初一数学竞赛系列讲座16逻辑原理.docx

1、初一数学竞赛系列讲座16逻辑原理初一数学竞赛系列讲座(16)逻辑原理一、 知识要点逻辑原理问题，并不需要多少特别专门的知识，关键在于审题，要认真仔细地分析题意，弄清楚各个量之间的关系，深刻理解每句话的含义二、 例题精讲例1 小明、小强、小华三人参加迎春杯赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖现在知道：(1) 小明不是金城的选手；(2) 小强不是沙市的选手；(3) 金城的选手不是一等奖；(4) 沙市的选手得二等奖；(5) 小强不是三等奖根据上述情况，小华是 的选手，他得的是 等奖(第三届迎春杯决赛试题)分析：显然选手所在城市与选手获奖情况有联系，我们就从这里找突破口，搞清

2、了各个城市的选手分别获得哪等奖，问题就解决了解：由(4)知：金城的选手获一等奖或三等奖，又由(3)得金城的选手获三等奖，从而水乡的选手获一等奖 由(2)知：小强是金城或水乡的选手，又由(5)得小强是水乡的选手， 由(1)得小明是沙市的选手，从而小华是金城的选手，他获三等奖例2 教室里的椅子坏了，第二天上学时，老师发现椅子修好了经了解，椅子是A、B、C三人中的一个人修好的，老师找来这三人 A说：“是B做的” B说：“不是我做的” C说：“不是我做的” 经调查，三人中只有一个说了实话，椅子是谁修的呢？分析：因为三人中只有一个说了实话，所以可以假设椅子是某人修好的，看结论是否符合“三人中只有一个说了

3、实话”这一条件解：(1) 假设椅子是A修好的，那么A说的是假话，B、C说的都是实话这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的(2) 假设椅子是B修好的，那么B说的是假话，A、C说的都是实话这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的(3) 假设椅子是C修好的，那么A、C说的是假话，B说的是实话，符合“三人中只有一个说了实话”这一条件，所以椅子是C修好的评注：本题运用先假设，再根据假设推出一个结论；如果结论与已知条件相矛盾，说明假设不成立；如果结论符合已知条件，说明假设正确这种假设的方法是逻辑推理中经常使用例3 赵、钱

4、、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是个体户，根据以下条件，判断这四人的职业(1) 赵、钱是邻居，每天一起骑车上班；(2) 赵年龄比孙大；(3) 赵在教李打太极拳；(4) 教师每天步行上班；(5) 售货员的邻居不是个体户；(6) 个体户和工人互不认识；(7) 个体户比售货员和工人年龄都大解：由(4)和(1)可知，赵、钱不是教师由(2)和(7)知，孙不是个体户因为假设孙是个体户，则由(2)和(7)知，赵不是售货员，不是工人；由(4)和(1)可知，赵也不是教师；这样赵也是个体户，与假设矛盾于是我们可得出下表：售货员工人教师个体户赵钱孙李 假设赵是工人，个体户是钱或李，由(6)可

5、知，赵与钱或李应互不认识，这与(1)、(3)相矛盾，这样可知赵不是工人又假设赵是个体户，由(1)、(3)、(6)可知，孙是工人，钱是售货员，但又与(5)矛盾，所以赵是售货员这样又可得出下表：售货员工人教师个体户赵钱孙李根据(1)、(5)继续分析，把上面的表格填满，可得：钱不是个体户，则钱是工人；则孙不是工人，孙是教师，最后得李是个体户如下表：售货员工人教师个体户赵钱孙李 最后得：赵是售货员，钱是工人，孙是教师，李是个体户评注：分析逻辑推理问题，借助表格，能使已知条件和推出的有用结论一目了然在填表时通常把正确的结论打“”，错误的打“”这样可以确保推理的速度和正确性，而且不易被错误信息干扰例4今有

