成人高考高数二笔记定理及公式.docx

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成人高考高数二笔记定理及公式

第一章函数、极限和连续

§1.1函数

一、主要内容

㈠函数的概念

1.函数的定义：

y=f（x）,x€D

定义域：

D（f）,值域:

Z（f）.

2.分段函数：

3•隐函数：

F（x,y）=

4.反函数：

y=f（x）

f（x）xD1=t

g（x）xD2

0

-1

Tx=0（y）=f（y）

（x）

定理：

如果函数：

y=f（x）,D（f）=X,Z（f）=Y

是严格单调增加（或减少）的；

则它必定存在反函数：

-1-1-1

y=f（x）,D（f）=Y,Z（f）=X

且也是严格单调增加（或减少）的。

㈡函数的几何特性

1.函数的单调性：

y=f（x）,x€D,X1、D

当X1VX2时,若f（x1）wf（x2）,

则称f（x）在D内单调增加（）;

若f（x1）>f（x2）,

则称f（x）在D内单调减少（）;

若f（x1）Vf（x2）,

则称f（x）在D内严格单调增加（）;

若f（x1）>f（x2）,

则称f（x）在D内严格单调减少（）。

2.函数的奇偶性：

D（f）关于原点对称

偶函数：

f（-x）=f（x）

奇函数：

f（-x）=-f（x）

3.函数的周期性：

周期函数：

f（x+T）=f（x）,x€（-+8）

周期：

T――最小的正数

4.函数的有界性：

|f（x）|wM,x€（a,b）

㈢基本初等函数

1.常数函数：

y=c,（c为常数）

2.幕函数：

y=xn,（n为实数）

3.指数函数：

y=ax,（a>0、1）

4.对数函数：

y=logax,（a>0、a丰1）

5.三角函数：

y=sinx,y=conx

y=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx

6.反三角函数：

y=arcsinx,y=arcconx

y=arctanx,y=arccotx

㈣复合函数和初等函数

1.复合函数：

y=f（u）,u=

0（x）

y=f[0（x）],x

2.初等函数：

由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、数

减、乘、

除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函

§1.2极限

一、主要内容

㈠极限的概念

1•数列的极限:

lnmyn

称数列Yn以常数A为极限;

或称数列

}

收敛于A.

定理：

若

yn

的极限存在=

}

必定有界.

2.函数的极限:

时,

f（x）

的极限:

lim

x--：

：

lim

x>:

:

f（x）

f（x）

limf（xpA

x-:

:

Xo时,

f（x）

的极限:

lim

x‘Xo

f（x）

左极限:

limf（x）

X、x0

右极限:

limf（x）二A

x>X0

limf（xpA

定理：

XTX0

limf（x）二

㈡无穷大量和无穷小量

i.无穷大量：

limf（x）=

+QO

称在该变化过程中f（x）为无穷大量。

X再某个变化过程是指：

⑶函数极限存的充要条件:

limf（xpA

+Q0

X0,XX0,XXd

无穷小量：

limf（x）

称在该变化过程中f（X）为无穷小量。

无穷大量与无穷小量的关系:

limf（x）

定理：

无穷小量的比较:

lim

⑴若

lim

⑵若

，则称3是比

lim

lim

f（X）

二0,lim

a较高阶的无穷小量;

（f（x）0）

0

（C为常数），则称3与a同阶的无穷小量;

p

lim—

=1

⑶若:

.

，则称3与a是等价的无穷小量，记作：

3〜a；

p

lim_二

⑷若〉，则称3是比a较低阶的无穷小量。

则:

㈢两面夹定理

i.数列极限存在的判定准则:

设：

ynxnzn5=1、2、3…）

且:

limyjlimzja

且：

n_':

:

limx=a

则：

n，

2.函数极限存在的判定准则：

设：

对于点X0的某个邻域内的一切点

（点X0除外）有：

g（xpf（xph（x）

且:

xinmog（x）^

limh（x）二A

X、Xo

则！

吧f（X）=A

㈣极限的运算规则

若:

limu（x）二A,limv（x）二B

则：

①

lim[u（x）v（x）plimu（xplimv（xpAB

②lim[u（x）v（x）plimu（x）limv（xpAB

limu（x）_limu（x）_A

③v（x）limv（x）B（lim（x）=0）

推论：

①lim[6（x）±^（x）士土Un（x）]

