天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题答案.docx
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天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题答案
天津理工大学《离散数学》第一章检测题答案
一、填空题（每空2分，共
30分）
1．P
Q
2．
P
Q
3．→，
，∧，
，
，
，
，
c
。
4．（PQ
R）（P
Q
R）（P
QR），
（PQR）（PQ
R）（P
Q
R）（P
QR）（P
Q
R）
5．（P
Q）
（P
（RS））
6．
Q
P7．（P
Q）
（Q
P）
二、单项选择题（每小题
2分，共20分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
D
B
C
B
C
D
A
A
C
B
三、简答题（每小题6分，共12分）
1．构造命题公式P（QR）的真值表．
P
Q
R
Q
R
P（QR）
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
2．求命题公式
（（P
Q）
R）
P的主析取范式和主合取范式。
（（P
Q）
R）
P
（（P
Q）R）
分
（（P
分
P1
Q）R）P1
（P
R）
（Q
R）
P
P
（Q
R）
（P
（Q
Q）
（R
R））
（（P
P）
（Q
分
R））1
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）（P
Q
R）
（PQ
R）
（P
Q
分
R）1
-1-
（PQR）（P
QR）（PQ
R）（P
QR）（PQR）
m2
m4
m5m6
m7（
这是主析取范式））
分
1
M0
M1
这是主合取范式）
M3（
（P
Q
R）（P
Q
R）
（P
Q
分
R）1
3．判断命题公式（P
Q）
（P
R）与
（P
Q
R）是否等价。
解：
A（PQ）（P
R）
（PQ）（PR）
BP（QR）
P（QR）
（PQ）（PR）
等价
四．证明题
（共32分）
１．（10分）用CP规则证明P（
Q
R）,Q
（R
S）,PQ
S；
1.
P
P
6.
（R
S）
T（4,5）I（2分）
2.
P
（Q
R）
P
7.
R
T（3,4）I（2分）
3.
Q
R
T（1,2）I
（2
分）
8.
S
T（6,7）I（2分）
4.
Q
P（附加前提）
9.
（Q
S）
CP（2分）
5.
Q
（R
S）
P
２．（10分）用归谬法证明
AB,（CB）,CS．A
证:
1
A
P（附加前提）（1分）2
A
B
P
3
B
T1,2I
（2分）
4
C
B
P
5
C
T3,4I
（2分）
6
C
S
P
7
C
T6I
（2分）
8
C
C
T5,7I（2分）
由8得出了矛盾，根据归谬法说明原推理正确（
1分）
3．（12分）公安人员审理某珠宝商店的钻石项链的失窃案，已知侦察结果如下：
（1）营业员A或B盗窃了钻石项链
（2）若B作案，则作案时间不在营业时间
-2-
（3）若A提供的证词正确，则货柜未上锁
（4）若A提供的证词不正确，则作案发生在营业时间
（5）货柜上了锁
试问：
作案者是谁？
要求写出推理过程。
解：
令A表示“营业员A盗窃了钻石项链”；B表示“营业员B盗窃了钻石项链”；P表示“作案时间在营业时间”；Q表示“A提供的证词正确”；R表示“货柜上
了锁”。
则侦察结果如下：
AB，B
P，Q
R，Q
P，R．由此可推出作案者是A．（4分）
推理过程如下：
（1）
R
P
（6）
B
PP
（2）
Q
R
P
（7）
B
T（5），（6）
I（2
分）
（3）
Q
T
（1），
（2）
I（2分）（8）
AB
P
（4）
Q
P
P
（9）
A
T（7），（8）
I（2
分）
（5）
P
T（3），（4）I
（2分）
天津理工大学《离散数学》第二章检测题答案
一、填空题（每空3分，共30分）
1．（x）（G（x）
F（x））
（
x）（F（x）
G（x））
或（x）（G（x）
F（x））（y）（F（y）
G（y））
2．（
x）（
z）（w）[（P（x）
R（x,w））
（Q（z,y）
R（x,w））]
3．P（a）
P（b）
P（c）
（Q（a）Q（b）
Q（c））
4．（
P（a）
P（b）
P（c））
（P（a）
P（b）
P（c））
5．P（x）,（x）（
y）P（x,y）
6．
x,y；y
）
7．
（P（x）
yR（x,y））
8．
（
x）（
F（x）
G（x））
（
二、单项选择题（每小题
2分，共
20分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
