初中正方形的判定专项练习30题.docx

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初中正方形的判定专项练习30题

正方形的判定专项练习30题（有答案）

1．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AEB=2∠EAB，求证：

四边形ABCD是正方形．

2．已知：

如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．

（1）求证：

四边形AECF是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

3．已知：

如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，将△ADE绕点D旋转180°至△BDF．

（1）小明发现四边形BCEF的形状是平行四边形，请你帮他把说理过程补齐．

理由是：

因为△BDF是由△ADE绕点D旋转180°得到的所以△ADE与△BDF全等且点A、D、B在同一条直线上点E、D、F也在同一条直线上．

所以BF=AE，∠F=∠　_________　

可得BF∥　_________　

又因为E是AC的中点，所以EC=AE，

所以BF=　_________　

因此，四边形BCEF是平行四边形（根据　_________　）

（2）小明还发现在原有的△ABC中添加一个条件后，就可以使四边形BFEC成为一种特殊的平行四边形．你也来试试．

你认为添加条件　_________　后，四边形BFEC是　_________　．（友情提示：

我们将根据你所提出问题的难易程度，给予不同的分值．）理由是：

　_________　．

4．如图，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，求证：

四边形EMFN是正方形．

5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于点F．求证：

（1）点F为AC中点；

（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；

（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件？

并证明你的结论．

6．求证：

对角线相等的菱形是正方形．

已知：

四边形ABCD是菱形，且AC=BD（又：

AC，BD互相平分）

求证：

四边形ABCD是正方形．

7．在△ACD中，∠D=90°，∠D的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．

8．已知：

如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．

（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？

试说明理由．

（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？

为什么？

9．如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．

（1）求证：

△BFD≌△CED；

（2）当∠A=90°时，求证：

四边形AFDE是正方形．

10．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．求证：

四边形ABCD是正方形．

11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．

（1）求证：

DE=DF；

（2）若再添加一个条件，即可证得四边形AEDF为正方形，这个条件是　_________　．

12．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：

四边形CFDE是正方形．

13．已知：

如图，在△ABC是，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为EF，求证：

四边形CFDE是正方形．

14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．

（1）试说明△BED≌△CFD；

（2）若∠A=90°，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

15．如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．

（1）说明EO=FO．

（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？

说明你的结论．

（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？

为什么？

16．如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E

（1）求证：

PD=PE；

（2）DE与BC平行吗？

请说明理由；

（3）请添加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．

17．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

（1）求∠ADB的度数；

（2）试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形．

18.证明：

对角线相等的菱形是正方形．

19．已知：

如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．

①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．

②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？

③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．

20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：

四边形DEAF是正方形．

21．如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？

22．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．

求证：

四边形BEDF是正方形．

23．如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．

求证：

四边形EFGH是正方形．

24．已知：

如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．

求证：

四边形CEDF是正方形．

25．如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．

求证：

四边形EFGH是正方形．

26．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？

并说明理由．

27．已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形，并说明理由．

28．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：

四边形ABCD是正方形．

29．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB．

（1）如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是　_________　形；

（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是　_________　形；

（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是　_________　形，证明你的结论（仅需证明第3）题结论）

30．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：

（1）说明四边形ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？

（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？

（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？

（第

（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）

矩形的判定30题参考答案：

1.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

∵△ACE是等边三角形，

∴AE=CE．

∴BE⊥AC．

∴四边形ABCD是菱形．

（2）从上易得：

△AOE是直角三角形，

∴∠AEB+∠EAO=90°

∵△ACE是等边三角形，

∴∠EAO=60°，

∴∠AEB=30°

∵∠AEB=2∠EAB，

∴∠EAB=15°，

∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60°﹣15°=45°．

又∵四边形ABCD是菱形．

∴∠BAD=2∠BAO=90°

∴四边形ABCD是正方形．

2．

（1）证明：

∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，

∴∠ACE+∠ACF=

×180°=90°，

∵AE⊥CE，AF⊥CF，

∴∠AEC=∠AFC=90°，

∴四边形AECF是矩形．

（2）答：

当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，

理由是：

∵∠ACE=

∠ACB=45°，

∵∠AEC=90°，

∴∠EAC=45°=∠ACE，

∴AE=CE，

∵四边形AECF是矩形，

∴四边形AECF是正方形．

3．

（1）故答案为∠AED（1分）；BF∥AC（2分）；EC（3分）；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．

