成人高考高数二笔记定理及公式.docx

1、成人高考高数二笔记定理及公式第一章函数、极限和连续 1.1 函数一、 主要内容函数的概念1.函数的定义：y=f(x), x D定义域：D(f), 值域:Z(f).2.分段函数：3隐函数：F(x,y)=4.反函数：y=f(x)f(x) x D1 =tg(x) x D20-1T x= 0 (y)=f (y)(x)定理：如果函数：y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：-1 -1 -1y=f (x), D(f )=Y, Z(f )=X且也是严格单调增加(或减少)的。函数的几何特性1.函数的单调性：y=f(x),x D,X1、D当 X1V X2 时,

2、若 f(x 1) w f(x 2),则称f(x)在D内单调增加();若 f(x 1) f(x 2),则称f(x)在D内单调减少();若 f(x 1) V f(x 2),则称f(x)在D内严格单调增加();若 f(x 1) f(x 2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x (- +8)周期：T最小的正数4.函数的有界性：|f(x)| w M , x (a,b)基本初等函数1.常数函数：y=c , (c为常数)2.幕函数： y=x n , (n

3、为实数)3.指数函数：y= ax , (a 0、1)4.对数函数： y=log a x ,(a 0、a 丰 1)5.三角函数： y=sin x , y=con xy=ta n x , y=cot x y=secx , y=cscx6.反三角函数： y=arcsin x, y=arccon xy=arcta n x, y=arccot x复合函数和初等函数1.复合函数：y=f(u) , u=0 (x)y=f 0 (x) , x2.初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、 数减、乘、除)和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函 1.2极限一、 主要内容极限的概念1数列的极限:lnm

4、yn称数列 Yn以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理：若yn的极限存在=必定有界.2.函数的极限:时,f(x)的极限:limx- -：limx :f(x)f(x)lim f (xp Ax-:Xo时,f(x)的极限:limx Xof(x)左极限:lim f (x)X、x0右极限:lim f (x)二 Ax X0lim f(xp A定理：XT X0lim f(x)二无穷大量和无穷小量i.无穷大量：lim f(x)=+ QO称在该变化过程中f(x)为无穷大量。X再某个变化过程是指：函数极限存的充要条件:lim f (xp Axo左连续:lim f (x)二X xof(Xo)右连续:lim f (x

5、)二X Xof (Xo)2.函数在xo处连续的必要条件:定理： f(x) 在Xo处连续f(x) 在Xo处极限存在3.函数在Xo处连续的充要条件:4.函数在a, b 上连续:f(x) 在a, b I上每一点都连续。在端点a和b连续是指:Xm+f(x)= f(a)左端点右连续;Xbmf(x)= f(b)右端点左连续。a+ o b-5.函数的间断点：间断点有三种情况:1)x(f 在Xo处无定义;lim f(x)2 xX0 不存在;)x(f在xo处有定义，且lim f (x)x x0 存在，但 lim f(x) = f(Xo)但 x- x0 。两类间断点的判断：1第一类间断点：lim f (x) li

6、mf(x)特点：xX。 和x y xo 都存在。可去间断点：呵。存在，但lim f (xp f (x0) )x( f x 宀x x。 ，或 在x。处无疋义。2第二类间断点：lim f (x) lim f (x)特点：xx0 和x y xo /至少有一个为g,lim f (x)或 x x 振荡不存在。lim f (x) lim f (x)无穷间断点：x x 和x y x0 至少有一个为g 函数在Xo处连续的性质i. 连续函数的四则运算:lim f (x)设 x y x0仏门吩妙g(X0)1oIim f (x) - g(x) = f (xg) - g(xg)2lim f (x)X Xgg(x)p

