常微分方程及其应用doc.docx
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常微分方程及其应用doc
第5章常微分方程及其应用
习题
5.2
1
.求下列各微分方程的通解：
（1）
2
xdxydy=0；
（2）
xy_ylny=0；
（3）
22
（xyx）dx（y-xy）dy=0；
（4）
y-3xy=0;
（5）
2y-y=ex；
（6）
y二ytanxcosx.
2
.求下列各微分方程满足所给初始条件
牛的特解
弹：
（1）
y=e2x*,y（0）=0;
（2）
xy
dxdy=0,y（0）=1;
1y1x
（3）
y-y二cosx,y（0）二0；
（4）
y-ytanx二secx,y（0）=0；
（5）
「ysinx
y,y
（二）=1；
xx
（6）
2
xdyi2xy-x1dx=0,y
（1）
5.3可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程
案例引入求微分方程y“=6x的通解.
解两边积分，得y=6xdx=3x2•G
两边再积分，得y二3x2C1d^=x3C1xC2
所以，原方程的通解为y=x3•Gx•C2，其中C1、C2为任意常数.
5.3.1可降阶微分方程
1.形如y（n）=f（x）的微分方程
特点：
方程右端为已知函数f（x）•
解法：
对y（n）=f（x）连续积分n次，即可得含有n个任意常数的通解.
2.形如y”二f（x,y）的微分方程
特点：
方程右端不显含未知函数y.
解法：
令y"=p（x），则y'Jp（x）.于是，原方程可化为p"=f（x,p）.这是关于p,p•的一阶微分方程.设其通解为p（x）二「（x,CJ，即讨二（x,Ci）.两边积分，即可得原方程通解y=.（x,Ci）dxC2，其中C1、C2为任意常数.
3.形如y”二f（y,y）的微分方程
特点：
方程右端不显含自变量x.
dydxdydy
解法：
令y=p（y），则yl坐鱼二y=p並.于是，原方程可化为
pp二f（y,p）.这是关于p,p•的一阶微分方程.设其通解为p（y）J：
（y,Ci），即
（y,C1）•分离变量，得dx.然后两边积分，即可得原方程通解
dx'■（y,Ci）
例5-7求微分方程y=sinx-cosx的通解.
解两边积分，得y=（sinx-cosx）dx=-cosx-sinx■2G
两边再积分，得y二-cosx-sinx2C1dx二-sinxcosx2C1xC2
第三次积分，得y二-sinxcosx2C1xC2dx二cosxsinxC1x2C2xC3
所以，原方程的通解为y二cosx•sinx•Gx2•C2x•C3，其中C1、C2、C3为常数.
例5-8求微分方程xy-y=0的通解.
1
解令丫=p（x），则y'”二p（x）.原方程可化为xp-p=0,即卩pp=0.这是关于p,p的一阶线性齐次微分方程.其通解为：
r-dxl
p（x）=2Gex2Genx=2Gx，即y=2C1x.两边积分，即得原方程通解
2r・
y=2Cixdx=GxC2，其中G、C2为任意常数.
1
例5-9求微分方程y"-一y=xe»的通解.
x
解令y=p（x），则y工p（x）.于是，原方程可化为pp=.xe».这是关于x
p,p•的一阶线性非齐次微分方程.其通解为
1dx_1dx
p（x）二exxe"exdx2G
=xe」dx20〔=x_e2G
即y〉x-e」2C1.两边积分，即得原方程通解
y=x-e2C1d^=-xe^2C1xd^=xde^C1x2
-x
二xe-
x2x2
-edxGx=（x1）eGxC2
其中Ci、C2为任意常数.
例5-10求微分方程yy'"—1y$=0的通解.
解令y=p（y）,则y=pp（y）.于是，原方程可化为ypp，-p2=0,即
1
pp=0.这是关于p,p•的一阶线性齐次微分方程.其通解为
y
「dyl
p（y）=Ciey二Cieny二C°，即y=Gy.
所以原方程通解为y=C2e'“乂=C2eCix，其中C1、C2为任意常数.