二limu1（x）-limu2（x）limun（x）

㈤两个重要极限

lim0[f（X。

x）-f（x°）r0

x—0

limf（x）=f（xo）

20X>

xo

左连续:

limf（x）二

X>xo

f（Xo）

右连续:

limf（x）二

X>Xo'

f（Xo）

2.函数在

xo处连续的必要条件:

定理：

f（x）在Xo处连续—

f（x）在Xo处极限存在

3.

函数在Xo处连续的充要条件:

4.函数在a,b"上连续:

f（x）在'a,bI上每一点都连续。

在端点a和b连续是指:

X]m+f（x）=f（a）左端点右连续;

X」bmf（x）=f（b）右端点左连续。

a+ob-

5.

函数的间断点：

间断点有三种情况:

1°

）x（f在Xo处无定义;

limf（x）

2°x》X0不存在;

）x（f

在xo处有定义，且

limf（x）

x—•x0存在，

但limf（x）=f（Xo）

但x-x0。

两类间断点的判断：

1°第一类间断点：

limf（x）limf（x）

特点：

x》X。

和xyxo都存在。

可去间断点：

呵。

""存在，但

limf（xpf（x0））x（fx宀

x~x。

，或在x。

处无疋义。

2°第二类间断点：

limf（x）limf（x）

特点：

x》x0和xyxo/至少有一个为g,

limf（x）

或x~x°振荡不存在。

limf（x）limf（x）

无穷间断点：

x—x°和xyx0至少有一个为g㈡函数在Xo处连续的性质

i.连续函数的四则运算:

limf（x）

设xyx0

仏门吩妙g（X0）

1o

Iim[f（x）-g（x）]=f（xg）-g（xg）

2°

lim[f（x）

X'Xg

g（x）pf（xg）g（xg）

2.

lf

复合函数的连续性:

厂f（u）,

lim（x）

x，Xg

f（Xg）

g（x。

）

=（X）,

（xg）,

ximjgg（xrg

厂f[（x）]

u1^）""f[（x。

）]

limf[

则：

Xyxg

（x）]

f[lim

x，Xg

（X）rf[（xg）]

3.

反函数的连续性:

厂f（x）,

f,x）,

yg

=f（xg）

Iimf（x）

XTg

f（xg）

li

目、yg

mf

-1

（yrf（yg）

㈢函数在[a,b]上连续的性质

1•最大值与最小值定理:

f（x）在[a,b]上连续二

+M

y

M

f（x）在[a,b]上一定存在最大值与最小值。

-M

2.有界定理：

f（x）在［a,b］上连续

3•介值定理：

f（x）在［a,b］上连续

f（x）在[a,b]

上一定有界。

（a,b）

内至少存在一点

，使得:

f（）

x

推论：

f（x）在［a,b］上连续，且f（a）与f（b）异号

在（a,b）内至少存在-点「，使得：

f（）

4•初等函数的连续性：

初等函数在其定域区间内都是连续的。

第二章

一兀函数微分学

§2.1导数与微分

、主要内容

㈠导数的概念

i.导数：

y-

f（x）在Xo

的某个邻域内有定义,

A-

Ao

X

lim

X>Xo

X=Xo

2.左导数:

定理:

则:

（或:

mo

I>

X

x）f（Xo）

X

f（x）f（Xo）

XXo

f（Xo）

dy

dX

f（Xo）

右导数:

Xo

f（Xo）二

f（x）在Xo的左（或右）

f（X）f（Xo）

IX

f（x）f（Xo）

XXo

邻域上连续在

其内可导，且极限存在;

f（Xo）

f（Xo）

3•函数可导的必要条件:

lim

X>Xo

lim

XXo

定理：

X）在Xo处可导

4.函数可导的充要条件:

f（X）

f（X））

f（x）在Xo处连续

定理：

y

xFf（Xo）

且存在。

—

存在i

f（Xo）

f（Xo）,

5•导函数：

y=f（x）,

（a,b）

f（x）在（a,b）内处处可导。

6•导数的几何性质:

f（Xo）

是曲线

y=f（x）上点

MXo,yo

㈡求导法则

i•基本求导公式：

2•导数的四则运算：

uv）=

处切线的斜率。

0

Xo

f（Xo）

A

1o

2（uv）

二uvuv

（v

0）

3•复合函数的导数:

yf（u）,

（x）,

（x）]

dydydudxdudx，或

{f[（X）]}f[（X）]（X）

☆注意{f[（x）]}与

f[（X）]的区别:

{f[（X）]}表示复合函数对自变量X求导;

4•高阶导数:

f（x）,

f（x）,或f⑶（X）

（Z2,3,4）

f（n）（X）=[f（n"（x）],

函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。

㈢微分的概念

1.微分:

f（x）在x的某个邻域内有定义,

厂A（x）xo（x）

limo（x）0

阶的无穷小量，即：

x>0x

其中：

A（x）与x无关，o（x）是比较高

处可微，记作:

d厂A（x）x

d厂A（x）dx（x0）

2.导数与微分的等价关系:

且：

f（x）二A（x）

3.微分形式不变性：

dyf（u）du

不论U是自变量，还是中间变量，函数的

微分

dy

都具有相同的形式。

§2.2中值定理及导数的应用

一、主要内容

㈠中值定理

1•罗尔定理：

f（x）满足条件：

1°在［a,b］上连续；

2°在（a,b）内可导；

o

在（a,b）内至少

存在一点，

10在［a,b］上连续

2°在（a,b）内可导

在（a,b）内至少存

在一点，使得：

f（b）f（a）

ba

0

㈡罗必塔法则：

（，—型未定式）

0-

定理：

f（x）和g（x）满足条件：

limf（x）=0（或）

xya

iolimg（xp0（或）；

x—a

3。

a（:

：

）g（x）

A,（或^）

lim他

lim

f（x）

则：

x>aO:

）g（x）

x》a（：

：

）

g（x）

（或」

☆注意：

10法则的意义：

把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。

2。

若不满足法则的条件，不能使用法则。

即不是o型或二型时，不可求导。

3。

应用法则时，要分别对分子、分母

求导，而不是对整个分式求导。

4。

若f（x）和g（x）还满足法则的条件,

可以继续使用法则,

即:

lim

f（X）

lim

f（X）

x-a（）

g（x）

x-

a（）

g（x）

x-a（）

g（x）

A（或

5。

若函数是0

oO

型可采用代数变

形，化成0或：

:

型;

#曰若是

o0,0

型可

采用对数或指数变形,

化成

0_

0或—型。

㈢导数的应用

1.切线方程和法线方程:

切线方程：

y

f（x°）（xXo）

法线方程：

y

1

2x。

），（f（x0）0）

2.曲线的单调性:

设f（x）在（a,b）内有定义，Xo是（a,b）内的一点;

若对于x0的某个邻域内的任意点X=X。

，都有：

f（xo）f（x）[或f（xopf（x）]

则称f（xo）是f（x）的一个极大值（或极小值），

称x°为f（x）

的极大值点（或极小值点）。

⑵极值存在的必要条件:

f（Xo）=0

1°.f（x）存在极值f（x0）

定理:

20.f（x0）存在。

f（x0）是极值;x0是极值点。

⑶极值存在的充分条件:

定理一：

10.f（x）在x0处连续；

2°f（x0）=0或f（x0）不存在；-

3°.f'（x）过xo时变号。

\

则f（xo）为极大值;

当x渐增通过xo时，f（x）

由（-）变（

）；则f（x0）

为极小值。

10f（x°）=0;

定理二20.f（x0）存在。

f（x0）是极值;

x0是极值点。

若f（X。

）0，则f（x0）为极大值;

