两个原理与排列.docx

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两个原理与排列

两个原理与排列

〖考纲要求〗掌握两个原理，并能用这两面个原理分析和解决一些简单的问题，理解排列的意义，掌握排列数公式，并能用它们解决一些简单的问题。

〖双基回顾〗

1、分类计数原理：

做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

2、分步计数原理：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn

种不同的方法。

3、排列的定义：

从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.由定义可知，两个排列相同，则这两个排列的元素和排列顺序均完全相同.

排列数：

从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，用符号

表示。

全排列：

_____________________________________________________________________

4、公式：

=____________________

=____________0！

=_____________

〖课前训练〗

1、已知a∈｛3,4,5｝，b∈｛0,2,7,8｝,r∈｛1,8,9｝则方程（x－a）2＋（y－b）2=r2可以表示_______个不同的圆。

2、若a∈｛1,2,3,5｝,b∈｛1,2,3,5｝则方程y=

表示的不同的直线条数为________。

3、一部纪录片在4个单位轮映，每一单位放映一场，可有_______种轮映次序。

4、若从集合P到集合Q=｛a、b、c｝所作的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同映射共有________个。

5、某赛季足球比赛的计分规则是：

胜一场得3分；平一场得1分；负一场得0分。

一球队打完15场，积分33分。

若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有………………………………（）

（A）3种子（B）4种（C）5种（D）6种

〖典例分析〗

例1、

（1）6名同学报名参加数学、物理、英语竞赛，每人报且仅报一科，则不同的报名方法共有多少种？

例2、要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午（前四节）、体育排在下午（后两节），求不同的排法种数。

例3、由0、1、2、3、4、5、6、可以组成多少个没有重复数字的

（1）五位数；

（2）五位偶数；（3）能被5整除的五位数；

（4）能被3整除的五位数；（5）比42000大的五位数.

〖课堂练习〗

1、4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起的排法有…………………（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2、A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数为（）

（A）60（B）48（C）36（D）24

3、210的所有正约数的个数共有………………………………………………（）

（A）12个（B）14个（C）16个（D）20个

4、在5名运动员中，选4名参加4×100米接力赛，甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法不多少种？

〖课堂小结〗

1、分类计数原理与分步计数原理的区别在于完成一件事是______还是______。

若是分类，则N=m1＋m2…+mn;若是分步，则N=m1·m2…mn

2排列问题的解题思想方法：

（1）直接法——体现合理分类（不重不漏）；

（2）间接法——体现逆向思维（正难则反）

〖能力测试〗

1、集合A=｛a,b,c｝,B=｛d,e,f,g｝,从集合A到集合B的不同映射个数是……………（）

（A）24（B）81（C）6（D）64

2、要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数有……（）

（A）

（B）

（C）

（D）

3、用1、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）个

（A）24（B）30（C）40（D）60

4、有四位司机，四位售票员分配到四辆公共汽车上，使每辆汽车有一位司机和一位售票员，则可能有的分配方案种数为…（）

（A）

（B）

（C）

（D）

5、将三封信投入4个不同的邮筒，有________不同的投法，4名学生从3个不同的楼梯下楼，有________种不同的下法。

6从0、1、2、3、4五个数字中，任选3个作为二次函数的系数（各项系数均不相同），可以得到二次函数_________个。

7、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式为________种。

8、甲厂生产的电视机外壳有3种，颜色有4种；乙厂生产的电视机外壳另有4种，颜色另有5种，问两个厂的电视机从外壳、颜色看共有多少种？

9、

（1）由数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有复数字的正整数？

（2）由数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有复数字，并且比13000大的正整数？

10、5名学生站成一排，其中A不排站在两端，B不能站在正中间，求不同的排法种数。

组合与组合数

〖考纲要求〗理解组合的意义，掌握组合数的计算公式和组合数性质，能解决简单的组合应用题。

〖双基回顾〗

1、组合的定义：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

2、组合数：

从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，用符号

表示.

3、组合数公式：

（1）

______________________

（2）

_______________________.

4、组合数性质：

（1）______________________

（2）____________________________.

〖课前训练〗

1、某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有……………………………（）种。

（A）126（B）84（C）35（D）21

2、某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法共有………………………………………………………（）种。

（A）27（B）48（C）21（D）24

3、已知｛1，2｝

Z

｛1，2，3，4，5｝，满足这个关系式的集合Z共有…（）个。

（A）2（B）6（C）4（D）8

4某毛巾厂生产的毛巾，每100条毛巾中有次品5条，在抽样检查时，抽三条进行检查。

（1）共有_________种抽法。

（2）恰有一条次品的抽法有____________种。

（3）至少有一条次品的抽法有__________种。

（4）最多有一条次品的抽法有__________种。

〖典例解析〗

例1、设M和N是不重合的两个平面，在平面M上有5个点，在平面N上有4个点，由这些点最多可确定多少个不同位置的三棱锥（请用直接法和间接法两种方法解）？

例2、10名演员，其中5名能歌，8名善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由一人独唱四人伴舞的节目，共有几种选法？