7、f(xg) g(xg)2.lf复合函数的连续性:厂 f(u),lim (x)x，Xgf (Xg)g(x。)=(X),(xg),ximjgg(xr g厂 f (x)u1) f (x。)lim f则：X y xg(x)flimx，Xg(X)r f (xg)3.反函数的连续性:厂 f(x),f ,x),yg=f(xg)I i mf (x)X Tgf (xg)l i目、ygmf-1(yr f (yg)函数在 a,b 上连续的性质1最大值与最小值定理:f (x)在a,b上连续二+MyMf(x) 在 a,b 上一定存在最大值与最小值。-M2.有界定理：f (x)在a, b 上 连续3介值定理：f (x)在

8、a,b上连续f (x)在a,b上一定有界。(a,b)内至少存在一点，使得:f()x推论：f(x)在a,b 上连续，且 f(a) 与 f (b)异号在 (a,b) 内至少存在-点，使得：f ()4初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一兀函数微分学 2.1导数与微分、主要内容导数的概念i.导数：y -f(x)在 Xo的某个邻域内有定义,A-AoXlimX XoX = Xo2.左导数:定理:则:(或:moI Xx) f(Xo)Xf(x) f(Xo)X Xof (Xo)dydXf (Xo)右导数:Xof (Xo)二f(x) 在Xo的左(或右)f(X) f(Xo)IXf(x) f(

9、Xo)X Xo邻域上连续在其内可导，且极限存在;f (Xo)f (Xo)3函数可导的必要条件:limX XolimX Xo定理： X) 在Xo处可导4.函数可导的充要条件:f (X)f (X)f(x) 在Xo处连续定理：yxF f (Xo)且存在。存在if (Xo)f (Xo),5导函数： y = f (x),(a,b)f(x) 在 (a,b) 内处处可导。6导数的几何性质:f (Xo)是曲线y= f (x)上点M Xo,yo求导法则i基本求导公式：2导数的四则运算：u v)=处切线的斜率。 0Xof (Xo)A1o2( u v)二 u v u v(v0)3复合函数的导数:y f(u),(x)

10、,(x)dy dy du dx du dx，或f (X) f (X) (X)注意f (x)与f (X)的区别:f (X) 表示复合函数对自变量 X求导;4高阶导数:f (x),f (x),或f(X)(Z 2,3,4 )f(n)(X)= f(n (x) ,函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。微分的概念1.微分:f(x) 在x的某个邻域内有定义,厂 A(x) x o( x)limo( x) 0阶的无穷小量，即：x 0 x其中： A(x)与 x 无关，o( x) 是比较高处可微，记作:d厂 A(x) xd厂 A(x)dx ( x 0)2.导数与微分的等价关系:且：f (x)二 A(x)3.微分形式

11、不变性：dy f (u)du不论U是自变量，还是中间变量，函数的微分dy都具有相同的形式。 2.2中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1罗尔定理： f(x) 满足条件：1在a,b上连续；2在(a,b)内可导；o在(a,b)内至少存在一点，10在a,b上连续2在(a,b)内可导在(a,b)内至少存在一点，使得：f(b) f(a)b a0罗必塔法则：(，型未定式)0 -定理： f (x)和 g(x) 满足条件：lim f(x)=0 (或)x y aiolim g(xp 0 (或)；x a3。a(:：)g(x)A,(或 )lim他limf (x)则：x aO:) g(x)xa(：)g(x)(或注

12、意：10法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2。若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是o型或二型时，不可求导。3。应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4。若 f (x)和 g (x) 还满足法则的条件,可以继续使用法则,即:limf(X)limf(X)x- a()g(x)x-a()g(x)x- a()g (x)A (或5。若函数是0oO,型可采用代数变形，化成0或：:型;#曰 若是,o0, 0型可采用对数或指数变形,化成0 _0或型。导数的应用1.切线方程和法线方程:切线方程：yf (x)(x Xo)法线方程：y12 x。)，(f(x0) 0)2.曲线

