复变函数考题及答案.docx
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复变函数考题及答案
复变函数考题及答案
【篇一：
复变函数试题与答案】
>一、选择题
1．当z?
1?
i时，z100?
z75?
z50的值等于（）1?
i
（a）i（b）?
i（c）1（d）?
1
2．设复数z满足arc（z?
2）?
?
3，arc（z?
2）?
5?
，那么z?
（）6
1331?
i（d）?
?
i2222（a）?
1?
3i（b）?
3．复数z?
tan?
?
i（3?
i（c）?
?
?
?
?
?
）的三角表示式是（）2
?
?
?
）?
i?
?
）]（b）sec?
（a）sec22?
?
3?
3?
?
?
）?
i?
?
）]22
?
（c）?
sec3?
3?
?
?
?
?
）?
i?
?
）]（d）?
sec?
?
?
）?
i?
?
）]2222
224．若z为非零复数，则z?
与2z的关系是（）
2222（a）z?
?
2z（b）z?
?
2z
22（c）z?
?
2z（d）不能比较大小
５．设x,y为实数，则动点（x,y）z1?
x?
?
yi,z2?
x?
?
yi且有z1?
z2?
12，
的轨迹是（）
（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?
3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为
1?
3i，则原向量对应的复数是（）
（a）2（b）1?
i（c）3?
i（d）3?
i
1
７．使得z2?
z成立的复数z是（）2
（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数
８．设z为复数，则方程z?
?
2?
i的解是（）
（a）?
3333?
i（b）?
i（c）?
i（d）?
?
i4444
９．满足不等式z?
i?
2的所有点z构成的集合是（）z?
i
（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域
10．方程z?
2?
3i?
2所代表的曲线是（）
（a）中心为2?
3i，半径为2的圆周（b）中心为?
2?
3i，半径为２的圆周
（c）中心为?
2?
3i，半径为2的圆周（d）中心为2?
3i，半径为２的圆周
11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）
（a）z?
1?
2（b）z?
3?
z?
3?
4z?
2
z?
a?
1（a?
1）（d）z?
a?
z?
a?
c?
0（c?
0）1?
az（c）
12．设f（z）?
1?
z1?
2?
3i,z2?
5?
i,，则f（z1?
z2）
（a）?
4?
4i（b）4?
4i（c）4?
4i（d）?
4?
4i
13．limim（z）?
im（z0）（）x?
x0z?
z0
（a）等于i（b）等于?
i（c）等于0（d）不存在
14．函数f（z）?
u（x,y）?
iv（x,y）在点z0?
x0?
iy0处连续的充要条件是（）
（a）u（x,y）在（x0,y0）处连续（b）v（x,y）在（x0,y0）处连续
（c）u（x,y）和v（x,y）在（x0,y0）处连续（d）u（x,y）?
v（x,y）在（x0,y0）处连续2
z2?
z?
115．设z?
c且z?
1，则函数f（z）?
的最小值为（）z
（a）?
3（b）?
2（c）?
1（d）1
二、填空题
1．设z?
（1?
i）（2?
i）（3?
i），则z?
（3?
i）（2?
i）
2．设z?
（2?
3i）（?
2?
i），则argz?
3．设z?
arg（z?
i）?
3?
，则z?
4
（cos5?
?
isin5?
）2
4．复数的指数表示式为2（cos3?
?
isin3?
）
5．以方程z?
7?
i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?
2?
z?
2?
5所表示的区域是曲线的内部6
７．方程2z?
1?
i?
1所表示曲线的直角坐标方程为2?
（1?
i）z
８．方程z?
1?
2i?
z?
2?
i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射?
?
2i22，圆周x?
（y?
1）?
1的像曲线为z410．lim（1?
z?
2z）?
z?
1?
i
三、若复数z满足z?
（1?
2i）z?
（1?
2i）?
3?
0，试求z?
2的取值范围．
四、设a?
0，在复数集c中解方程z2?
2z?
a.
五、设复数z?
?
i，试证z是实数的充要条件为z?
1或im（z）?
0.21?
z
3
六、对于映射?
?
11（z?
），求出圆周z?
4的像.2z
七、试证１.z1?
0（z2?
0）的充要条件为z1?
z2?
z1?
z2；z2
z1?
0（zj?
0,k?
j,k,j?
1,2,?
n））的充要条件为z2２.
z1?
z2?
?
?
zn?
z1?
z2?
?