例3、二次函数y=ax2＋bx＋c的系数a、b、c是取自0，1，2，3，4这五个数中不同的值且a＞b,求这样的二次函数共有多少个？

〖课堂小结〗

1、组合数公式有连乘和阶乘两种形式，常分别用计算和证明。

组合数的性质常用于等式证明和简化计算。

2、解有限制条件的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（逆向思维）。

3、解组合应用题时，注意“至少”、“最多”、“恰好”等词的含义。

〖能力测试〗

1、四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱中点中取三个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有………………（）种。

（A）36（B）33（C）30（D）39

2、在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少2件次品的抽法

有（）种。

（A）

（B）

－

（C）

＋

（D）

－

3三名医生和六名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配一名医生和二名护士，不同的分配方法共有…………（）种。

（A）90（B）180（C）270（D）540

4、五项不同的工程由3个工程队全部承包下来，每队至少承包一项一程，则不同的承包方案有（）种。

（A）30（B）60（C）150（D）180

5、从1、2、……10这十个数字中任取四个数，使它们的和为奇数，共有___________取法。

6、从一组学生中选出四名学生当代表的选法有A种，从这组学生中选正、副组长各一人的选法有B种，若

=

，问这组学生共有多少人？

7、在一次考试中，要求学生做试卷中10个考题中的6个，并且要求至少包含后5题中的3个题，则考生答题的不同选法种类是多少？

9、某车间生产出某种产品50件，其中3件是次品，其余47件是合格品，从这50件产品中任意抽取5件，求其中至少有两件是次品的概率是多少？

排列、组合应用题

【考纲要求】

能正确地运用两个原理，合理地进行分类与分步，掌握解排列、组合混合题的一般方法。

方案合理，步、类分清；有序排列，无序组合；类型对准；混合应用，先组合后排列。

【课前练习】

1、乒乓球队的10名队员中，有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名队员安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有……………………………………………………………………………………（）种

（A）84（B）126（C）210（D）252

2、三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，共有出场方案…………………………………………（）种

（A）

（B）

（C）

（D）

3、5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，若甲球必须放入A盒，则不同的放入总数是……………………………………………………………………（）

（A）120（B）72（C）60（D）36

4、从5男4女中选4位代表，其中至少有两位男同志和至少一位女同志，分别到四个不同的工厂调查，不同的选派方法有……………………………………………………（）种

（A）100（B）400（C）480（D）2400

5、某小组有8名学生，从中选出2名男生，1名女生，分别参加数、理、化单科比赛，每人参加一种，共有90种不同的参赛方案，则男、女的人数应是……………………（）

（A）男6名，女2名（B）男5名，女3名

（C）男3名，女5名（D）男2名，女6名

6、从1、3、5、7、9中任选取3个数字，从2、4、6、8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位位数，一共可组成_______________个数

7、由1、2、3、4、5、6、7这七个数字构成的七位正整数中，有且仅有两个偶数相邻的个数是_______________种

8、用0，1，2……，9这十个数字组成的五位数，其中含有3个奇数数字与两个偶数数字的五位数有_______________个

9、在三张卡片的正反两面上，分别写有数字1和2，4和5，7和8，若将它们并排组成三位数，则不同的三位数的个数是_______________个

【典型例题】

例1、马路上有编号1，2，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，求满足条件的关灯方法种数？

例2、6本不同的书，按如下方法分配，各有多少种分法：

（1）分给甲、乙、丙3人，每人各得2本；

（2）分给甲、乙、丙3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；

（3）分给甲、乙、丙3人，其中一人得1本，其中一人得2本，其中一人得3本。

例3、把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，

（1）若每个阅览室至少分一本，共有多少种分发？

（2）若每个阅览室分得的书本数不小于其编号数，试求不同的分发种数。

例4、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分

（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且

相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有

种.（以数字作答）

【课堂小结】

1、解排列组合应用题，注意“先组后排”的方法，大都结合两个原理需要分类、分步计算

2、对较难直接解决的问题，则可用简接法，但应做到不重不漏，此法体现递向思维即“正难则反”原则。

【课堂练习】

1、某车队有8辆车，现在要调出4辆车按一定顺序去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且乙车要在甲车前开出，则不同的调度方法有多少种？

2、从6名师范大学毕业生中选取4人到编号为1，2，3，4的四所中学任教，每校1人，若甲、乙两人必须入选，且甲、乙所在学校必须相邻，不同的选取方法有多少种？

3、某单位有三个科室，为实现减员增效，每科室抽调2人去参加再就业培训，培训后这6人中有2人回原单位，但不回原科室工作，且每科室至多安排1人，共有多少种不同的安排方法？

【能力测试】

1、从A、B、C、D、E五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竟赛，则不同的参赛方案种数为………………………………（）

（A）24（B）72（C）120（D）48

2、七个人坐成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变，也不能相邻，则不同的排法种数为………………………………………………………………………………………（）

（A）

（B）

（C）

（D）

3、下列问题中，答案为

的是…………………………………………………………（）

（A）6男6女排成一行，同性都不相邻的排法数.