6、棋子100颗，甲、乙两人做取棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次取p颗，p为1或20以内的任一质数，不能不取谁最后取完谁为胜者问甲、乙两人谁有必胜的策略解：乙有必胜的策略由于p为1或20以内的任一质数，所以p或者是2，或者可以表示为4 k +1或 4 k +3(k为0或正整数)形式，乙可以采取如下的策略：若甲取2颗，则乙也取2颗；若甲取4 k +1颗，则乙取3颗；若甲取4 k +3颗，则乙取1颗；这样，每次甲、乙两人取走的棋子之和都是4的倍数由于100是4的倍数，因此余下的棋子数必定还是4的倍数从而经过若干回合后，剩下的棋子数必定为不超过20的4的倍数因为p不是4的倍数，所以

7、这时甲不能取走全部的棋子，从而最终乙可以取走全部的棋子评注：本题中，甲虽然先取，但他没有必胜的策略而乙虽然后取，但他能根据甲的取法，应对有序，后发制人，最终取胜由此看出，谁能取得最后胜利，一要看他所面临的情形，二要看他采用的策略，两者缺一不可例5 有三堆小石子每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作，取走的小石子数目可以不同)，或将其中任一堆(如果其小石子数是偶数)的一半小石子移到另一堆上开始时，第一堆有小石子1989块，第二堆有小石子989块，第三堆有小石子89块能否使 (1) 某两堆小石子一个不剩？ (2) 三堆小石子都一个不剩？(第十五届全俄数学奥林匹克试题)分析：(1)很容易发

8、现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同，因而首先三堆各取89块，这样剩下的石子数是：1900、900、0，接下来将第二堆移450块到第三堆，石子数变为：1900、450、450，再接下来三堆各取走450块就可以了 (2) 发现最初三堆的石子数的和是：1989+989+89=3067，它不被3整除而题目中的两种操作方法不改变这个特征，因而可得出结论解：(1) 可以使某两堆小石子一个不剩只要按如下步骤取即可 (1989，989，89) (1900，900，0) (1900，450，450) (1450，0，0)(2) 最初三堆石子的总数是1989+989+89=3067，它不能被3整除 而

9、进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被3除所得的余数不变，所以不管进行几次操作，三堆石子的总数被3除所得的余数都不为0，即不可能将三堆石子都取光评注：本题第二步中，抓住了三堆石子的总数被3除所得的余数不变这个特征，从而使问题得到顺利解决因而解题时应认真分析，抓住关键例6 人的血型通常为A型、B型、O型、AB型子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：父母的血型 子女可能的血型 O、O OO、A A、O O、B B、O O、AB A、B A、A A、O A、B A、B、AB、O A、AB A、B、AB B、B B、O B、AB A、B、AB AB、AB A、B、AB 现有三个分别身穿红、黄、蓝

10、上衣的孩子，他们的血型依次为O、A、B每个孩子的父母都戴着同样颜色的帽子，颜色也分别为红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为AB、A、O问穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？(第五届华杯赛复赛试题)分析：因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，这样血型表只需保留一、五、八、十这4行又由于三种颜色的帽子分别表示AB、A、O三种血型，所以第八行也可划去这样血型表就比原来简单多了，再讨论这个简表就不难得出血型间的关系，从而再得出题目结论解：因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，根据血型表，只有O、O，A、A，B、B，AB、AB符合条件又因为父母都戴着红、黄、蓝三

11、种颜色的帽子，而三种颜色依次表示所具有的血型为AB、A、O，所以符合条件的只有O、O，A、A，AB、AB因而，可以得出下面的简表：父母的血型 子女可能的血型 O、O O A、A A、O AB、AB A、B、AB从上面的简表可以看出父母的血型为O的，孩子血型一定为O，即穿红上衣的孩子，父母戴蓝帽子划去简表的第一行及子女血型中的O，又三个孩子中没有AB血型，所以子女血型中的AB也可划去，这样只剩第二行由第二行，父母的血型为A的，子女的血型一定为A，即穿黄上衣的孩子，父母戴黄帽子最后，穿蓝上衣的孩子，父母戴红帽子评注：1、本题先将问题简化，再从最简单的情况入手，把结果能确定下来的先确定下来，然后再继