5.3.2二阶常系数齐次线性微分方程
定义5.4形如
ypyqy=o,p、q为常数（5-5）
的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程
1.二阶常系数齐次线性微分方程解的结构
定理5.1如果函数yi（x）和y2（X）是方程（5-5）的两个解，那么
^C1y1（x）C2y2（x）,C1、C2为任意常数（5-6）
也是方程（5-5）的解.（证明略）
定理5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性•那么叠加起来的解
y=Ciyi（x）C2y2（x）就是通解吗？
不一定.
例如，设函数y,x）是方程（5-5）的一个解，则函数y2（x）=2%&）也是方程（5-5）的一个解•由定理5.1可知，y=C1y1（x）-2C2y1（x^（C12C2）y1（x）是方程（5-5）的解.但C12C2=C仍是一个任意常数，所以y二（C12C2）y1（x）=C%（x）不是方程
（5-5）的通解•那么在什么条件下才能保证y=G%（x）C2y2（x）就是通解呢？
定义5.5设y1（x）和y2（x）是定义在某区间I上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数k1和k2，使k1y-!
（x）-k2y2（x）=0在区间I上恒成立，则称函数y1（x）与y2（x）在区间I上线性相关，否则称线性无关.
由定义5.5可知，判断函数％（x）与y2（x）线性相关或线性无关的方法：
当y2（x）二..K二常数时，y1（x）与y2（x）线性相关.当y2（x）=常数时，y1（x）与w（x）k2y1（x）
y2（x）线性无关.
定理5.2如果函数y1（x）和y2（x）是方程（5-5）的两个线性无关的特解，那么
（5-6）是方程（5-5）的通解.（证明略）
2.二阶常系数齐次线性微分方程的解法
由上述关于解的结构分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需讨论如何求出方程
（5-5）的两个线性无关的特解.
猜想方程（5-5）有形如y=erx的解，其中r为待定常数•将y=erx代入该方程，得
rxrxrx2rxrxrx2rxrx
（e）p（e）q（e）=repreqe（rprq）e0，由于e=0,所以只要r满足方程
r2pr0,p、q为常数（5-7）
即当r是方程（5-7）的根时，函数y=erx就是方程（5-5）的解.
定义5.6方程（5-7）称为方程（5-5）的特征方程.特征方程的根称为特征根.
设r1、r2为特征方程（5-7）的两个特征根.根据特征根的不同情形，确定方程（5-5）
的通解有以下三种情况：
（1）若方程（5-7）有两个不相等的实根*=r2，则=erix和y2=er2x是方程（5-5）的两个线性无关的特解，故方程（5-5）的通解为y=Gerix-C2er2x，其中C1、C2为任意吊数.
（2）若方程（5-7）有两个相等实根A=r2二r二-卫，则仅得到一个特解y1=erx,
2
利用常数变易法可得到与y1=erx线性无关的另一个特解y^xerx，故方程（5-5）的通
解为y二Ger—C2xerx，其中G、C?
为任意常数.
（3）若方程（5-7）有一对共轭复根r,K与r2，则y^e（＞1諛和
y2是方程（5-5）的两个复数特解•为便于在实数范围内讨论问题，在此基础上
可找到两个线性无关的实数特解eScosPx和e“xsinBx.故方程（5-5）的通解为
y=e'x（C|cosxC2sinx），其中G、C2为任意常数.
由定理5.1可知，以上两个函数excosx和exsinx均为方程（5-5）的解，且它们线性无关.
上述依据特征根的不同情形来求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法，称为特征
根法.一般步骤：
第一步写出所给微分方程的特征方程；
第二步求出特征根；
第三步根据特征根的三种不同情形，写出通解.（特征根与通解的关系参见表5-1）
表5-1特征根与通解的关系
\
特征方程r+pr+q=0的两个根r1,r2
微分方程y“+py'+qy=0的通解
-一-
两个不相等实根r^r2
y=Ger1xye"
-二二
两个相等实根几=r2=r=p
2
y=（G+C2X）erx
三
一对共轭复根片=。
+淖,r2=a—iP
^e/x（C1cos0x+C2sinBx）
例5-11求微分方程y”-2y'3y=0的通解.
