高考专题复习思想方法数形结合.docx
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高考专题复习思想方法数形结合
数形结合思想
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想,“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而找到解题思路,使问题得到解决.以形助数常用的有:
借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法,以数解形常用的有:
借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.
【以形助数】
例1、(集合中的数形结合)
已知集合
,当
,求实数
的取值范围.
参考解答:
画数轴分析可得
.
例2、(函数中的数形结合)
设
,当
时,
恒成立,求
的取值范围。
参考解答:
解法一:
由
,在
上恒成立
在
上恒成立.
考查函数
的图像在
时位于
轴上方,如下图
不等式的成立条件是:
1)
;
2)
;
综上所述
解法二:
由
,令
,
在同一坐标系中作出两个函数的图像(如右图)满足条件的直线位于
之间,而直线
对应的
的值分别为
,故直线
对应的
.
例3、(方程中的数形结合)
若方程
在
内有唯一解,求实数
的取值范围.
参考解答:
原方程变形为
,即
,
作出曲线
,
和直线
的图象,由图可知:
①当
时,有唯一解
;
②当
时,即
时,方程有唯一解.
综上可知,
或
时,方程有唯一解.
例4、(不等式中数形结合)
不等式
在
时恒成立,求
的取值范围.
参考解答:
例5、(解析几何中的数形结合)
已知
满足
,求
的最大值与最小值.
参考解答:
对于二元函数
在限定条件
下求最值问题,常采用构造直线截距的方法
来求之.令
,则
,原问题转化为:
在椭圆
上求一点,
使过该点的直线斜率为
,且在
轴上截距最大或最小,由图可知,当直线
与
椭圆
相切时,有最大截距与最小截距.由
可得
,得
,故
的最大值为
,最小值为
.
例6、设
,二次函数
的图像为下列之一,则
的值为(
)
①②③④
例7、线段
的两个端点为
,直线
,已知直线
与线段
有公共点,
求
的取值范围.
参考解答:
不论
取何值,直线
恒过定点
,斜率为
,由图
与线段
有公共点,
需要
由直线
的位置(绕
点)逆时针转动到
的位置.在这一转动过程中,
的倾斜角先逐渐增大到
(从而
的斜率逐渐增大到
),
绕过
轴后,倾斜角
依然逐渐增大,因此其正切值(
的斜率)逐渐增大到
的斜率,又
,
故
,即
.
例8、已知
为椭圆
内一点,
为椭圆左焦点,
为椭圆上一动点,
求
的最大值和最小值.
参考解答:
由椭圆的定义知
,
即
,
【配套练习】
1、方程
的解的个数为(
)
2、如果实数
满足
,则
的最大值为(
)
参考解答:
等式
有几何意义,它表示坐标平面上的一个圆,圆心为
,半径
,
如图,
表示圆上的点
与坐标原点
的连线的斜率.如此以来,该问题
可转化为如下几何问题:
动点
在以
为圆心,以
为半径的圆上移动,求直线
的斜率的最大值,由图可见,当
在第一象限,且与圆相切时,
的斜率最大,
经简单计算得最大值为
.
3、已知函数
,若
,则
的大小关系为
.
4、设函数
,若
,
,
则关于
的方程
的解的个数为(
)
5、函数
的最小值为(
)
6、已知函数
在区间
内递减,则实数
的取值范围为
.
参考解答:
如图所示,可知对称轴
7、设
、
分别是方程
的根,
则
=
.
8、如果关于
的方程
有两个实数根
,
并且
,
求实数
的取值范围.
参考解答:
令
,由题
.
9、求函数
的值域.
参考解答:
的形式类似于斜率公式
,表示过两点
,
的直线的斜率,由于点
在单位圆
上,显然
,设过
的圆的切线方程为
,则有
,解得
,即
,
,
所以
,所以函数值域为
.
10、已知集合
,
求满足下列条件时实数
的取值范围.
⑴
;
⑵
;
参考解答:
画区域分析问题,⑴
,⑵
【高考真题】
1、若集合
,集合
,且
,
则实数
的取值范围为
.