12、续讨论，结果不能确定下来的，就分情况讨论，这种方法叫枚举法枚举法在逻辑推理中常用 2、上面的解法是从父母的血型出发分析，从而确定孩子的血型，本题也可从孩子的血型出发分析来确定父母的血型例7 在某市举行的一次乒乓球比赛中,有6名选手参赛,其中专业选手与业余选手各3名.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场为公平起见,用以下方法计分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分,负者扣分：每胜专业选手一场的加2分, 每胜业余选手一场的加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分现问：一位业余选手至少要胜几场才能保证他必定进入前三名？（第六届华杯赛复赛试题）分析：6名

13、选手进行单循环比赛，每名选手共进行5场比赛，显然1名业余选手只胜1场不能进入前三名，5场全胜肯定能进入前三名，因而我们只需讨论1名业余选手胜二场、胜三场和胜四场三种情况，看是否能保证他必定进入前三名解：设业余选手为A、B、C，专业选手为D、E、F (一)、如果A只胜两场，有三种情况： （1）A胜两名专业选手，不妨为D、E 在B、C、F都胜D、E，而且F胜B、C时，B、C、F的分数都比A高，因此A不能进入前三名 （2）A胜一名专业选手，一名业余选手，不妨为D、B 在E、F、C都胜D、B，而且E、F都胜C时，E、F、C的分数都比A高，因此A不能进入前三名 （3）A胜两名业余选手B、C 在D、E、F

14、都胜B、C，而且D胜E，E胜F，F胜D时，D、E、F的分数都比A高，因此A不能进入前三名 所以如果A只胜两场，那么他不一定能进入前三名 (二)、如果A恰好胜三场，情况比刚才要复杂 （1）A胜D、E、F这时A比底分10分增加23-24分，其中又分两种情况： 如果有一名专业选手，比如D，胜其他四人，则D比底分10增加22+21-24分，刚好与A的得分相同从而E、F的得分均低于A，B、C两人即使都胜E、F，他俩比底分10增加22+1-1+15分与22+1-1-1=3分，从而A必定进入前三名 如果每一名专业选手均未全胜其他四人，那么他们的得分都低于A，A必定进入前三名 (2) A胜两名专业选手，如D、

15、E，及一名业余选手，如B这时A比底分10分增加22+1-1-1=3分，其中又分多种情况 如果F恰好胜B、C中的一个，那么在F胜D、E时，F的得分比底分增加4分，名次在A 之上假设同时B、C也都胜D、E，并且B胜F，C胜B，那么B的得分比底分增加4分，C的得分比底分增加5分，因此C、B、F的排名均在A前，即A胜3场并不能保证他进入前三名 因为前面已得到A胜3场并不能保证他进入前三名，所以A胜3场的其他情况就不需要再讨论 (三)、如果A胜4场，分两种情况讨论 (1) A仅负于一名专业选手，比如D，这时A比底分增加5分，而专业选手E、F由于被A 击败，每人至多比底分增加4分，名次均在A 后面同时B、

16、C中至少有一人(B、C之间的失败者)，负的场数多于A，从而名次在A 后面所以A必定进入前三名 (2) A仅负于一名业余选手，比如B，按(1)中所说的理由，D、E、F的名次均在A 后面，所以A必定进入前三名 所以，如果A胜4场，A必定进入前三名 综上所述，一名业余选手至少要胜4场才能保证他必定进入前三名评注：本题也采用了枚举法，可见枚举法是逻辑推理问题中最常用的一种方法枚举一定要耐心、仔细例8 袋内有100只球，其中红球28只、绿球20只、黄球12只、蓝球20只、白球10只、黑球10只任意从袋内摸球，要使一次摸出的球中，一定有15只同色的球，那么，从袋内摸出的球的只数至少应是多少？分析：如果运气