若f（X。

）0，则f（x0）

☆注意：

驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。

4.曲线的凹向及拐点：

为极小值。

⑴若

f（x）0,xa,b「则

f（x）在（a,b）内是上凹的（或凹的），出）；

1°.f（Xo）=0,

20.f"（x）过x0时变号。

j

⑶

5。

曲线的渐近线：

⑴水平渐近线：

若limf（xpA

x-一3

或limf（xpA

XT丿

⑵铅直渐近线：

若limf（x）

x>C"

或limf（x）

x>C

第三章一元函数积分学

§3.1不定积分

一、主要内容

㈠重要的概念及性质：

1•原函数：

设：

f（x），F（x），

Q0

I

J

Xo,f（xo）称为f（x）的拐点。

A是f（x）

y

的水平渐近线。

x=C是f（x）

的铅直渐近线。

若：

F（x）=f（x）

则称F（x）是f（x）的一个原函数,

并称F（x）+C是f（x）

的所有原函数，

其中c是任意常数。

2.不定积分:

函数f（x）的所有原函数的全体,

称为函数f（x）的不定积分；记作:

f（x）dx二F（x）C

其中：

f（x）

称为被积函数；

f（x）dx称为被积表达式；

X称为积分变量。

3.不定积分的性质：

f（x）dxf（x）

或:

（x）dx二f（x）C

或:

df（x）=f（x）C

⑶[fi（X）f2（X）fn（x）]dx

fdx）dxf2（x）dxfn（x）dx

—分项积分法

kf（x）dx=kf（x）dx（k为非零常数）

4.基本积分公式：

㈡换元积分法：

1•第一换元法：

（又称“凑微元”法）

f[（x）]（x）dxf[（x）】d（x）

凑微元

]\f（t）dt=F（t）+令t=（x）

1FT（x）]+C回代t』（x）

常用的凑微元函数有：

（m为常数）

1

3°

exdxd（ex）—d（aexb）

a

1

axdxd（ax）,（a0,a1）

Ina

1

—dx二d（lnx）

4°x

5sindxd（cosx）cosxdxd（sinx）

22

secxdxd（tan）cscxdxd（cox）

6°

1

\'1x2

dx二d（arcsinx）=

d（arccosx）

rJx2dx=

d（arcta）n

d（arcoX）

2•第二换元法:

（t）f[（t）]dxF（t）C

;FT&）】+C

反代t二1（x）

第二换元法主要是针对含有根式的被积函数,其作用是将根式有理化。

一般有以下几种代换：

i°x=tn,n为偶数时,t0

（当被积函数中有里x时）

2°x=asint,（或x=acosx）,0t

（当被积函数中有

（当被积函数中有

2，（0t

4°x=asect,（或x=acsct）,0-t

（当被积函数中有

㈢分部积分法：

1.分部积分公式:

2•分部积分法主要针对的类型:

⑴P（x）sinxdx,P（x）cosxdx

⑵P（x）exdx

⑶P（x）Inxdx

⑷P（x）arcsinxdx,P（x）arccosxdx

P（x）arctanxdx,P（x）arccotxdx

⑸eaxsinbxdx,eaxcosbxdx

nn-1

其中:

P（x）a°xaixan（多项式）

3.选u规律:

其余记作dv;简称“三多选多

⑵在指数函数乘多项式中，令

P（x）二u，

lnx=u，

其余记作dv;简称“指多选多

⑶在多项式乘对数函数中，令

其余记作dv;简称“多对选对

⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数

为u，其余记作dv;简称"多反选反”

⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数

为u，其余记作dv;简称"指三任选”

㈣简单有理函数积分：

2.

简单有理函数:

f（x）

P（x）

（xa）（xb）

定积分含四步：

分割、近似、求和、取极限。

定积分的几何意义：

是介于x轴，曲线y=f（X）,

直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。

x轴上方的面积取正号，y

x轴下方的面积取负号。

++

2.