?
zn.
八、若limf（z）?
a?
0，则存在?
?
0，使得当0?
z?
z0?
?
时有f（z）?
x?
x01a.2
九、设z?
x?
iy，试证x?
y
2?
z?
x?
y.
十、设z?
x?
iy，试讨论下列函数的连续性：
?
2xy,z?
0?
1.f（z）?
?
x2?
y2?
0,z?
0?
?
x3y?
z?
02.f（z）?
?
x2?
y2.
?
0,z?
0?
第二章解析函数
一、选择题：
1．函数f（z）?
3z在点z?
0处是（）
（a）解析的（b）可导的
（c）不可导的（d）既不解析也不可导
2．函数f（z）在点z可导是f（z）在点z解析的（）
42
（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件
（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件
3．下列命题中，正确的是（）
（a）设x,y为实数，则cos（x?
iy）?
1
（b）若z0是函数f（z）的奇点，则f（z）在点z0不可导
（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f（z）?
u?
iv在d内解析
（d）若f（z）在区域d内解析，则在d内也解析
4．下列函数中，为解析函数的是（）
（a）x2?
y2?
2xyi（b）x2?
xyi
（c）2（x?
1）y?
i（y2?
z?
x2
0?
2x）（d）x3?
iy3
5．函数f（z）?
z2im（z）在处的导数（）
（a）等于0（b）等于1（c）等于?
1（d）不存在
6．若函数f（z）?
x2?
2xy?
y2?
i（y2?
axy?
x2）在复平面内处处解析，那么实常数a?
（）
（a）0（b）1（c）2（d）?
2
7．如果f?
（z）在单位圆z?
1内处处为零，且f（0）?
?
1，那么在z?
1内f（z）?
（）
（a）0（b）1（c）?
1（d）任意常数
8．设函数f（z）在区域d内有定义，则下列命题中，正确的是
（a）若f（z）在d内是一常数，则f（z）在d内是一常数
（c）若f（z）与f（z）在d内解析，则f（z）在d内是一常数
（d）若argf（z）在d内是一常数，则f（z）在d内是一常数
9．设f（z）?
x2?
iy2，则f?
（1?
i）?
（）
5
【篇二：
复变函数期末考试复习题及答案详解】
=txt>1、?
|z?
z?
1（z?
z）n?
0|__________.（n为自然数）0
2
2.sin
z?
cos2
z?
_________.
3.函数sinz的周期为___________.
f（z）?
1
4.设
z2?
1，则f（z）的孤立奇点有__________.
?
5.幂级数
?
nzn的收敛半径为__________.
n?
0
6.若函数f（z）在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim
1?
z2?
...?
zn
7.若nlim?
?
zn?
?
z，则n?
?
n?
______________.
z
res（
e
zn,0）?
8.
________，其中n为自然数.
9.sinzz
的孤立奇点为________.
limf（10.若z0是f（z）z?
zz）?
___的极点，则0
.
三.计算题（40分）：
f（z）?
1
1.设
（z?
1）（z?
2），求f（z）在d?
{z:
0?
|z|?
1}
内的罗朗展式.
1
dz2.?
|z|?
1cosz.
2?
?
1
3.设
f（z）?
?
3?
?
7c?
?
zd?
，其中
c?
{z:
|z|?
3}，试求f（1?
i）.
w?
z?
1
4.求复数
z?
1的实部与虚部.
四.证明题.（20分）1.函数
f（z）在区域d内解析.证明：
如果|f（z）|在d内为常数，那么它在
d内为常数.
2.试证
:
f（z）在割去线段0?
rez?
1的z平面内能分出两
个单值解析分支,并求出支割线0?
rez?
1上岸取正值的那支在z?
?
1
的值.
《复变函数》考试试题
（二）
二.填空题.（20分）
1.设z?
?
i，则|z|?
__,argz?
__,?
__
2.
设
f（z）?
（x2?
2xy）?
i（1?
sin（x2?
y2）,?
z?
x?
iy?
c
，则
zlim?
1?
i
f（z）?
________.
3.
?
dz
|z?
z0|?
1（z?
zn?
_________.（n为自然数）
0）?
4.幂级数
?
nz
n
的收敛半径为__________.
n?
0
5.若z0是f（z）的m阶零点且m0，则z0是f（z）的_____零点.6.函数ez的周期为__________.
7.方程2z5
?
z3
?
3z?
8?
0在单位圆内的零点个数为________.