17、好的话，一下子从袋中摸出的15只球中都是红球，或都是绿球，或都是蓝球，问题就解决了但是，运气不是一直这样好的，所以要一定有15只同色的球，必须从“最坏”处考虑解：从运气“最坏”处考虑若一开始12只黄球、10只白球、10只黑球全摸上了，此时已摸出32只球，但15只同色的球也没摸到 接下来，又摸出14只红球、14只绿球、14只蓝球，但还是没摸到15只同色的球，此时已摸出32+143=74只球 接下来再摸出任意一只，就可摸到15只同色的球，这样从袋内摸出的球的只数至少应是74+1=75只评注：本题应用了数学中的极端原理，也就是从问题 “最坏”的情况来分析例9 在黑板上写上三个整数，然后将其中一个擦去

18、，换上其他两数的和与1的差，将这个过程重复若干次后得到17，1983，1999.问一开始黑板上写出的是哪三个数？分析：按照操作规则，三个整数中擦去一个，换上其他两数的和与1的差，若擦去的是三个整数中的较大者，那么这三个整数越来越小，若擦去的是三个整数中的较小者，那么这三个整数越来越大现在经过若干次操作后，结果是17，1983，1999，显然我们要寻找最初最小的三个整数，因而，要擦去的是三个整数中的较大者 因为题目告诉我们的是最后的结果，所以我们要往前推，寻找擦数的规律解：按照题意，要擦去的是三个整数中的较大者 因为现在的结果是17，1983，1999，由于1999=1983+17-1，所以前三

19、数中最大的是1983，即为(17，x，1983)根据规则，有1983=x+17-1，x=1967 所以又知再前面的三数中最大的是1967，即 (17，y，1967)，又根据规则，有1967=y+17-1 y=1951这样，最大的数渐渐变小，直到出现比17还小接下来，寻找擦数的规律 设某次操作中的一组数为(a，b，c)，且0abc，则c=a+b-1，擦去c，则有(a，d，b)，此时b=a+d-1这样，经过一次变换后，得c=a+b-1= a-1+ a+d-1=d+2 (a-1)经过二次变换后，可得c=e +3 (a-1)，经过k+1次变换后，可得c=p+k (a-1)，这说明变换的次数与最大数c及

20、最小数a有关 1999=31+12316=31+123(17-1)，1983=15+12316=15+123(17-1)，说明经过124次变换后199931，198315从而可知(17，1983，1999)是由(17，15，31) 经过124次变换后得来的现在只要考虑(17，15，31)是怎么样变换得来的(17，15，31)(3，15，17) (3，13，15)(3,11,13)( 3,9,11)(3,7,9) ( 3,5,7) (3,3,5)(3,3,3),则一开始黑板上写的三个数是3,3,3评注：本题是从最后状况去探索初始状况的逻辑推理问题，这是一种逆向思维的方法，关键是找出逆向的规律三、

21、 巩固练习一、选择题1、某学生在暑假期间观察了x天的天气情况，其结果是：(1)共有7天上午是晴天；(2) 共有5天下午是晴天；(3) 下午下雨的那天，上午是晴天；(2) 共下了8次雨，在上午或下午，则x等于( ) A、9 B、8 C、10 D、122、某中学初一年级有13个课外兴趣小组，各组人数如下： 组别12345678910111213人数236791011141317212224 一天下午，学校同时举办语文、数学两个讲座已知12个小组去听讲座，其中，听语文讲座的人数是听数学讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是( ) A、第4组 B、第7组 C、第9组 D、第12组3、

22、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲第一个写，那么，甲写数字( )时有必胜策略 A、10 B、9 C、8 D、64、有A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛一盘，比赛过程中间统计比赛的盘数知A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，那么同学E赛了( )盘A、1 B、2 C、3 D、45、甲、乙、丙三个人每次从写有整数m、n、k(0mnk)三张卡片中摸出一张，并按卡片上的数字取相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行当它们做了N(N2)次游戏后，甲有20粒石子，乙有10粒石子，丙有9粒

