初一数学竞赛系列讲座16逻辑原理.docx
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初一数学竞赛系列讲座16逻辑原理
初一数学竞赛系列讲座（16）
逻辑原理
一、知识要点
逻辑原理问题，并不需要多少特别专门的知识，关键在于审题，要认真仔细地分析题意，弄清楚各个量之间的关系，深刻理解每句话的含义．
二、例题精讲
例1小明、小强、小华三人参加迎春杯赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖．现在知道：
（1）小明不是金城的选手；
（2）小强不是沙市的选手；
（3）金城的选手不是一等奖；
（4）沙市的选手得二等奖；
（5）小强不是三等奖．
根据上述情况，小华是的选手，他得的是等奖．（第三届迎春杯决赛试题）
分析：
显然选手所在城市与选手获奖情况有联系，我们就从这里找突破口，搞清了各个城市的选手分别获得哪等奖，问题就解决了．
解：
由（4）知：
金城的选手获一等奖或三等奖，又由（3）得金城的选手获三等奖，从而水乡的选手获一等奖．
由
（2）知：
小强是金城或水乡的选手，又由（5）得小强是水乡的选手，
由
（1）得小明是沙市的选手，从而小华是金城的选手，他获三等奖．
例2教室里的椅子坏了，第二天上学时，老师发现椅子修好了．经了解，椅子是A、B、C三人中的一个人修好的，老师找来这三人．
A说：
“是B做的．”
B说：
“不是我做的．”
C说：
“不是我做的．”
经调查，三人中只有一个说了实话，椅子是谁修的呢？
分析：
因为三人中只有一个说了实话，所以可以假设椅子是某人修好的，看结论是否符合“三人中只有一个说了实话”这一条件．
解：
（1）假设椅子是A修好的，那么A说的是假话，B、C说的都是实话．这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的．
（2）假设椅子是B修好的，那么B说的是假话，A、C说的都是实话．这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的．
（3）假设椅子是C修好的，那么A、C说的是假话，B说的是实话，符合“三人中只有一个说了实话”这一条件，所以椅子是C修好的．
评注：
本题运用先假设，再根据假设推出一个结论；如果结论与已知条件相矛盾，说明假设不成立；如果结论符合已知条件，说明假设正确．这种假设的方法是逻辑推理中经常使用．
例3赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是个体户，根据以下条件，判断这四人的职业．
（1）赵、钱是邻居，每天一起骑车上班；
（2）赵年龄比孙大；
（3）赵在教李打太极拳；
（4）教师每天步行上班；
（5）售货员的邻居不是个体户；
（6）个体户和工人互不认识；
（7）个体户比售货员和工人年龄都大．
解：
由（4）和
（1）可知，赵、钱不是教师．由
（2）和（7）知，孙不是个体户．因为假设孙是个体户，则由
（2）和（7）知，赵不是售货员，不是工人；由（4）和
（1）可知，赵也不是教师；这样赵也是个体户，与假设矛盾．于是我们可得出下表：
售货员
工人
教师
个体户
赵
钱
孙
李
假设赵是工人，个体户是钱或李，由（6）可知，赵与钱或李应互不认识，这与
（1）、（3）相矛盾，这样可知赵不是工人．
又假设赵是个体户，由
（1）、（3）、（6）可知，孙是工人，钱是售货员，但又与（5）矛盾，所以赵是售货员．这样又可得出下表：
售货员
工人
教师
个体户
赵
√
钱
孙
李
根据
（1）、（5）继续分析，把上面的表格填满，可得：
钱不是个体户，则钱是工人；则孙不是工人，孙是教师，最后得李是个体户．如下表：
售货员
工人
教师
个体户
赵
√
钱
√
孙
√
李
√
最后得：
赵是售货员，钱是工人，孙是教师，李是个体户．
评注：
分析逻辑推理问题，借助表格，能使已知条件和推出的有用结论一目了然．在填表时通常把正确的结论打“√”，错误的打“”．这样可以确保推理的速度和正确性，而且不易被错误信息干扰．
例4今有棋子100颗，甲、乙两人做取棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次取p颗，p为1或20以内的任一质数，不能不取．谁最后取完谁为胜者．问甲、乙两人谁有必胜的策略．
解：
乙有必胜的策略．