A
A
B
D
C
A
C
C
B
D
-3-
三、
简答题（每小题
6分，共12
分）
1．求謂词公式（
x）（P（x）
Q（x,y））
（（y）P（y）（z）Q（y,z））的前束析取范式．
（
x）（P（x）
Q（x,y））
（（
y）P（y）
（
z）Q（y,z））
（x）（
P（x）
Q（x,y））
（（
y）P（y）
（z）Q（y,z））
x（P（x）
Q（x,y））
（（
y）P（y）
（
z）Q（y,z））
x（P（x）
Q（x,y））
（（
u）P（u）
（
z）Q（y,z））
（x）（u）（z）[（P（x）
Q（x,y））
（P（u）Q（y,z））]
2．证明：
x（P（x）
Q（x））
xP（x）
xQ（x）
证：
左式
x（P（x）
Q（x））
（
P（x）Q（x））
x
x（P（x））
xQ（x）
xP（x）
xQ（x）
xP（x）
xQ（x））
四．证明题（共38分）
1．（12分）用谓词演算的推理规则证明:
x（P（x）
Q（x）），x（Q（x）R（x）
S（x）），P（a）
R（a）S（a）
（1）x（P（x）
Q（x））
P
（2）P（a）
Q（a）
US
（1）
（2分）
（3）P（a）
R（a）
P
（4）Q（a）
T
（2）（3）
I
（2分）
（5）x（Q（x）
R（x）
S（x））
P
（6）Q（a）
R（a）
S（a）
US（5）
（2分）
（7）R（a）
T（3）
I
（2分）
（8）Q（a）
R（a）
T（4）（7）
I
（2分）
（9）S（a）
T（6）（8）
I
（2分）
2．（10分）指出下面推理证明过程中的错误，并给出正确的证明．
用谓词演算的推理规则证明：
-4-
x（Q（x）
R（x））
x（Q（x）
Z（x））
x（R（x）Z（x））
证:
：
（1）
x（Q（x）
R（x））
P
（6）
Z（a）
T（4）I
（2）
Q（a）
R（a）
US
（1）
（7）
R（a）
T
（2）,（5）I
（3）
x（Q（x）Z（x））
P
（8）
R（a）Z（a）
T（6）,（7）I
（4）
Q（a）Z（a）
ES（3）
（9）
x（R（x）Z（x））EG（8）
（5）
Q（a）
T（4）
I
该证明的错误在于:
（1）、
（2）与（3）、（4）的顺序颠倒了，应该先指定存在后指定全称。
（2分）正确的证明是：
（4分）
（1）
x（Q（x）Z（x））
P
（6）
Z（a）
T
（2）I
（1分）
（2）
Q（a）Z（a）
ES
（1）（2
分）
（7）
R（a）
T（4）,（5）I
（1分）
（3）
x（Q（x）
R（x））
P
（8）
R（a）Z（a）
T（6）,（7）I（1
分）
（4）
Q（a）
R（a）
US（3）（2
分）
（9）
x（R（x）Z（x））EG（8）
（
1分）
（5）
Q（a）
T
（2）
I
3．（16分）符号化下列命题并推证其结论．
任何人如果他喜欢音乐,他就不喜欢体育．每个人或者喜欢体育，或者喜欢美术．有的人不喜欢美术．因而有的人不喜欢音乐．（设M（x）：
x喜欢音乐，
S（x）：
x喜欢体育，Ａ（x）：
ｘ喜欢美术．）
该推理符号化为：
（x（M（x）S（x））x（S（x）A（x））xA（x））（x或Mx
前提：
x（M（x）S（x））,x（S（x）A（x））,xA（x）
结论：
xM（x）（4分）
证：
（1）xA（x）P
（2）A（a）ES
（1）（2分）
（3）x（S（x）A（x））P（4）S（a）A（a）US（3）（2分）
（5）S（a）T
（2）（4）I（2分）（6）x（M（x）S（x））P
-5-
（7）M（a）
S（a）US（6）（2
分）（8）S（a）
M（a）T（7）E（1
分）
（9）M（a）
T（5）（8）I（2分）（10）xM（x）
EG（9）（1分）
天津理工大学《离散数学》第三、四章检测题答案
一、填空题（每空
2分，共
40分）
1．n
2n
２．{
{
{}},
{
{
}},{
}}
3．
{
{{a,{b,c}}}}
1
0
0
5．R
R1；
Ri
6．IA，
0
1
0
4．反对称，传递。
或单位矩阵
i
1
0
0
1
7．4,6
，
2,3
，
无
，
无
，
12
，
1
。
8．f1
{
0,
{
},1},
f2
{
1
{
},0
}。
9．单射，满射；既是单射又是满射；
IB；IA
二、单项选择题（每小题
2分，共
20分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
（1）
（2）
（1）
（3）
（2）
（2）
（1）
（3）
（3）
（1）
三、简答题（共30分）
1．（6分）设A={1,2,3,5,6,10,15,30}，“／”为集合A上的整除关系。
〈A，／〉是否为偏
序集?