23、石子，并且知道最后一次乙摸的是k，那么第一次游戏时，摸到n的( )A、必是甲 B、必是乙 C、必是丙 D、或甲或乙6、体育馆内正在进行一场乒乓球双打比赛，观众议论双方运动员甲、乙、丙、丁的年龄：(1)“乙比甲的年龄大”；(2)“甲比他的伙伴的年龄大”；(3)“丙比他的两个对手的年龄都大”；(4)“甲与乙的年龄差距比乙与丙的年龄差距更大些”根据这些议论，甲、乙、丙、丁的年龄从大到小的顺序是( )A、甲、丙、乙、丁 B、丙、乙、甲、丁 C、乙、甲、丁、丙 D、乙、丙、甲、丁二、填空题 7、甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课 (1) 甲上课全用汉语；(2) 外语老师是一个学生的哥哥；(3)

24、丙是一个女的，比数学老师年轻则甲上 课，乙上 课，丙上 课8、某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，那么最大的男孩是 岁9、甲、乙两人在说李伟和江海的职业甲说：“李伟是演员，江海是教师”乙说：“两人之中一个是演员，另一个是教师”已知甲、乙两人中一个说真话，另一个说假话，则李伟是 ，江海是 10、7个男生和7个女生一起跳舞，规定男生不和男生跳舞，女生不和女生跳舞，跳舞结束后，各人记得自己跳舞的次数分别为：3，3，3，3，3，5，6，6，6，6，6，6，9，9，则其中有人记错吗？ 11、某参观团根据下列约

25、束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：(1)若去A地，也必须去B地；(2) D、E两地至少去一地；(3) B、C两地只去一地；(4) C、D两地都去或都不去；(5)若去E地，A、D两地也必须去则该参观团最多能去的地方是 12、将1、2、3、4、5、6、7、8八个数分成两组，每组4个数，并且两组数之和相等从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下三数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下三数之和是A组五个数之和的则A组是_，B组是 三、解答题13、在三个盒子里，一只装有两个红球，一只装有两个白球，还有一只装有一个白球一个红球现在三个盒子上的标签全贴错了你能只从一只盒子里

26、拿出一个球来，就确定这三个盒子里各装的是什么吗？14、甲、乙、丙在南京、苏州、无锡工作，他们的职业分别是工人、农民和教师现已知：(1) 甲不在南京工作；(2) 乙不在苏州工作；(3) 在苏州工作的是工人；(4) 在南京工作的不是教师；(5) 乙不是农民问三人各在什么地方工作？各是什么职业？15、在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话 今天甲说：“昨天是我说谎的日子”乙说：“昨天也是我说谎的日子”问今天是星期几？16、今有55的方格表，能否在每一格中填入-1、0、1这三个数字中的一个，使得各行数字之和，各列数字之和及主对角线上数字

27、之和，副对角线上数字之和均不相等17、有A、B、C3支足球队，每两队都比赛一场比赛结果是：A两战两胜，共失球2个；B共进球4个，失球5个；C有一场踢平，共进球2个，失球8个请写出每场比赛的比分18、甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使pqr，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙总共得到10块糖，丙总共得到9块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字之和是18，问：p、q、r分别是哪三个正整数？为什么？19、两人做游戏，轮流在99的表中画十字和

28、圈先开始的人画十字，其对手画圈所有方格都画满之后，按如下方式计分：数出这样的行和列的数目，其中十字多于圈，并将该数作为第一个人的得分，再数出其中圈多于十字的行和列的数目，作为第二个人的得分，以得分多的人为胜，试问,第一个人怎样才能取胜？20、某俱乐部有11个成员，他们的名字分别是A到K这些人分为两派，一派人总说实话，另一派人总说谎话某日，老师问：“11个人里面，总说谎话的有几个人？”那天，J和K休息，余下的9个人这样回答：A说：“有10个人”B说：“有7个人”C说：“有11个人”D说：“有3个人”E说：“有6个人”F说：“有10个人”G说：“有5个人”H说：“有6个人”I说：“有4个人”那么，这个俱乐部的11位成员中，总说谎话的有几个人？