由于p为1或20以内的任一质数，所以p或者是2，或者可以表示为4k+1或4k+3（k为0或正整数）形式，乙可以采取如下的策略：
若甲取2颗，则乙也取2颗；
若甲取4k+1颗，则乙取3颗；
若甲取4k+3颗，则乙取1颗；
这样，每次甲、乙两人取走的棋子之和都是4的倍数．由于100是4的倍数，因此余下的棋子数必定还是4的倍数．从而经过若干回合后，剩下的棋子数必定为不超过20的4的倍数．因为p不是4的倍数，所以这时甲不能取走全部的棋子，从而最终乙可以取走全部的棋子．
评注：
本题中，甲虽然先取，但他没有必胜的策略．而乙虽然后取，但他能根据甲的取法，应对有序，后发制人，最终取胜．由此看出，谁能取得最后胜利，一要看他所面临的情形，二要看他采用的策略，两者缺一不可．
例5有三堆小石子．每次操作从每堆中取走同样数目的小石子（不同次操作，取走的小石子数目可以不同），或将其中任一堆（如果其小石子数是偶数）的一半小石子移到另一堆上．开始时，第一堆有小石子1989块，第二堆有小石子989块，第三堆有小石子89块．能否使
（1）某两堆小石子一个不剩？
（2）三堆小石子都一个不剩？
（第十五届全俄数学奥林匹克试题）
分析：
（1）很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同，因而首先三堆各取89块，这样剩下的石子数是：
1900、900、0，接下来将第二堆移450块到第三堆，石子数变为：
1900、450、450，再接下来三堆各取走450块就可以了．
（2）发现最初三堆的石子数的和是：
1989+989+89=3067，它不被3整除．而题目中的两种操作方法不改变这个特征，因而可得出结论．
解：
（1）可以使某两堆小石子一个不剩．只要按如下步骤取即可．
（1989，989，89）（1900，900，0）（1900，450，450）（1450，0，0）
（2）最初三堆石子的总数是1989+989+89=3067，它不能被3整除．
而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被3除所得的余数不变，所以不管进行几次操作，三堆石子的总数被3除所得的余数都不为0，即不可能将三堆石子都取光．
评注：
本题第二步中，抓住了三堆石子的总数被3除所得的余数不变这个特征，从而使问题得到顺利解决．因而解题时应认真分析，抓住关键．
例6人的血型通常为A型、B型、O型、AB型．子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：
父母的血型子女可能的血型
O、OO
O、AA、O
O、BB、O
O、ABA、B
A、AA、O
A、BA、B、AB、O
A、ABA、B、AB
B、BB、O
B、ABA、B、AB
AB、ABA、B、AB
现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O、A、B．每个孩子的父母都戴着同样颜色的帽子，颜色也分别为红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为AB、A、O．问穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？
（第五届华杯赛复赛试题）
分析：
因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，这样血型表只需保留一、五、八、十这4行．又由于三种颜色的帽子分别表示AB、A、O三种血型，所以第八行也可划去．这样血型表就比原来简单多了，再讨论这个简表就不难得出血型间的关系，从而再得出题目结论．
解：
因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，根据血型表，只有O、O，A、A，B、B，AB、AB符合条件．
又因为父母都戴着红、黄、蓝三种颜色的帽子，而三种颜色依次表示所具有的血型为AB、A、O，所以符合条件的只有O、O，A、A，AB、AB．因而，可以得出下面的简表：
父母的血型子女可能的血型
O、OO
A、AA、O
AB、ABA、B、AB
从上面的简表可以看出父母的血型为O的，孩子血型一定为O，即穿红上衣的孩子，父母戴蓝帽子．
划去简表的第一行及子女血型中的O，又三个孩子中没有AB血型，所以子女血型中的AB也可划去，这样只剩第二行．
