ，得 x1 1， x2 3 。列表讨论如下：x( , 1)1( 1,3)3(3, )f (x)00f(x)1 3 2由上表可知， y x3 x2 3x 1在( , 1)、(3, )内严格单增， 而在( 1,3)内严格单减。8(2) 在(0, )内，令 y 2 2 0，得 x 2；x当 x (0,2)时，有 y 0 ；当 x (2, )时，有 y 0；) 内严格单减。8y 2x (x 0) 在(0,2)内严格单增，在 (2,x2 3 23) y x 3 x 2 的定义域为 ( ,

16、 ) ；令 y3得 x 1； x 0 为不可导点。列表讨论如下：x( ,0)0(0,1)1(1, )f ( x)00f ( x) 内严格单增，而在 (0,1) 内严格单减。2 3 223x 3 x2 在( ,0)、(1,由上表可知， y4)y ln( x1 x2 ) 的定义域为 ()，1 x1x1x2 (1 1 x2) 1 x20，yln(x1 x2) 在 () 内严格单增。5)(1x) x的定义域为 0, )， y(x3x2)32 x 0 ，y(1x)x在0, ) 上严格单增。6)22x2 ln x 的定义域为 (0, ) ，令 y4x4x21 0 ，得当x(0,1)时， y 0；当 x (

17、1, )时，220；y2x2 ln x在 (0,1 )内严格单增，在 (1,22) 内严格单减。4.证明下列不等式：1) 当 x 0时， 11x 1 x ； ( 2)当24时， 2xx23)当 x 0 时， (1x)ln(1 x) arctan x ；4) 0 x时， tan x213x3知识点 ：导数的应用或者泰勒公式的应用。第 10 题)，利用函数单调性也是证明不等式常用的思路 ：利用泰勒公式可以证明一些不等式(见习题 3-3 方法。解：( 1)方法一 ：令 f (x)12x 1 x ，1则当 x 0时， f (x) 121121(1 11 x) 0， f (x) 1 1 x 1 x 在0

18、, )上严格单增；从而 f (x) f(0) 0，2即1 x 1 x ，结论成立。2 方法 二：由泰勒公式，得f (x)1 12 x 1(12x2 3 )38(1 ) 28(1 f ( x)2x38(1 ) 20，从而得 11 x ，结论成立。2)方法一 ：令 f ( x)2x2x ，则当 x4 时， f ( x)f (x) 2x ln2 2 2f (4)216ln 2 2222 (ln 42 )2x22 x ln 2x f (x) 2xln2 2x在(4,) 内严格单增，从而 f (x) 2xln2 2x f (4) 16ln 2 4 4(ln16x2 f (x) 2x x2在 (4, )内

19、严格单增，在 (4, 2x x2 ，结论成立。3)22x，222 (ln e2) 2 21) 0 ，) 内 f (x) 2 x x200，f (4)注：利用 f ( x)的符号判断 f ( x)的单调性， 利用 f ( x)的单调性判断其在某区间上的符号，f (x) 在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。方法二 ：令 f(x) xln2 2ln x，/ 2 1 1 当 x 4时， f /(x) ln2 x2 ln2 21 12ln412 0，x )，从而得出 f ( x)xln 2 2ln x在 (4, )内严格单增， f (x)xln 2 2ln x f(4) 4ln2 2ln 40 ，从

20、而有， xln2 2ln x ，x ln 2 e2 ln x x 2e，即 2 x ，结论成立。3)令 f ( x)(1 x) ln(1 x ) arctan x ，则当 x 0 时有f (x) ln(1 x) 1 1 2 0 (仅在 x 0时， f (x) 0)，1x f (x) 在0,) 上严格单增，从而有 f (x) f (0) 0 ，即 (1 x)ln(1 x) arctan x ，结论成立 2 24)令 g(x) tanx x，则当 0 x 时，有 g(x) sec x 1 tan x 0sin 0 0 ，即 x 0是方程的一个根；思路 ：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程

21、的根是常用的方法。 解：易知，令 f (x) x sin x，则 f (x) 1 cosx 0 (仅在 x 2k(k Z)处 f (x) 0)， f (x) x sin x在( , )内严格单增，从而 f (x) 只有一个零点，即方程 sin x x 只有一个实根。6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子： f (x) x sin x 。知识点 ：导数的应用。思路 ：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。解：单调函数的导函数不一定为单调函数。) 上不单调。思路 ：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将 定义域划分成若干个区间，然后在每个

22、区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可 列表讨论，使得思路更清晰一些。解：(1)y2)12y 1 2 ， y 2 ，当 x 0 时， y 0xx1 在0, ) 上为凹函数，没有拐点。xx x2 x1的定义域为 ( , 1) (1,1) (1,)；1 x2 ，2 2 ，(x2 1)222x(x 2 3)23( x 1)0 ，得 x0；当x1或 0 x1时，y 0 ；当1x0或 x 1时， y 0；y的凹区间为 ( 1,0) 、(1, ) ，凸区间为 ( , 1) 、 (0,1) ； 拐点为 (0,0) 。3)y xarctan x 的定义域为 ()，yarctan x x 2

23、 ，1 x2(1 2x2)2 0 ，(1 x2 )2yx arctanx 在整个定义域上为凹函数，没有拐点。4)y ( x 1)xe x 的定义域为 ()， y 4(x 1)3 ex，12( x 1)2ex 0 ， y (x1)4在整个定义域上为凹函数，没有拐点。5)y ln( x 21) 的定义域为 ()，2 x 2(11 x2 ， yx2)， (1 x2 )2 ，令yx( , 1)1( 1,1)1(1, )f ( x)00f ( x), 1) 、 (1,0 ，得 x1,2 1； 列表讨论如下：2由上表可知， y ln(x2 1) 的凸区间为 () ，凹区间为 ( 1,1) ，拐点为 ( 1

24、,ln 2)及 (1,ln 2) 。arctan xy earctan x 的定义域为 ()，arctan xey 2 ，1xarcanxe (1 2 x)2 2 ，(1 x2 )2令y0 ，得 x 1 ；当 x 1 时， y220 ；当 x 12时，y1 arctan x 1 1 1 arctanearctan x 的凹区间为 ( , ，凸区间为 , )，拐点为 ( ,e 2 ) 。2 2 2 8.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：知识点 ：函数凹凸性的概念。思路 ：利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线 性组合时可考虑利用函数的凹凸性。x(

25、, 1)1( 1,2 3)23(2 3,2 3)23(2 3, )f (x)000f ( x)令y0 ，得 x1 1 ， x2,3 23 ；现列表讨论如下：由上表可知，拐点为 ( 1, 1)、(2 3, 1 3 )、(2 3,1 3 )。8 4 3 8 4 32bx2 的拐点？高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。310.问a 及b为何值时，点 (1,3)为曲线 y ax3知识点 ：导数的应用。思路 ：拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点。又知识点 ：导数的几何意义及导数的应用。思路 ：利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知 条件，建立方程组，确定函数中的待定参数。f (x0) 0 ，f (x) f (x0) f ( x)f ( x0 ) lim