若是，画出其哈斯图；
解：
〈A，／〉是偏序集。
其哈斯图为：
2．（12分）对下图所给的偏序集A,，求下表所列集合的上（下）界，上（下）确界，并
将结果填入表中。
子集上界下界上确界下确界
-6-
{a,b,c}
a
d
a
d
a,c
无
c
无
{c,d,e}
A
a
无
a
无
3．（6分）设A={1,2,3,4,5,6}
，集合A上的关系
R={〈1,3〉,〈1,5〉,〈2,5〉,〈4,4〉,〈4,5〉,〈5,4〉,〈6,3〉,〈6,6〉}。
（1）画出R的关系图，并求它的关系矩阵；
（2）求r（R）,S（R）及t（R）。
解：
（1）R的关系图为
R的关系矩阵为
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
MR
0
0
1
1
（2分）
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
（2）r（R）R{1,1,2,2,3,3,
5,5}，（1分）
S（R）R{3,1,5,1,5,2,（3,16分}）
t（R）R{1,4,
2,4
5,5}
（2分）
4．设Z是整数集，R是Z上的模
3同余关系，即R
{x,yx,yZ,xy（mod3）}，试
根据等价关系R决定Z的一个划分
。
答案：
由R决定的Z的划分为：
{
0R,1R,2R}，
其中：
0R
{
9,
6,
3,0,3,6,9,}
1R
{
8,5,
2,1,4,7,
}
2R
{
7,
4,
1,2,5,8,
}
-7-
四．证明题（共10分）
１．设a,bR,a
b,定义f:
[a,b]
[0,1]为
x
a
f（x）
，证明：
f是双射，并求出
b
a
其逆映射。
证：
1）先证明f是入射（2分）
对任意的x1,x2
a,b,若f（x1）
f（x2）,则有x1
a
x2
a，从而有x1
x2，
b
a
b
a
故f是入射。
2）再证明f是满射（2分）
对任意的y0,1,
都存在x（b
a）yaa,b,使得f（x）
y,从而f是满射。
综合
（1）、
（2）知f是双射。
1
为
f
1
x
b
axa
，对任意
x0,1
。
（1
分）
f:
[0,1][a,b]
（）
（
）
天津理工大学《离散数学》第五章检测题答案
一、填空题（每空2分，共30分）
1.b1a1
2．a
3．,S,S,
4．a；1
5．S关于
运算不封闭
6．2，a1
4a
7循环群，生成元
8．
12
111
212
9．B关于封闭
二、单项选择题（每小题2分，共20分）
12345678910得分
BCAABDDCBD
三、简答题（共30分）
1．设是实数集R上的二元运算，其定义如下：
abab2ab
（1）求23，3（-5）和71/2。
-8-
（2）R,是半群吗？
可交换吗？
（3）求R中关于的单位元。
（4）R中哪些元素有逆元素，其逆元素是什么？
答案：
（1）17，-32，14.5。
2）R,是半群，可交换。
（3）0。
（4）当aR,a
1/2
时，a有逆元素，a1
a/（12a）。
2．设A{a,b,c,d}，A,
是交换群，a是A,
的单位元。
的运算表如下：
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
x1
x2
c
c
x4
a
x3
d
d
x5
x6
a
求x1,x2,x3,x4,x5,x6，并说明道理。
答案：
x1d,x2c,x3b,x4d,x5c,x6b。
因为有限群的运算表中的每行、每列都
是群中元素的一个置换。
3．设集合G{1,3,4,5,9}，是定义在G上的模11乘法（即任意a,b∈G，有
a*b=（a×b）（mod11），×是普通乘法），问G,是循环群吗？
若是，试找出它的生
成元。
答：
G,的运算表如下表所示。
1
3
4
5
9
1
1
3
4
5
9
3
3
9
1
4
5
4
4
1
5
9
3
5
5
4
9
3
1
9
9
5
3
1
4
从运算表可知，
在G上封闭、有幺元
1，且1
35,331,434,533,932，再
由是可结合的得
G,是循环群，3，4，5和9均为其生成元。
-9-
四．证明题（共20分）
１．（4分）设G,是独异点，e为其幺元，且对aG，有aae，证明
G,是一个交换群。
证明：
对aG，由于aae，则a1a，即G中的每一个元素a都有逆元
素,故G,是一个群。
又对a,bG，有
aba1b1（ba）1ba，
所以G,是一个Abel群。
２．（6分）设G,是一个群，aG，f:
GG，xG，有
f（x）axa1
试证明f是G,一个自同构．
证：
首先证明f是入射。
（3分）
对x1,x2G,若f（x1）f（x2）,则有ax1a1ax2a1,该式两边同时左乘a1及右乘a,得x1x2,故f为入射f.
其次证明f是满射。
对yG,都存在xa1yaG,使得yf（x）,因此f是满射.
综合以上两点，知f是双射。
（3分）
最后,对x1,x2G,都有f（x1x2）ax1x2a1（ax1a1）（ax2a1）
f（x1）f（x2）,从而f是G到G的自同构.
天津理工大学《离散数学》第六章检测题答案
一、填空题（每空2分，共40分）
.
上确界和下确界，
a
，b
2．至少有一个补元素，不一定
3．0，1；1，0
1
-10-
4．aa1,a
a
05．a
b；a
b
6．
An
，A
2n
A
二、单项选择题（每小题2分，共20分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
D
C
B
C
A
D
A
B
D
D
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