由第二行，父母的血型为A的，子女的血型一定为A，即穿黄上衣的孩子，父母戴黄帽子．
最后，穿蓝上衣的孩子，父母戴红帽子．
评注：
1、本题先将问题简化，再从最简单的情况入手，把结果能确定下来的先确定下来，然后再继续讨论，结果不能确定下来的，就分情况讨论，这种方法叫枚举法．枚举法在逻辑推理中常用．
2、上面的解法是从父母的血型出发分析，从而确定孩子的血型，本题也可从孩子的血型出发分析来确定父母的血型．
例7在某市举行的一次乒乓球比赛中,有6名选手参赛,其中专业选手与业余选手各3名.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见,用以下方法计分：
开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分,负者扣分：
每胜专业选手一场的加2分,每胜业余选手一场的加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．现问：
一位业余选手至少要胜几场才能保证他必定进入前三名？
（第六届华杯赛复赛试题）
分析：
6名选手进行单循环比赛，每名选手共进行5场比赛，显然1名业余选手只胜1场不能进入前三名，5场全胜肯定能进入前三名，因而我们只需讨论1名业余选手胜二场、胜三场和胜四场三种情况，看是否能保证他必定进入前三名．
解：
设业余选手为A、B、C，专业选手为D、E、F．
（一）、如果A只胜两场，有三种情况：
（1）A胜两名专业选手，不妨为D、E．
在B、C、F都胜D、E，而且F胜B、C时，B、C、F的分数都比A高，因此A不能进入前三名．
（2）A胜一名专业选手，一名业余选手，不妨为D、B
在E、F、C都胜D、B，而且E、F都胜C时，E、F、C的分数都比A高，因此A不能进入前三名．
（3）A胜两名业余选手B、C
在D、E、F都胜B、C，而且D胜E，E胜F，F胜D时，D、E、F的分数都比A高，因此A不能进入前三名．
所以如果A只胜两场，那么他不一定能进入前三名．
（二）、如果A恰好胜三场，情况比刚才要复杂．
（1）A胜D、E、F．这时A比底分10分增加23-2＝4分，其中又分两种情况：
如果有一名专业选手，比如D，胜其他四人，则D比底分10增加22+21-2＝4分，刚好与A的得分相同．从而E、F的得分均低于A，B、C两人即使都胜E、F，他俩比底分10增加22+1-1+1＝5分与22+1-1-1=3分，从而A必定进入前三名．
如果每一名专业选手均未全胜其他四人，那么他们的得分都低于A，A必定进入前三名．
（2）A胜两名专业选手，如D、E，及一名业余选手，如B．这时A比底分10分增加22+1-1-1=3分，其中又分多种情况．
如果F恰好胜B、C中的一个，那么在F胜D、E时，F的得分比底分增加4分，名次在A之上．假设同时B、C也都胜D、E，并且B胜F，C胜B，那么B的得分比底分增加4分，C的得分比底分增加5分，因此C、B、F的排名均在A前，即A胜3场并不能保证他进入前三名．
因为前面已得到A胜3场并不能保证他进入前三名，所以A胜3场的其他情况就不需要再讨论．
（三）、如果A胜4场，分两种情况讨论．
（1）A仅负于一名专业选手，比如D，这时A比底分增加5分，而专业选手E、F由于被A击败，每人至多比底分增加4分，名次均在A后面．同时B、C中至少有一人（B、C之间的失败者），负的场数多于A，从而名次在A后面．所以A必定进入前三名．
（2）A仅负于一名业余选手，比如B，按
（1）中所说的理由，D、E、F的名次均在A后面，所以A必定进入前三名．
所以，如果A胜4场，A必定进入前三名．
综上所述，一名业余选手至少要胜4场才能保证他必定进入前三名．
评注：
本题也采用了枚举法，可见枚举法是逻辑推理问题中最常用的一种方法．枚举一定要耐心、仔细．
例8袋内有100只球，其中红球28只、绿球20只、黄球12只、蓝球20只、白球10只、黑球10只．任意从袋内摸球，要使一次摸出的球中，一定有15只同色的球，那么，从袋内摸出的球的只数至少应是多少？
分析：
如果运气好的话，一下子从袋中摸出的15只球中都是红球，或都是绿球，或都是蓝球，问题就解决了．但是，运气不是一直这样好的，所以要一定有15只同色的球，必须从“最坏”处考虑．
解：
从运气“最坏”处考虑．若一开始12只黄球、10只白球、10只黑球全摸上了，此时已摸出32只球，但15只同色的球也没摸到．