8.设f（z）?
1
1?
z2
，则f（z）的孤立奇点有_________.
9.函数f（z）?
|z|的不解析点之集为________.
10.res（z?
1
z
4,1）?
____.三.计算题.（40分）
1.求函数
sin（2z3
）的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数
在正
实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点
z?
i处的值.
i
3.计算积分：
i?
?
?
i
|z|dz，积分路径为
（1）单位圆（|z|?
1）
的右半圆.
sinz
z?
2
4.求
（z?
dz
）2
2
.
四.证明题.（20分）
1.设函数f（z）在区域d内解析，试证：
f（z）在d内为常数的充要条件是f（z）在d内解析.
2.试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
二.填空题.（20分）1.设f（z）?
1
z2?
1
，则f（z）的定义域为___________.2.函数ez
的周期为_________.
3.若zn?
21?
n?
i（1?
1
n?
n
）n，则limn?
?
zn?
__________.
4.sin2
z?
cos2
z?
___________.
dz
5.?
|z?
z?
0|?
1（z?
zn_________.（n为自然数）
）?
6.幂级数
?
nx
n
的收敛半径为__________.
n?
0
7.f（z）?
1
设
z2
?
1，则f（z）的孤立奇点有__________.
8.设
ez?
?
1，则z?
___.9.若z0是
f（z）的极点，则limz?
zf（z）?
___.
z
10.res（ez
n,0）?
____.
三.计算题.（40分）
11.将函数f（z）?
z2ez
在圆环域0?
z?
?
内展为laurent级数.
?
?
2.试求幂级数?
n!
n
zn
的收敛半径.n?
n
3.算下列积分：
?
ezdz
cz2（z2?
9），其中c是|z|?
1.
4.求z
9
?
2z6?
z2?
8z?
2?
0在|z|1内根的个数.
四.证明题.（20分）1.函数
f（z）在区域d内解析.证明：
如果|f（z）|在d内为常
数，那么它在d内为常数.
2.设
f（z）是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数
r及m，使得当
|z|?
r时
|f（z）|?
m|z|n，
证明f（z）是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
二.填空题.（20分）1.设z?
1
1?
i
，则rez?
__,imz?
___.
2.若limzzzn?
?
，则1?
z2?
...?
n
n?
?
lim
n?
?
n
?
______________.
3.函数ez
的周期为__________.4.函数f（z）?
1
1?
z
2
的幂级数展开式为__________5.若函数f（z）在复平面上处处解析，则称它是___________.
6.若函数f（z）在区域d内除去有限个极点之外处处解析，则称它是d内的_____________.7.设
c:
|z|?
1，则?
c（z?
1）dz?
___.
8.sinzz
的孤立奇点为________.
9.若z0是
f（z）的极点，则limz?
zf（z）?
___.
10.
（ez
resz
n,0）?
_____________.
三.计算题.（40分）
1.解方程z3
?
1?
0.
2.设f（z）?
ez
z2?
1
，求res（f（z）,?
）.
3.
?
z
|z|?
2（9?
z2）（z?
i）dz..
11
4.函数f（z）?
ez
?
1?
z有哪些奇点？
各属何类型（若是极点，指明它
的阶数）.
四.证明题.（20分）
1.证明：
若函数
f（z）在上半平面解析，则函数在下半平面解
析.
2.证明z4
?
6z?
3?
0方程在1?
|z|?
2内仅有3个根.
《复变函数》考试试题（五）
二.填空题.（20分）1.设
z?
1?
i，则|z|?
__,argz?
__,?
__.
2.当z?
___时，ez为实数.3.设ez?
?
1，则z?
___.
4.
e
z
的周期为___.
5.设
c:
|z|?
1，则?
c（z?
1）dz?
___.
6.res（ez?
1
z
0）?
____.
7.若函数f（z）在区域d内除去有限个极点之外处处解析，则称它是d内的_____________。
8.函数f（z）?
1
1?
z
2
的幂级数展开式为_________.9.sinzz
的孤立奇点为________.
10.设c是以为a心，r为半径的圆周，则
?
1
c（z?
a）ndz?
___.
（n为自然数）三.计算题.（40分）
z?
11.求复数z?
1
的实部与虚部.
2.计算积分：
i?
?
l
rezdz，
在这里l表示连接原点到1?
i的直线段.2?
3.
求积分：
i?
?
d?
01?
2acos?
?
a2，其中0a1.