（2）A层次：

（提出问题（1分），说理1分）

添加条件∠C=90°后四边形BFEC为矩形．（5分）

理由：

由

（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．（6分）．

B层次：

（提出问题分，说理1分）

添加条件AC=2BC后四边形BFEC为菱形．

理由：

由

（1）得四边形BFEC为平行四边形又知AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，即一组邻边相等的平行四边形是菱形．

C层次：

（提出问题（3分），说理3分）

添加条件∠C=90°且AC=2BC时四边形BFEC为正方形．（7分）

理由：

由

（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此时四边形BFEC为矩形，又因为AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，一组邻边相等的矩形是正方形，所以此时四边形BFEC为正方形．

4．∵四边形ABCD是矩形，

∴四个内角均为90°，

∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，

∴∠EBC=∠ECB=45°，

∴△EBC为等腰直角三角形，

∴∠E=90°，

同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，

∴四边形MFNE为矩形，

∵AD=BC，∠E=∠F=90°，∠DAF=∠EBC=45°，

∴△DAF≌△CBE（AAS）

∴AF=BE，

∵AM=BM，

∴AF﹣AM=BE﹣BM，即FM=EM，

∴四边形MFNE是正方形．

5．

（1）∵四边形DBEC是平行四边形，

∴DE∥BC，

∵D为AB中点，

∴DF为△ABC的中位线，

即点F为AC的中点；

（2）∵平行四边形BDEC，

∴CE平行等于BD．

∵D为AB中点，

∴AD=BD，

∴CE平行且等于AD，

∴四边形ADCE为平行四边形，

又∵AD=CD=BD，

∴四边形ADCE为菱形；

（3）应添加条件AC=BC．

证明：

∵AC=BC，D为AB中点，

∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°．

∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，

∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．

∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）

6．∵四边形ABCD是菱形，

∴四边形ABCD也是平行四边形，

又∵AC=BD（且AC，BD互相平分），

∴四边形ABCD也为矩形，

又∵四边形ABCD是菱形，

∴四边形ABCD是正方形．

7．∵DE平分∠ADE，EF⊥AD，EF⊥AD，

∴EF=EG，

∵DE=DE，

∴△DEF≌△DGE（HL），

∴∠DEF=∠EDG，∠DEG=∠EDF，

∴FE∥DG，GE∥DF，

∴四边形EFDG是平行四边形，

∵∠EFD=90°，

∴四边形EFDG是矩形，

∵EF=EG，

∴四边形EFDG是正方形．

8．Ⅰ）法1：

答：

当四边形PEMF为矩形时，

矩形ABCD的长是宽的2倍．

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，AB=DC，

又∵AM=DM，

∴△AMB≌△DMC（SAS）

∴∠AMB=∠DMC

∵四边形PEMF为矩形，

∴∠BMC=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°

∴AM=DM=DC，即AD=2DC．

∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；

法2：

∵四边形PEMF为矩形，

∴∠M为直角，

∴B、C、M三点共圆，BC为直径，

又∵M为AD的中点，

∴BC=2CD，

∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．

（Ⅱ）答：

当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．

∵△AMB≌△DMC，

∴MB=MC．

∵四边形PEMF为矩形，

∴PE∥MB，PF∥MC

又∵点P是BC中点，

∴PE=PF=

MC

∴四边形PEMF为正方形．

9．

（1）证明：

∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠BFD=∠CED=90°，

在Rt△BDF和Rt△CDE中，

，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；

（2）答：

四边形AFDE是正方形．

证明：

∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴四边形AFDE是矩形，

又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，

∴DF=DE，

∴四边形AFDE是正方形

10．∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，

∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，

∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，

∴∠CBE=∠ABE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，