13、的单调性:设f (x)在(a,b)内有定义，Xo是(a,b)内的一点;若对于x0的某个邻域内的任意点X = X。，都有：f(xo) f(x)或f(xop f(x)则称f(xo)是f (x)的一个极大值(或极小值)，称x为 f(x)的极大值点(或极小值点)。极值存在的必要条件:f(Xo)= 01. f (x)存在极值f (x0)定理:20.f (x0)存在。f （x0）是极值; x0是极值点。极值存在的充分条件: 定理一：10. f (x)在x0处连续；2f (x0) = 0或f (x0)不存在；-3.f(x)过xo时变号。 则f（xo）为极大值;当x渐增通过xo时， f（x）由（-）变（）；则

14、 f（x0）为极小值。10f (x)= 0;定理二20.f (x0)存在。f （x0）是极值;x0是极值点。若f（X。）0，则f（x0）为极大值;若 f（X。）0，则 f（x0）注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4 .曲线的凹向及拐点：为极小值。若f (x) 0,x a,b则f （x）在（a,b）内是上凹的（或凹的），出）；1.f (Xo)= 0,20. f (x)过x0时变号。j5。曲线的渐近线：水平渐近线：若 l i mf (xp Ax- 一3或 l i mf (xp AXT 丿铅直渐近线：若 lim f (x)x C 或 lim f (x)x C第三章一元函数积分学 3.1

15、不定积分一、主要内容重要的概念及性质：1原函数：设：f(x)， F(x)，Q0IJXo, f (xo)称 为f (x)的拐点。A是f (x)y的水平渐近线。x = C 是 f (x)的铅直渐近线。若：F (x) = f (x)则称F (x)是f (x)的一个原函数,并称 F(x)+ C 是 f(x)的所有原函数，其中c是任意常数。2 .不定积分:函数f (x)的所有原函数的全体,称为函数f (x)的不定积分；记作:f (x)dx 二 F(x) C其中：f ( x)称为被积函数；f ( x)dx称为被积表达式；X 称为积分变量。3.不定积分的性质：f (x)dx f(x)或:(x)dx 二 f

16、(x) C或: df(x)= f(x) Cfi(X)f2(X) fn(x)dxfdx)dx f2(x)dx fn(x)dx分项积分法kf(x)dx = k f(x)dx (k 为非零常数)4.基本积分公式：换元积分法：1第一换元法：(又称“凑微元”法)f (x) (x)dx f (x)】d (x)凑微元 f(t)dt= F(t) + 令t= (x)1 FT (x)+ C 回代t(x)常用的凑微元函数有：(m为常数)13exdx d(ex) d(aex b)a1axdx d(ax), (a 0,a 1)Ina1dx二 d(ln x)4 x5 sindx d(cosx) cosxdx d(sinx

17、)2 2secxdx d( t a n) cscxdx d(cox)611 x2dx 二 d(arcsinx)=d(arccosx)rJx2dx=d( a r ct a)nd(a r c oX)2第二换元法:(t)f (t)dx F(t) C;FT &)】+ C反代t二1(x)第二换元法主要是针对含有根式的被积函数, 其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：i x= tn, n为偶数时,t 0（当被积函数中有里x时）2 x= asint,(或x= acosx), 0 t（当被积函数中有（当被积函数中有2，（0 t4 x= asect,(或x = acsct), 0- t（当被积函数中有分部积

18、分法：1.分部积分公式:2分部积分法主要针对的类型: P(x)sinxdx, P(x)cosxdx P(x)exdx P(x) In xdx P(x)arcsinxdx, P(x)arccosxdxP(x)arctan xdx, P(x)arccotxdx eaxsinbxdx, eax cosbxdxn n-1其中: P(x) ax aix an (多项式)3.选u规律:其余记作dv;简称“三多选多在指数函数乘多项式中，令P(x)二 u，ln x= u，其余记作dv;简称“指多选多在多项式乘对数函数中，令其余记作dv;简称“多对选对在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为u，其余记作dv;简称