4.
应用儒歇定理求方程z?
?
（z），在|z|1内根的个数，在这里
?
（z）在|z|?
1上解析，并且|?
（z）|?
1.
四.证明题.（20分）1.证明函数f（z）?
|z|2除去在z?
0外，处处不可微.
2.设
f（z）是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数r
及m，使得当
|z|?
r时
|f（z）|?
m|z|n，
【篇三：
第1章复变函数习题答案习题详解】
求下列复数z的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：
1）
13?
2i13?
2i
1?
3?
2i?
3?
2i9?
4
3?
2i13
解：
?
?
3?
2i?
?
3?
2i?
3?
?
?
?
3?
2i?
13?
11
?
?
实部：
re?
虚部：
im?
2?
?
?
?
3?
2i13?
?
?
3?
2i?
?
?
13?
3?
2i?
?
1
共轭复数：
?
模：
13?
2i
?
3?
213
2
22
?
113
?
3
?
1?
?
1?
辐角：
arg?
?
?
arg?
?
?
2k?
?
arctg
3?
2i3?
2i?
?
?
?
?
2?
?
2k?
?
?
arctg?
?
?
2k?
?
3?
2）
1i
?
3i1?
i
ii
2
解：
1i
?
3i1?
i
?
?
3i?
1?
i?
?
1?
i?
?
1?
i?
?
?
i?
?
3?
3i1?
1
?
?
2i?
3?
3i
2
?
3?
5i2
实部：
re?
?
1?
i
?
3i?
3
?
?
1?
i?
23i?
5
?
?
?
1?
i?
23i?
3?
5i
?
?
1?
i?
2
虚部：
im?
?
1?
i
?
共轭复数：
?
?
1?
i
?
模：
1i
?
3i1?
i
?
3?
52
2
22
?
344
?
342
?
?
53i?
3i?
?
1?
1?
2
辐角：
arg?
?
?
?
arg?
?
?
?
2k?
?
arctg?
?
3?
i1?
i?
?
i1?
i?
2?
?
?
5?
?
?
2k?
?
?
arctg?
?
?
2k?
?
?
?
3?
?
3）
?
3?
4i?
?
2?
5i?
2i
解：
?
3?
4i?
?
2?
5i?
2i
?
?
26?
7i?
i?
2
?
7?
26i?
2
?
?
7?
26i
2
实部：
re?
7?
?
3?
4i?
?
2?
5i?
?
?
?
?
2i2?
?
虚部：
im?
26?
?
3?
4i?
?
2?
5i?
?
?
?
13?
?
?
2i2?
?
?
?
3?
4i?
?
2?
5i?
?
?
7?
26i
共轭复数：
?
?
?
2i2?
?
模：
?
3?
4i?
?
2?
5i?
2i
?
?
7?
?
26?
?
?
?
?
?
?
?
22?
?
?
?
22
?
52
29
?
?
26
?
?
3?
4i?
?
2?
5i?
?
?
2
辐角：
arg?
?
?
arctg?
2i?
?
7?
?
2?
?
?
26?
?
?
2k?
?
arctg?
?
?
2k?
?
?
?
7?
?
4）i8?
4i21?
i
解：
i8?
4i21?
i?
1?
4i?
i?
1?
3i
实部：
re?
i8?
4i21?
i?
?
1虚部：
im?
i?
4i
8
21
?
i?
?
?
3
共轭复数：
i8?
4i21?
i?
1?
3i模：
i?
4i
8
21
?
i?
1?
3
22
?
10
?
?
3?
?
?
2k?
?
?
arctg3?
2k?
1?
辐角：
arg?
i8?
4i21?
i?
?
arg?
i8?
4i21?
i?
?
2k?
?
arctg?
?
x?
1?
i?
y?
3?
5?
3i
2．当x、y等于什么实数时，等式?
1?
i成立？
解：
根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。
有：
x?
1?
i?
y?
3?
?
?
1?
i?
?
5?
3i?
?
2?
8i
?
x?
1?
x?
1?
2
?
?
?
y?
11y?
3?
8?
?
即x?
1、y?
11时，等式成立。
3．证明虚数单位i有这样的性质：
?
i?
i?
1?
i证明：
i?
1?
1i?
ii
2
?
?
i
i?
0?
i?
0?
i?
?
i?
?
i?
i4．证明1）z
2
?
1
?
i
?
z
证明：
设z?
x?
iy，则z?
x?
iy
?
z
2
?