接下来，又摸出14只红球、14只绿球、14只蓝球，但还是没摸到15只同色的球，此时已摸出32+143=74只球．
接下来再摸出任意一只，就可摸到15只同色的球，这样从袋内摸出的球的只数至少应是74+1=75只．
评注：
本题应用了数学中的极端原理，也就是从问题“最坏”的情况来分析．
例9在黑板上写上三个整数，然后将其中一个擦去，换上其他两数的和与1的差，将这个过程重复若干次后得到17，1983，1999.问一开始黑板上写出的是哪三个数？
分析：
按照操作规则，三个整数中擦去一个，换上其他两数的和与1的差，若擦去的是三个整数中的较大者，那么这三个整数越来越小，若擦去的是三个整数中的较小者，那么这三个整数越来越大．现在经过若干次操作后，结果是17，1983，1999，显然我们要寻找最初最小的三个整数，因而，要擦去的是三个整数中的较大者．
因为题目告诉我们的是最后的结果，所以我们要往前推，寻找擦数的规律．
解：
按照题意，要擦去的是三个整数中的较大者．
因为现在的结果是17，1983，1999，由于1999=1983+17-1，所以前三数中最大的是1983，即为（17，x，1983）．根据规则，有1983=x+17-1，∴x=1967
所以又知再前面的三数中最大的是1967，即（17，y，1967），
又根据规则，有1967=y+17-1∴y=1951．
这样，最大的数渐渐变小，直到出现比17还小．接下来，寻找擦数的规律．
设某次操作中的一组数为（a，b，c），且0擦去c，则有（a，d，b），此时b=a+d-1
这样，经过一次变换后，得c=a+b-1=a-1+a+d-1=d+2（a-1）
经过二次变换后，可得c=e+3（a-1），经过k+1次变换后，可得c=p+k（a-1），
这说明变换的次数与最大数c及最小数a有关．
∵1999=31+12316=31+123（17-1），1983=15+12316=15+123（17-1），
说明经过124次变换后199931，198315．从而可知（17，1983，1999）是由
（17，15，31）经过124次变换后得来的．
现在只要考虑（17，15，31）是怎么样变换得来的．
（17，15，31）（3，15，17）（3，13，15）（3,11,13）（3,9,11）（3,7,9）（3,5,7）（3,3,5）（3,3,3）,则一开始黑板上写的三个数是3,3,3
评注：
本题是从最后状况去探索初始状况的逻辑推理问题，这是一种逆向思维的方法，关键是找出逆向的规律．
三、巩固练习
一、选择题
1、某学生在暑假期间观察了x天的天气情况，其结果是：
（1）共有7天上午是晴天；
（2）共有5天下午是晴天；（3）下午下雨的那天，上午是晴天；
（2）共下了8次雨，在上午或下午，则x等于（）
A、9B、8C、10D、12
2、某中学初一年级有13个课外兴趣小组，各组人数如下：
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
人数
2
3
6
7
9
10
11
14
13
17
21
22
24
一天下午，学校同时举办语文、数学两个讲座．已知12个小组去听讲座，其中，听语文讲座的人数是听数学讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是（）
A、第4组B、第7组C、第9组D、第12组
3、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲第一个写，那么，甲写数字（）时有必胜策略．
A、10B、9C、8D、6
4、有A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛一盘，比赛过程中间统计比赛的盘数知A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，那么同学E赛了（）盘
A、1B、2C、3D、4
5、甲、乙、丙三个人每次从写有整数m、n、k（0A、必是甲B、必是乙C、必是丙D、或甲或乙
6、体育馆内正在进行一场乒乓球双打比赛，观众议论双方运动员甲、乙、丙、丁的年龄：
（1）“乙比甲的年龄大”；
（2）“甲比他的伙伴的年龄大”；（3）“丙比他的两个对手的年龄都大”；（4）“甲与乙的年龄差距比乙与丙的年龄差距更大些”．
根据这些议论，甲、乙、丙、丁的年龄从大到小的顺序是（）
A、甲、丙、乙、丁B、丙、乙、甲、丁