参考解答:
集合
,显然,
表示以
为圆心,以
为半径
的圆在
轴上方的部分,(如图),而
则表示一条直线,其斜率
,纵截距为
,由图形易
知,欲使
,即直线
与半圆有公共点,显然
的最小逼近值为
,
最大值为
即
.
2、已知
(其中
),且
是方程
的两根(
),
则实数
,且
.
3、点
是椭圆
上一点,它到其中一个焦点
的距离为
,
为
的中点,
表示原点,则
(
)
参考解答:
设椭圆另一焦点为
,(如下图),则
,而
,因为
,
所以
,又注意到
各为
的中点,所以
是
的中位
线,因此
.
4、关于
的方程
在
上有两个不相等的实数解,求实数
的取值范围.
参考解答:
设
,可作图得
.
(数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法,
应选择最简单、最佳方案,这称为最优化原则)
5、已知函数
,若
且
,则
的取值范围是
.
6、已知
,若
中仅含有两个元素时,
则实数
的取值范围
.
参考解答:
已知当
时
与
在
轴左侧必有一个交点,故要在
轴右侧有一个交点只需
,
同理当
时
与
在
轴右侧必有一个交点,故要在
轴左侧有一个交点只需
.
7、下图中的函数图像①、②、③、④与函数方程
、
、
、
的对应关系中,有可能正确的一组是——————(
)
8、已知函数
的图像如图所示,则(
)
参考解答:
本题可将图形转化为具体数值,由图像过
个特殊点及与
轴的相对位置特征,可得到以下等式:
⑴
,即
;
⑵
,即
;
⑶
,即
;
⑷
;
⑸当
时,
,由
得
,
⑹当
时,
,
,可推得
.
巧妙合理地利用以上各式,就可以得到多种简捷的解法:
方法一:
⑵⑶得
,再由⑹推得
,选
;
方法二:
⑵⑸推得
;
方法三:
由⑷比较同次项系数得
,再由⑹得
.
数学思想方法:
数形结合
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想,“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而找到解题思路,使问题得到解决.以形助数常用的有:
借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法,以数解形常用的有:
借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.
【以形助数】
例1、(集合中的数形结合)
已知集合
,当
,求实数
的取值范围.
例2、(函数中的数形结合)
设
,当
时,
恒成立,求
的取值范围.
例3、(方程中的数形结合)
若方程
在
内有唯一解,求实数
的取值范围.
例4、(不等式中数形结合)
不等式
在
时恒成立,求
的取值范围.
例5、(解析几何中的数形结合)
已知
满足
,求
的最大值与最小值.
例6、设
,二次函数
的图像为下列之一,则
的值为()
①②③④
例7、线段
的两个端点为
,直线
,已知直线
与线段
有公共点,求
的取值范围.
例8、已知
为椭圆
内一点,
为椭圆左焦点,
为椭圆上一动点,
求
的最大值和最小值.
【配套练习】
1、方程
的解的个数为()
2、如果实数
满足
,则
的最大值为()
3、已知函数
,若
,则
的大小关系为.
4、设函数
,若
,
,
则关于
的方程
的解的个数为()
5、函数
的最小值为()
6、已知函数
在区间
内递减,则实数
的取值范围为.
7、设
、
分别是方程
的根,则
=.
8、如果关于
的方程
有两个实数根
,并且
,
求实数
的取值范围.
9、求函数
的值域.
10、已知集合
,
求满足下列条件时实数
的取值范围.⑴
;⑵
.
【高考真题】
1、若集合
,集合
,且
,
则实数
的取值范围为.
2、已知
(其中
),且
是方程
的两根(
),
则实数
,且
.
3、点
是椭圆
上一点,它到其中一个焦点
的距离为
,
为
的中点,
表示原点,则
()
4、关于
的方程
在
上有两个不相等的实数解,求实数
的取值范围.
5、已知函数
,若
且
,则
的取值范围是.
6、已知
,若
中仅含有两个元素时,则实数
的取值范围.
7、下图中的函数图像①、②、③、④与函数方程
、
、
、
的对应关系中,有可能正确的一组是—()
8、已知函数
的图像如图所示,则()