19、多反选反”在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为u，其余记作dv;简称指三任选”简单有理函数积分：2.简单有理函数:f(x)P(x)(x a)(x b)定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于 x轴，曲线y=f(X),直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。x轴上方的面积取正号， yx轴下方的面积取负号。 + +2.定积分存在定理:设：y f(x) x a,b若：f(x)满足下列条件之一：1.f(x)连续，x a,b;2.f (x)在、a,b上有有限个第一类间断 点；3.f (x)在 上单调有界;则:f(x)在ab上可积。若积分存在，则积分值与以下因素无关：b b与积

20、分变量形式无关即h f(x)dx= J f(t)dt;a a2与在a,b上的划分无关，即,b可以任意划分3 与点：i的选取无关，即i可以在Xi_i,x/上任意选取积分值仅与被积函数f(x)与区间a,b有关。3.牛顿 莱布尼兹公式：若F(x)是连续函数f(x)在a,b上的任意一个原函数:b b贝卩：f(x)dx= F(x)；= F(b) F(a)a*牛顿一一莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4.原函数存在定理:若f (x)连续,x a,b,x则：(x) f (t)dt, X a,ba(x)是f (x)在a,b上的一个原函数,x且：

21、(x) = ( f(t)dt)，f(x)a5. 定积分的性质：设f(x), g(x)在a,b上可积，则b b1 kf(x)dx 二 k f (x)dx a a.b a2f (x)dx= f (x)dxa bbag(x)dxb b3f(x) g(x)dx 二 f (x)dxa ac a4c b= f(x)dx+ f(x)dx (a c b) a cf(x)dx 二 0 a.b5f (x)abbx7 f (xp g(x), (a x b)b b则 a f (x)dx a g(x)dx8估值定理：bm(b ap f(x)dx M(b a)a其中m, M分别为(x)在 a,b上的最小值和最大值(二)定

22、积分的计算：1.换元积分设f(x)连续，x a；b, x= (t)若(t)连续，t ：；且当t从a变到戶时， (t)单调地a变到b；()=a； ( ) = b；2.3.4.r b P则：f (x)dx f (t)(t)dt分部积分b u d v u v a广义积分bvd ua0 :f(x)dx 二 f(x)dx f (x)dx定积分的导数公式x1( f (t)dt)xa(x)2 f (t)dt2(x)3 f(t)dtx 二1(x) X(三)定积分的应用1. 平面图形的面积：1 由 y f (x) 0,与x轴所围成的图形的面积 ybf (x)dxaf(x)f (x)(x)xf(x)2(X)2(X

23、)f1 1(X)i(x)2 由 yi f (x), y2g(x), (fa, x4 求平面图形面积的步骤：1. 求出曲线的交点，画出草图；2. 确定积分变量，由交点确定积分上下限；3. 应用公式写出积分式，并进行计算。2. 旋转体的体积与x= a,x= b所围成的图形的面积bs $ f(x) g(x)dx3 由 x (y), X2= (y),( )与y= c, y = d所围成的图形的面积ds (y) (y) dyc第四章多元函数微积分初步 4.1偏导数与全微分主要内容：多元函数的概念3.二元函数的定义：z f(x,y) (x,y) D定义域：D(f)4.二元函数的几何意义：二元函数是一个空间

24、曲面。 (而一元函数是平面上的曲线). 二元函数的极限和连续：1.极限定义：设z=f(x,y)满足条件：1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。(点(xo, yo)可 除外)2 lim f(x,y) Ax、Xoy yo则称z= f (x, y)在(x0,y0)极限存在，且等于A2.连续定义：设z=f(x,y)满足条件：1在点(x0, y0)的某个领域内有定义。2 lim f(x,y)= f(x,y。)*、Xoy y yo则称z f (x, y)在(xo, yo)处连续。.偏导数：定义 :f (x,y),在(Xo，yo)点f(X。 x,y) f (x,y)f (Xo,yo y) f(xo,y)fx(xo,yo), fy(xo,yo)分别为函数 f(x,y)在(x,y。) 处对x, y