（B）6男6女排成一行，女性都不相邻的排法数.

（C）6男6女分到六个不同的兴趣小组，每组一男一女的分法数.

（D）6男6女排成前后两排的排法数

4、从7盆不同的盆花中选出5盆摆在主席台前，其中不两盆花不摆放在正中间，则一共有_________种不同的摆放方法。

5、用5种不同的颜色给图中的4处涂色，

则涂色方法共有种。

二项式定理

【考纲要求】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能运用它们计算和论证一些简单问题。

【基础知识】

1.二项式定理：

2.二项式通项公式：

（r=0,1,2,…,n）

3.二项式系数的性质：

的展开式的二项式系数有如下性质：

（1）在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。

（2）如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。

（3）

（4）

（奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和）

4.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,…,an的性质：

f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3……+anxn

⑴a0+a1+a2+a3……+an=f

（1）⑵a0-a1+a2-a3……+（-1）nan=f（-1）

⑶a0+a2+a4+a6……=

⑷a1+a3+a5+a7……=

⑸a0=f（0）⑹|a0|+|a1|+|a2|+|a3|……+|an|=

5.注意

（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。

（2）“某项”、“某项的二项式系数”、“某项的系数”之间的区别

【课前练习】

1、设S=（x－1）4+4（x－1）3+6（x－1）2+4（x－1）+1，它等于下式中的………………………（）

（A）（x－2）4（B）（x－1）4（C）x4（D）（x+1）4

2、

展开所得关于x的多项式中系数为有理数的共有……………（）项.

（A）50（B）17（C）16（D）15

3、

展开式中的常数项是………………………………………………（）.

（A）－20（B）－12（C）－8（D）20

4、设n为自然数，则

等于…………（）

（A）（B）0（C）－1（D）1

5、（1－x3）（1+x）10展开式中x5的系数是_______.

6．（2x+

）4的展开式中x3的系数是

A.6B.12C.24D.48

7（2x3－

）7的展开式中常数项是

A.14B.－14C.42D.－42

8如果

的展开式中各项系数之和为128，则展开式中

的系数是（）

（A）7（B）

（C）21（D）

9若

展开式中含

项的系数与含

项的系数之比为-5，则n等于（）

（A）4；（B）5；（C）6；（D）10。

10在（1+2x）n展开式中含x3的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（）

（A）5；（B）7；（C）9；（D）11。

典型例题分析

例1、求（1+x－2x2）5的展开式中x4项的系数.

例2、已知

展开式中前3项的系数成等差数列，求展开式中x的整数次幂项.

例3、设（2－x）8=a0+a1x+a2x2+

+a8x8，求：

（1）a1+a2+

a8的值

（2）a2+a4+a6+a8的值

（3）|a0|+|a1|+|a2|+

+|a8|的值.

【课堂小结】

1、要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式；2、要注意区分项的系数与项的二项式系数；3、要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用。

4、求系数和或部分系数和时，通常用赋值法；5、运用系数最大值性质时应注意区分n是偶数还是奇数；

6、通项公式及其应用是复习二项式定理的基本问题，要达到熟练的程度；

【课堂练习】

1、

展开式中的常数项是……………………………………………………（）.

（A）1（B）40（C）41（D）39

2、二项式

展开式的整数项是第…………………………………………（）项

（A）15（B）14（C）13（D）12

3、（x2+3x+2）5展开式中，x的系数为……………………………………………………（）

（A）160（B）240（C）360（D）800

4、（x+a）7的展开式x4项的系数是－280，则a=__________.

【能力测试】

1若

，则n=…………………………（）

（A）5（B）6（C）7（D）8

2、在

展开式中，所有奇数项之和为1024，则中间项系数是………………（）

（A）330（B）462（C）682（D）792

3、（a+b）n的展开式中，各项系数和为256，则系数最大的项是第…………………（）项

（A）4（B）5（C）6（D）7

4、（2x+y－z）6展开式中，x3y2z项的系数为…………（）

（A）480（B）160（C）－480（D）－160

5、19908除以7得余数为…………………（）

（A）5（B）4（C）2（D）1

7、（x+2）10（x2-1）的展开式中x的系数为

8、若（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,a3=a12，则自然数n=________.

9、若（1+x）8（x≠0）展开式中间三项成等差数列，则x=______.

10、（x3+

展开式中，只有第6项的系数最大，展开式中的常数项是___________.

11、若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+…+1（n∈N），且a:

b=3:

1，则n=___________.

12若（x3+

）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________.

13、在

的展开式中，各项的二项式系数之和为256，求展开式中x的整数次幂的各项.