∴∠CBE=∠ABE=45°，

∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，

∴AB=AD=BC=CD，

∴四边形ABCD是正方形．

11．

（1）证明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°，

又∵D是BC中点，AB=AC，

∴BD=CD，

在△BFD与△CED中，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE=DF．

（2）解：

当△ABC为等腰直角三角形时，

则有AE=DE=DF=AF，四边形AEDF为菱形，

又∵∠A=90°，

∴菱形AEDF为正方形

12．过点D作DG⊥AB，垂足为G，

∵∠CFD=∠CED=∠C=90°，

∴四边形CEDF是矩形．

∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线，

∴DF=DG，DG=DE．

∴DF=DE．

∴四边形CFDE是正方形．

13．∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴四边形CFDE是矩形．

又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴DE=DF．

∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

14．

（1）∵在△ABC中，AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵D为BC边的中点，

∴BD=CD．

在△BED与△CFD中，

∵

，

∴△BED≌△CFD（AAS）；

（2）四边形AEDF是正方形．理由如下：

∵∠DEB=90°，∠A=90°，

∴∠DEB=∠A，

∴AF∥ED．

同理，AE∥FD，

∴四边形AEDF是矩形．

又由

（1）知，△BED≌△CFD，

∴ED=FD，

∴矩形AEDF是正方形

15．

（1）∵MN∥BC，

∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，

∵CE，CF分别为∠BCA，∠GCA的角平分线，

∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，

∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，

∴OC=OE，OC=OF，

∴OE=OF，

（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，

理由：

∵O点为AC的中点，

∴OA=OC，

∵OE=OF，OC=OE=OF，

∴OA=OC=OE=OF，

∴AC=EF，

∴四边形AECF是矩形，

（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，

理由：

∵O点为AC的中点，

∴OA=OC，

∵OE=OF，OC=OE=OF，

∴OA=OC=OE=OF，

∴AC=EF，

∵AC⊥BC，MN∥BC，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF是正方形．

16．1）证明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，

∴∠PDB=∠PEC=90°，

∵P是BC的中点，

∴BP=PC，

即∠BDP=∠PEC=90°，∠B=∠C，PB=PC，

∴△PDB≌△PEC，

∴PD=PE．

（2）答：

DE∥BC，

理由是：

∵△PDB≌△PEC，

∴BD=CE，

∵AB=AC，

∴

=

，

∴DE∥BC．

（3）答：

当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形，

证明：

∵∠A=∠ADP=∠AEP=90°，

∴四边形ADPE是矩形，

∵AB=AC，BD=CE，

∴AD=AE，

∴矩形ADPE是正方形，

即当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形．

17．

（1）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°，

∴∠DAB+∠DBA=

（∠CAB+∠CBA）=

×90°=45°，

∴∠ADB=180°﹣45°=135°；

（2）四边形CEDF是正方形．

过D作DG⊥AB于G，

∵AD、BD是∠CAB、∠CBA的平分线，

∴DF=DG，DE=DG，

∴DF=DE，

∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

∴四边形CEDF是正方形．

18．连接AC、BD相交于O

∵菱形ABCD

∴OA=OC=

AC，OB=OD=

BD

∵AC=BD

∴OA=OB

∵OA⊥OB（菱形的对角线互相垂直）

∴∠OAB=∠OBA=45°

同理∠OBC=∠OCB=45°

∴∠OBA+∠OBC=90°

∴∠ABC=90°

∴ABCD是正方形．

19．①∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF为平行四边形；

②∵四边形AEDF为菱形，

∴AD平分∠BAC，

则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形；

③由四边形AEDF为正方形，∴∠BAC=90°，

∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可