2
解该方程的特征方程r-2r-3=0的特征根为r^-1,r^3（r^-r2）.
所以，方程的通解为y=Ge」C2e3x.
例5-12求微分方程y；2y'y=：
0满足初始条件y（0）=0,y（0）=1的特解.
解该方程的特征方程r22r*1=0的特征根为r,=r2=-1.所以方程的通解为
y=（Ci（2X）e"
上式对x求导，得：
y—C2e」-Q•C2x）e*
将y（0）=0,y（0）T代入上两式，解得G=0,C2=1.因此，所求特解为y=xe°.
例5-13求微分方程y“-2y：
5y=0的通解.
解该方程的特征方程r2-2r'5=0的特征根为r^12i,r2=1-2i.
所以，方程的通解为y二eX（Gcos2xC2sin2x）.
5.3.3二阶常系数非齐次线性微分方程
定义5.7形如
ypyqy=f（x）,p、q为常数（5-8）
的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程•
1.二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
定理5.3如果函数y”（x）是方程（5-8）的一个特解，Y（x）是该方程所对应的线性齐
次方程（5-5）的通解，那么
y二丫（x）y（x）（5-9）
是方程（5-8）的通解.
定理5.4如果函数y1（x）是方程讨py：
qy二fi（x）的特解，函数y2（x）是方程y"py'qy二f2（x）的特解，那么
y二yi（x）y2（x）（5-10）
就是方程y"•pyq^f1（x）f2（x）的特解.
2.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，根据定理5.3,求二阶常系数非
齐次线性微分方程的通解的关键在于求其自身的一个特解.
以下介绍当自由项f（x）为几类特殊函数时求特解的方法：
（1）f（x）=Pn（x）ex,Pn（x）是x的n次多项式，，是常数
微分方程的特解可设为
［上不是特征根时，k=0
y*=xkQn（x）e'x,*九是单特征根时，k=1
＞是二重特征根时，k=2
其中Qn（x）是与Pn（x）同次待定多项式.
（2）f（x）=Pn（x）cos^x（或Pn（x）sin⑷X）,Pn（x）是x的n次多项式，⑷是常数
微分方程的特解可设为
k0i非特征根时,
y=x[Qn（x）czx+Rn（x）sirwx]'：
i是特征根时,
k=0
k二1
其中Qn（x）和Rn（x）是与巳（x）同次待定多项式.
（3）f（x）=e“coscox（或e'xsincox）,人与co均为常数
微分方程的特解可设为
y*=xke"[Acosmx+Bsin时x]，
[X+rni非特征根时,k+coi是特征根时,
k=0
k=1
（4）当f（x）为上述任意两类函数之和时，根据定理5.4处理即可.
例5-14求微分方程y”-2y'3x・1的通解.
解方程y“—2y"=0的特征方程r2-2r=0的特征根为r^2,r2=0•于是方程讨_2讨二0的通解为
y=Ge2xC2
又因为Pn（x）=3x1,-=0是单特征根，所以原方程的特解可设为
y=xQn（x）=x（AxB）
35
代入原方程，解得A,B.故原方程的通解为
44
2x325
y=C1eC2xx.
44
例5-15求微分方程y”•y'y=3e2x的一个特解.
A:
Q
解方程y"•y*y=0的特征方程r2r^0的特征根为A----i,
22
32x
「2一厂「"a，T非特征根，所以原方程的特解可设为
2x
y=Ae
33
代入原方程，解得A=—.故所求特解为y=e2x-
77
例5-16求微分方程y亠3y亠2y=xe'x的一个特解.
解方程y3y2、=0的特征方程r23r-^0的特征根为*=-2,D=-1.f（x）二xe'x，Pn（x）二x，■--2是单特征根，所以原方程的特解可设为
y二x（AxB）e^x
1x
代入原方程，解得A,B_-1.故所求特解为y=x（…--1）e_2x.