C、乙、甲、丁、丙D、乙、丙、甲、丁
二、填空题
7、甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课．
（1）甲上课全用汉语；
（2）外语老师是一个学生的哥哥；（3）丙是一个女的，比数学老师年轻．则甲上课，乙上课，丙上课．
8、某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁．最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，那么最大的男孩是岁．
9、甲、乙两人在说李伟和江海的职业．甲说：
“李伟是演员，江海是教师．”乙说：
“两人之中一个是演员，另一个是教师．”已知甲、乙两人中一个说真话，另一个说假话，则李伟是，江海是．
10、7个男生和7个女生一起跳舞，规定男生不和男生跳舞，女生不和女生跳舞，跳舞结束后，各人记得自己跳舞的次数分别为：
3，3，3，3，3，5，6，6，6，6，6，6，9，9，则其中有人记错吗？
．
11、某参观团根据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：
（1）若去A地，也必须去B地；
（2）D、E两地至少去一地；（3）B、C两地只去一地；（4）C、D两地都去或都不去；（5）若去E地，A、D两地也必须去．则该参观团最多能去的地方是．
12、将1、2、3、4、5、6、7、8八个数分成两组，每组4个数，并且两组数之和相等．从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下三数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下三数之和是A组五个数之和的
．则A组是________，B组是．
三、解答题
13、在三个盒子里，一只装有两个红球，一只装有两个白球，还有一只装有一个白球一个红球．现在三个盒子上的标签全贴错了．你能只从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三个盒子里各装的是什么吗？
14、甲、乙、丙在南京、苏州、无锡工作，他们的职业分别是工人、农民和教师．现已知：
（1）甲不在南京工作；
（2）乙不在苏州工作；（3）在苏州工作的是工人；（4）在南京工作的不是教师；（5）乙不是农民．问三人各在什么地方工作？
各是什么职业？
15、在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．
今天甲说：
“昨天是我说谎的日子．”乙说：
“昨天也是我说谎的日子．”问今天是星期几？
16、今有55的方格表，能否在每一格中填入-1、0、1这三个数字中的一个，使得各行数字之和，各列数字之和及主对角线上数字之和，副对角线上数字之和均不相等．
17、有A、B、C3支足球队，每两队都比赛一场．比赛结果是：
A两战两胜，共失球2个；B共进球4个，失球5个；C有一场踢平，共进球2个，失球8个．请写出每场比赛的比分．
18、甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：
先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使pp、q、r分别是哪三个正整数？
为什么？
19、两人做游戏，轮流在99的表中画十字和圈．先开始的人画十字，其对手画圈．所有方格都画满之后，按如下方式计分：
数出这样的行和列的数目，其中十字多于圈，并将该数作为第一个人的得分，再数出其中圈多于十字的行和列的数目，作为第二个人的得分，以得分多的人为胜，试问,第一个人怎样才能取胜？
20、某俱乐部有11个成员，他们的名字分别是A到K．这些人分为两派，一派人总说实话，另一派人总说谎话．某日，老师问：
“11个人里面，总说谎话的有几个人？
”那天，J和K休息，余下的9个人这样回答：
A说：
“有10个人．”
B说：
“有7个人．”
C说：
“有11个人．”
D说：
“有3个人．”
E说：
“有6个人．”
F说：
“有10个人．”
G说：
“有5个人．”
H说：
“有6个人．”
I说：
“有4个人．”
那么，这个俱乐部的11位成员中，总说谎话的有几个人？
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