20．∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠AED=90°，∠AFD=90°

∵∠BAC=90°

∴∠EDF=90°

∴□AEDF是矩形

在△BDE和△CDF中

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠DEB=∠DFC

又∵D是BC的中点

∴BD=DC

∴△BDE≌△CDF

∴DE=DF

∴□AEDF是正方形

21．四边形CDFE是正方形

理由如下：

∵FD⊥AC，FE⊥BC，AC⊥BC

∴四边形CDFE是矩形

∵CF平分∠ACB

∴∠FCD=45°

∴CD=DF

∴四边形CDFE是正方形

22．∵∠ABC=90°，DE⊥BC，DF⊥AB，

∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°．

∴四边形BEDF为矩形．

又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，

∴DF=DE．

∴矩形BEDF为正方形．

23．∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG，

又∵BE=CF=DG=AH，

∴CG=DH=AE=BF

∴△AEH≌△CGF≌△DHG，

∴EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA，

∴四边形EFGH为菱形，

∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA，

∴∠FEB+∠HEA=90°，

∴四边形EFGH是正方形．

24．∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴四边形DECF是矩形，

∵DE=DF，

∴矩形DECF是正方形．

25．∵矩形的ABCD的外角都是直角，HE，EF都是外角平分线，

∴∠BAE=∠ABE=45°．

∴∠E=90°．

同理，∠F=∠G=90°．

∴四边形EFGH为矩形．

∵AD=BC，∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°，

∴△ADH≌△BCF（AAS）．

∴AH=BF．

又∵∠EAB=∠EBA，

∴AE=BE．

∴AE+AH=EB+BF，即EH=EF．

∴矩形EFGH是正方形．

26．四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．

理由如下：

∵E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，

∴EF∥AC，且EF=

AC，

EH∥BD，且EH=

BD，

∵四边形EFGH是正方形，

∴EF=EH，EF⊥EH，

∴AC=BD，AC⊥BD，

∴四边形ABCD满足对角线互相垂直且相等时，四边形EFGH是正方形．

即四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．

27．本题答案不唯一，以下是其中两种解法：

（1）添加条件AB∥DC，可得出该四边形是矩形；

理由：

∵AB∥DC，AB=DC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形．

（2）添加条件AC垂直平分BD，那么该四边形是正方形．

理由：

∵AC垂直平分BD，

∴AB=AD，BC=CD．

∵AB=DC，

∴AB=AD=BC=DC．

∴四边形ABCD是菱形．

∵AC垂直BD，

∴四边形ABCD是正方形．

28．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO=

AC，

∵EA=EC，

∴EO⊥AC，

即BD⊥AC，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）∵∠1=∠EAD+∠AED，∠DAC=∠EAD+∠AED，

∴∠1=∠DAC，

∴AO=DO，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC=2AO，DB=2DO，

∴AC=BD，

∴四边形ABCD是正方形．

29．

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵∠BAC=90°，

∴四边形AEDF是矩形；

（2）∵DE∥AC，DF∥AB，

∴∠ADE=∠DAF，四边形AEDF是平行四边形，

又∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAE=∠DAF，

∴∠ADE=∠DAE，

∴AE=DE，

∴▱AEDF是菱形；

（3）由

（1）知四边形AEDF是矩形，由

（2）知四边形AEDF是菱形，所以四边形AEDF是正方形．

30．

（1）四边形ADEF是平行四边形．

∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，

∴BE=BC，BD=BA．

又∵∠DBE=60°﹣∠ABE，∠ABC=60°﹣∠ABE，

∴∠DBE=∠ABC．

在△BDE和△BCA中

，

∴△BDE≌△BCA．（2分）

∴DE=AC．

∵在等边三角形ACF中，AC=AF，

∴DE=AF．

同理DA=EF．

∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（5分）

理由：

∵∠DAF=360°﹣∠DAB﹣∠BAC﹣∠CAF=90°，

∴▱ADEF是矩形．

（3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=1