22
例5-17求微分方程y目=sinx的通解.
解方程y”•y=0的特征方程r2T=0的特征根为冷=i,r2=-i.于是方程y”•y=0的通解为
y二GcosxC2sinx
又因为f（x）=sinx,■i=i是特征根，所以原方程的特解可设为
y=x（AcosxBsinx）
1
代入原方程，解得A,B=0.故原方程的通解为
2
1
y=C1cosxC2sinxxcosx.
2
例5-18求微分方程y”•y=xcos2x的一个特解.
解方程y"•y=0的特征方程r27=0的特征根为几=i,r2--i.
f（x）二xcos2x,■J=2i不是特征根，所以原方程的特解可设为
y=（AxB）cos2x（CxD）sin2x
14
代入原方程，解得A,B=0,C=0,D.故所求特解为
39
xcos2xsin2x-
39
例5-19求微分方程y”•3y-y=excos2x的一个特解.
23J13
解方程八3—0的特征方程rV的特征根为r^-2—，.f（x）二excos2x,■i=12i不是特征根，所以原方程的特解可
2
y=ex（Acos2xBsin2x）
解方程y-2y•y=0的特征方程r2「2rT=0的特征根为A=r2=1.
1x
fi（x）re,f2（x）=sinx,■=1是二重特征根，^-i不是特征根，所以两个分解
2
方程的特解可分别设为
%=Ax2ex与y2=BcosxCsinx
11
分别代入两个分解方程，解得A,B,C=0.故所求特解为
42
12x1
yxecosx.
42
习题5.3
1.求下列各微分方程的通解：
（1）y'—Xsinx；
（2）y=xex；
1
（3）xyy=0;（4）yy"=xex;
x
222
（5）y=1（y）；（6）y—（y）=0.
1-y
2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）y』，y
（1）=y⑴=y
（1）=0；
⑵y-3（y）2=0,y（0）=0,y（0）=-1•
3.判断下列各函数组是线性相关还是线性无关：
（1）x与x2；
（2）e2x与6e2x；（3）x与xex；（4）excosx与exsinx.
4.求下列各微分方程的通解：
（1）y-y'：
=0;
（2）y4y=0;
（3）y-10y25y=0;（4）yyy=0.
5.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）y-4y3y=0,y（0）=6,y（0）=10;
（2）
y_4y4y=0,y（0）=1,y（0）=4.
&求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）y-3y2y=5,y（0）=1,y（0）=2；
x
（2）y一讨二4xe,y（0）=0,y（0）=1.
5.4微分方程应用举例
微分方程在实践中有着广泛的应用•在实际应用中，常常需要应用微分方程寻求实际
问题中的未知函数•而要建立微分方程，除了需要数学知识外，往往还需要许多专业方面
的知识•本节通过举例来介绍微分方程在几何学、电工学及力学方面的一些简单应用.
例5-21曲线L上点M（x,y）处的法线与x轴的交点为N，且线段MN被y轴平
分.求曲线L的方程.
解如图5-2，设曲线的方程为y二y（x）•先建立法线MN的方程•设法线上的动点
1
坐标为（X,Y），由于法线MN的的斜率为k法=-丄，于是法线MN的方程为
y，
1
Y-y（X-x）
y
又因为线段MN被y轴平分，从而MN与y轴交点坐标为P（0,—），代入上式，得
2
y1
y（0-x），即yy=2x
2y
2
用分离变量法解得X2•I二c，其中C为任意正数.
