数学九年级上北师大版12矩形的性质与判定同步训练A.docx
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数学九年级上北师大版12矩形的性质与判定同步训练A
矩形的性质与判定（A）
一、选择题
1.如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）
A．∠ABC=90°B．AC=BDC．OA=OBD．OA=AD
3.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）
A．17B．18C．19D．20
4.如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
5.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（）
A．8B．10C．12D．18
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）
A．4B．3C．2D．1
7.一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）
A．602B．702C．1202D．1402
8.如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=
，则OE=（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
9.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
10.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：
①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________
11.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）．
12.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________（填上你认为正确的一个答案即可）
三、解答题
13.如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
（1）求证：
四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：
四边形EFGH是矩形
14.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积
15.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：
四边形ABCD是矩形
16.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？
参考答案
一、选择题
1.如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
答案：
C
解析：
解答：
∵矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，
∴AD=BC，AB=DC，
∴四边形变成平行四边形，
故A正确；
BD的长度增加，
故B正确；
∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，
∴面积变小了，故C错误；
∵四边形的每条边的长度没变，
∴周长没变，
故D正确，
故选C．
分析:
由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形变成平行四边形，由于四边形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD的长度增加了
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）
A．∠ABC=90°B．AC=BDC．OA=OBD．OA=AD
答案：
D
解析：
解答:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=
AC，OB=
BD，
∴OA=OB，
∴A、B、C正确，D错误，
故选：
D．
分析:
矩形的性质：
四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论
3.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）
A．17B．18C．19D．20
答案：
D
解析：
解答:
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，
∴OM=
CD=2.5，AC=
=13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=
AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故选：
D．
分析:
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好
4.如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
答案:
D
解析：
解答:
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=
AC，OD=OB=
BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=20，
∴AC=BD=10cm，
∴OA=OB=5cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=5cm，
故选D．
分析:
根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可
5.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（）
A．8B．10C．12D．18
答案:
C
解析：
解答:
∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，
∴OA=OB=
AC，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=2×6=12．
故选C．
分析:
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）
A．4B．3C．2D．1
答案:
A
解析：
解答:
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=2×2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=4．
故选A．
分析:
根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB，再根据矩形的对角线相等解答
7.一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）
A．602B．702C．1202D．1402
答案:
A
解析：
解答：
∵黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%；
∴矩形的面积=21÷（50%-15%）
=21÷35%
=60
（2）．
故选：
A．
分析:
黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，用除法即可得出矩形的面积
8.如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=
，则OE=（）
A．1B．2C．3D．4
答案:
A
解析：
解答:
∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，
∴△ADO是等边三角形，
∴OA=
，∠OAD=60°，
∴∠OAE=30°，
∵OE⊥AC，
∴△OAE是一个含30°的直角三角形，
∴OE=1，
故选A
分析:
先根据等边三角形的性质得出OA=
，根据△OAE是一个含30°的直角三角形，进而得出OE的长度
二、填空题（共5题）
9.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
答案:
AC=BD．答案不唯一
解析：
解答:
添加的条件是AC=BD，
理由是：
∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：
AC=BD．答案不唯一
分析:
根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可
10.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：
①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________答案:
①⑤
解析：
解答:
要使得平行四边形ABCD为矩形添加：
①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可
分析：
四边形ABCD是平行四边形，要成为矩形加上一个角为直角或对角线相等即可
11.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）．
答案:
∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）
解析：
解答:
根据矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
故添加条件：
∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：
∠ABC=90°或AC=BD
分析:
根据矩形的判定定理：
①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可
12.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________（填上你认为正确的一个答案即可）
答案：
∠DAB=90°
解析：
解答：
可以添加条件∠DAB=90°，
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：
∠DAB=90°
分析:
根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定
三、解答题（共5题）
13.如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
（1）求证：
四边形EFGH是平行四边形；
答案：
解答:
（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．
∴EH=GF．
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：
四边形EFGH是矩形
答案：
解答:
（2）证明：
连接BD，AC．
∵AH=AE，AD=AB，
∴
∴HE∥BD，
同理可证，GH∥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形
解析：
分析:
（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．
（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由1知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．
14.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积
答案:
解答：
∵AE∥BC，BE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE=CD．
在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，
∴∠ADB=90°，BD=CD．
∴BD=AE．
∴平行四边形AEBD是矩形．
在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=
BC=3，
∴AD=
=4．
∴四边形AEBD的面积为：
BD•AD=CD•AD=3×4=12．
解析：
分析：
利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD=AD•CD
15.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：
四边形ABCD是矩形
答案：
解答：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF=∠F．
∵∠F=45°，
∴∠DAE=45°．
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠EAB=∠DAE=45°．
∴∠DAB=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
解析：
分析:
欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角
16.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？
答案：
AD＝140cm．
解析：
解答：
过C作CM∥AB，交AD于M，
∵∠A=120°，∠B=60°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AM∥BC，
∵AB∥CM，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，
∵AD∥BC，∠C=150°，
∴∠D=180°-150°=30°，
∴∠MCD=60°-30°=30°=∠D，
∴CM=DM=60cm，
∴AD=60cm+80cm=140cm．
分析:
过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM求出即可
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