定积分存在定理:

设：

yf（x）xa,b

若：

f（x）满足下列条件之一：

1.f（x）连续，xa,b;

2.f（x）在、a,b上有有限个第一类间断点；

3.f（x）在上单调有界;

则:

f（x）在ab上可积。

若积分存在，则积分值与以下因素无关：

bb

「与积分变量形式无关即hf（x）dx=Jf（t）dt;

aa

2与在a,b上的划分无关，即,b可以任意划分

3'与点：

i的选取无关，即i可以在Xi_i,x/上任意选取

积分值仅与被积函数f（x）与区间［a,b］有关。

3.牛顿莱布尼兹公式：

若F（x）是连续函数f（x）在［a,b上的任意一个原函数:

bb

贝卩：

：

f（x）dx=F（x）；=F（b）F（a）

a

*牛顿一一莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及

计算差量的问题。

4.

原函数存在定理:

若f（x）连续,xa,b］,

x

则：

（x）f（t）dt,Xa,b

a

（x）是f（x）在［a,b］上的一个原函数,

x

且：

（x）=（f（t）dt），f（x）

a

5.定积分的性质：

设f（x）,g（x）在［a,b］上可积，则

bb

1kf（x）dx二kf（x）dxaa

.ba

2f（x）dx=f（x）dx

ab

b

ag（x）dx

bb

3f（x）g（x）dx二f（x）dx

aa

ca

4

cb

=\f（x）dx+\f（x）dx（a

f（x）dx二0a

.b

5f（x）

a

b

b

x

7f（xpg（x）,（axb）

bb

则af（x）dxag（x）dx

8估值定理：

b

m（bapf（x）dx^M（ba）

a

其中m,M分别为（x）在a,b］上的最小值和最大值

（二）定积分的计算：

1.换元积分

设f（x）连续，x[a；b],x=（t）

若（t）连续，t'：

；」；

且当t从a变到戶时，®（t）单调地a变到b；

（）=a；（）=b；

2.

3.

4.

rbP

则：

f（x）dxf（t）「（t）dt

分部积分

b

\udvuva

广义积分

b

vdu

a

0:

:

f（x）dx二f（x）dxf（x）dx

定积分的导数公式

x

1（f（t）dt）x

a

（x）

2[f（t）dt]

2（x）

3[f（t）dt]x二

1（x）X

（三）定积分的应用

1.平面图形的面积：

1°由yf（x）0,

与x轴所围成的图形的面积y

b

f（x）dx

a

f（x）

f（x）「（x）

x

f（x）

2（X）「2（X）

f11（X）「i（x）

2由yif（x）,y2

g（x）,（f

a,x

4•求平面图形面积的步骤：

1.求出曲线的交点，画出草图；

2.确定积分变量，由交点确定积分上下限；

3.应用公式写出积分式，并进行计算。

2.旋转体的体积

与x=a,x=b所围成的图形的面积

b

s$f（x）g（x）dx

3°由x^（y）,X2=（y）,（）

与y=c,y=d所围成的图形的面积

d

s（y）（y）dy

c

第四章多元函数微积分初步

§4.1偏导数与全微分

主要内容：

㈠•多元函数的概念

3.二元函数的定义：

zf（x,y）（x,y）D

定义域：

D（f）

4.二元函数的几何意义：

二元函数是一个空间曲面。

（而一元函数是平面上的曲线）

㈡.二元函数的极限和连续：

1.极限定义：

设z=f（x,y）满足条件：

1在点（x0,y0）的某个领域内有定义。

（点（xo,yo）可除外）

2limf（x,y）A

x、Xo

yyo

则称z=f（x,y）在（x0,y0）极限存在，且等于A

2.连续定义：

设z=f（x,y）满足条件：

1在点（x0,y0）的某个领域内有定义。

2limf（x,y）=f（x°,y。

）

*、Xo

yyyo

则称zf（x,y）在（xo,yo）处连续。

㈢.偏导数：

定义:

f（x,y）,在（Xo，yo）点

f（X。

x,y°）f（x°,y°）

f（Xo,yoy）f（xo,y°）

fx（xo,yo）,fy（xo,yo）分别为函数f（x,y）在（x°,y。

）处对x,y