例5-22设有一RC电路如图5-3所示，电阻R=10i」，电容C=0.1F，电源电压u=10sint（V），开关K闭合前，电容电压uc=0，求开关K闭合后电容电压随时
间而变化的规律UC（t）•
解设开关K闭合后电路中的电流为i（t），电容极板上的电荷为q（t），则有
q=Cuc，
dqd（Cuc）due
iCy
dtdtdt
根据回路电压定律：
电容电压与电阻电压之和等于电源电压，即uC•Ri二u，于是
du
有uCRC—二u•将R=10，C=0.1，u=10sint代入，得uCuC二10sint•又dt
因为开关K闭合前，电容电压uC=0，即uC（0）=0•从而问题转化为初值问题：
（u；+uC=10sint
H（0）=0
用通解公式求得通解
uC二Ae45（sin-coS）
将初始条件uc（0）=0代入通解，求得A=5•所以，所求特解为
uC=5e‘5（sint-cost）
此即为所求规律uC（t）的表达式.
例5-23设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与其下落的速度成正比（比例系数为常
数k>0）,起跳时的速度为0•求跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系.
解这是一个运动问题，可利用牛顿第二定律F=ma建立微分方程•设跳伞员下落
的速度与时间之间的函数关系为v二v（t），则加速度a=v（t）•由于跳伞员在下落过程中
所受外力只有重力和空气阻力，于是有F二mg—kv，由牛顿第二定律F二ma可得速度
v=v（t）应满足的微分方程为mg-kv=mv■.又因为起跳时的速度为0,即其初始条件
为v（0）=0•所以，这个运动问题可化为初值问题：
'mg-kv=mv"
1（0）=0
2t
用分离变量法求出通解为mg-kv=Cem•将初始条件为v（0）=0代入通解，解得
k
C=mg•因此，所求特解为v=呼（1-e韦t）,0岂t岂T（T为降落伞着地时间），此k
即为所求函数关系.
例5-24物体冷却过程•将某高温物体置于空气中冷却，假定空气温度恒为24C,
在时刻t=0时，测得其温度为150C,10分钟后测得温度为100C•已知牛顿冷却定律：
物体冷却速率与物体和介质的温差成正比.求物体的温度与时间的函数关系，并计算20分
钟后该物体的温度.
解设物体的温度与时间的函数关系为T=T（t）•因为热量总是从温度高的物体向温
度低的物体传导，从而物体随时间增加而逐渐冷却，所以冷却速率（温度的变化速度）T（t）<0,而物体和空气的温差恒为正.所以，根据牛顿冷却定律可得肛=-k（T-24）•又因为在时刻t=0时，测得其温度为150C，即有T（0）=150•从dt
而问题转化为初值问题：
J_dT=~k仃一24），其中k>0为比例常数.
T（0）-150
_kt
用分离变量法或通解公式解得T=24126e•将T（10）=100代入，求得
1126
k=In:
0.051•故物体的温度与时间的函数关系为T=24-126e_D'°51t•将
1076
t=20代入，得T（20）=24126eJ°512064（C）•
例5-25弹簧振动问题.设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量为m的物体.当弹
簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹簧恢复力大小相等，方向相反•设给物体一个初始位移X0，初速度V0，则物体便在其平衡位置附近上下振动.已知阻力与其速度成正比，求振动过程中位移X的变化规律.
解建立坐标系如图5-4所示，平衡位置为原点.位移X是时间t的函数X=X（t）.物体在振动过程中受到弹簧恢复力f与阻力R的作用•由虎克定律，有f二-kx，其中k0为弹性系数，负号表示弹簧恢复力与位移方向相反；R--'v，其中」•0为比例系数（或
称阻尼系数），负号表示阻力与速度方向相反•根据牛顿第二定律F二ma，可得
卩2k
ma--kx-.又因为a=x（t）,v=x（t），记2n二,'■,n0,，0,
mm
.x（0）
ri,2=-n土Jn2―时2.具体情况讨论如下：
（1）大阻尼情形，即n•••.
这时，特征根是两个不相等实根，所以方程的通解为
2222
XrCe'n-n；*）t■Ce4^n；*口
（2）临界阻力情形，即n=■.
这时，特征根片=r2--n，所以方程的通解为
x=（GC2t）e『.
（3）大阻尼情形，即n•「.
这时，特征根是一对共轭复根A,?
=-n±*心2—n2i，所以方程的通解为
x=e血（C1cos,‘2-n21C2sin
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