?
x?
iy?
2
?
?
x?
y
2
22
?
2
?
x?
y
22
z?
?
x?
iy?
?
x?
iy?
?
x?
y
2
?
z
2
?
z
2）z1?
z2?
z1?
z2
证明：
设z1?
x1?
iy1，z2?
x2?
iy2，则有：
z1?
z2?
x1?
iy1?
x2?
iy2?
x1?
x2?
iy1?
y2?
?
x1?
x2?
?
i?
y1?
y2?
z1?
z2?
x1?
iy1?
x2?
iy2?
?
x1?
iy1?
?
?
x2?
iy2?
?
?
x1?
x2?
?
i?
y1?
y2?
?
z1?
z2?
z1?
z2
3）z1z2?
z1z2证明：
设z1?
r1e
i?
1
，z2?
r2e
1
i?
2
，则有：
?
r1r2e
2
z1z2?
r1ei?
r2ei?
1
2
i?
1?
?
2?
r1r2e
?
i?
2
?
i?
?
1?
?
2?
?
z1z2?
r1ei?
?
r2ei?
?
z1z2?
z1z2
?
z1?
z1?
?
?
z2?
04）?
?
z2?
z2?
?
r1e
?
i?
1
r2e?
r1r2e
?
i?
?
1?
?
2
证明：
设z1?
r1e
?
z1
?
?
z?
2
i?
1
，z2?
r2e
i?
2
，则有：
i?
?
r1e1r1r1i?
?
1?
?
2?
?
i?
?
1?
?
2?
?
?
?
e?
ei?
2?
rerr222?
z1z2
?
r1er2e
i?
1i?
2
?
r1er2e
?
i?
1?
i?
2
?
r1r2
e
?
i?
?
1?
?
2
?
?
z1z2?
z1z25）z?
z
证明：
设z?
x?
iy，则有
z?
x?
iy?
x?
iy?
x?
iy?
z
6）re?
z?
?
12
?
z?
z?
im?
z?
?
12i
?
z?
z?
证明：
设z?
x?
iy，则z?
x?
iy
121
?
z?
z?
?
?
z?
z?
?
12
?
x?
1
iy?
x?
iy?
?
x?
re?
z?
iy?
?
?
x?
iy?
?
?
12i
2i2i
2
?
?
x?
?
i2y?
?
y?
im?
z?
5．对任何z,z2?
z是否成立？
如果是，就给出证明。
如果不是，对哪些z值才成立？
解：
设z?
x?
iy，则有：
z2?
?
x?
iy?
?
x2?
2xyi?
y2z
2
2
?
?
x?
iy?
2
?
?
x?
iy?
2
?
x?
y
22
?
x2?
y2?
x2?
y2
?
z?
z?
?
?
y?
0
?
2xy?
0
2
2
故当y?
0，即z?
x?
iy是实数时，z?
z成立。
6．当z?
1时，求zn?
a的最大值，其中n为正整数，a为复数。
解：
z?
a?
z
n
n
2
2
?
a?
z
n
n
?
a
n
?
z?
1?
z?
1?
z?
a?
1?
a即z?
a?
1?
a
n
zn?
a的最大值是1?
a7．判定下列命题的真假：
1）若c为实常数，则c?
c；
解：
真命题。
因为实数的共轭复数就是它本身。
2）若z为纯虚数，则z?
z；
解：
真命题。
设z?
iy?
y?
0?
，则z?
?
iy，显然z?
z。
3）i?
2i；
解：
假命题。
两个不全为实数的复数不能比较大小。
4）零的幅角是零
解：
假命题。
复数0的幅角是任意的，也是无意义的。
5）仅存在一个数z，使得
1z
?
?
z；
解：
假命题。
有两个数z?
i,z?
?
i，使
1z
?
?
z成立。
6）z1?
z2?
z1?
z2；
解：
假命题。
设有两个数z1?
i,z2?
?
i，使z1?
z2?
z1?
z2不成立。
1i
7）z?
iz
1i
解：
真命题。
z?
?
iz?
iz
8．将下列复数化为三角表示式和指数表示式：
1）i
解：
r?
i?
1，arg?
i?
?
?
2
i
?
i?
co2）?
1
?
2
?
isin
?
2
?
2
?
e
解：
r?
?
1?
1，arg?
?
1?
?
?
?
?
1?
cos?
?
isin?
?
e3）1?
i3
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