天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题答案.docx
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天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题答案
天津理工大学《离散数学》第一章检测题答案
一、填空题(每空2分,共
30分)
1.P
Q
2.
P
Q
3.→,
,∧,
,
,
,
,
c
。
4.(PQ
R)(P
Q
R)(P
QR),
(PQR)(PQ
R)(P
Q
R)(P
QR)(P
Q
R)
5.(P
Q)
(P
(RS))
6.
Q
P7.(P
Q)
(Q
P)
二、单项选择题(每小题
2分,共20分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
D
B
C
B
C
D
A
A
C
B
三、简答题(每小题6分,共12分)
1.构造命题公式P(QR)的真值表.
P
Q
R
Q
R
P(QR)
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
2.求命题公式
((P
Q)
R)
P的主析取范式和主合取范式。
((P
Q)
R)
P
((P
Q)R)
分
((P
分
P1
Q)R)P1
(P
R)
(Q
R)
P
P
(Q
R)
(P
(Q
Q)
(R
R))
((P
P)
(Q
分
R))1
(P
Q
R)
(P
Q
R)
(P
Q
R)(P
Q
R)
(PQ
R)
(P
Q
分
R)1
-1-
(PQR)(P
QR)(PQ
R)(P
QR)(PQR)
m2
m4
m5m6
m7(
这是主析取范式))
分
1
M0
M1
这是主合取范式)
M3(
(P
Q
R)(P
Q
R)
(P
Q
分
R)1
3.判断命题公式(P
Q)
(P
R)与
(P
Q
R)是否等价。
解:
A(PQ)(P
R)
(PQ)(PR)
BP(QR)
P(QR)
(PQ)(PR)
等价
四.证明题
(共32分)
1.(10分)用CP规则证明P(
Q
R),Q
(R
S),PQ
S;
1.
P
P
6.
(R
S)
T(4,5)I(2分)
2.
P
(Q
R)
P
7.
R
T(3,4)I(2分)
3.
Q
R
T(1,2)I
(2
分)
8.
S
T(6,7)I(2分)
4.
Q
P(附加前提)
9.
(Q
S)
CP(2分)
5.
Q
(R
S)
P
2.(10分)用归谬法证明
AB,(CB),CS.A
证:
1
A
P(附加前提)(1分)2
A
B
P
3
B
T1,2I
(2分)
4
C
B
P
5
C
T3,4I
(2分)
6
C
S
P
7
C
T6I
(2分)
8
C
C
T5,7I(2分)
由8得出了矛盾,根据归谬法说明原推理正确(
1分)
3.(12分)公安人员审理某珠宝商店的钻石项链的失窃案,已知侦察结果如下:
(1)营业员A或B盗窃了钻石项链
(2)若B作案,则作案时间不在营业时间
-2-
(3)若A提供的证词正确,则货柜未上锁
(4)若A提供的证词不正确,则作案发生在营业时间
(5)货柜上了锁
试问:
作案者是谁?
要求写出推理过程。
解:
令A表示“营业员A盗窃了钻石项链”;B表示“营业员B盗窃了钻石项链”;P表示“作案时间在营业时间”;Q表示“A提供的证词正确”;R表示“货柜上
了锁”。
则侦察结果如下:
AB,B
P,Q
R,Q
P,R.由此可推出作案者是A.(4分)
推理过程如下:
(1)
R
P
(6)
B
PP
(2)
Q
R
P
(7)
B
T(5),(6)
I(2
分)
(3)
Q
T
(1),
(2)
I(2分)(8)
AB
P
(4)
Q
P
P
(9)
A
T(7),(8)
I(2
分)
(5)
P
T(3),(4)I
(2分)
天津理工大学《离散数学》第二章检测题答案
一、填空题(每空3分,共30分)
1.(x)(G(x)
F(x))
(
x)(F(x)
G(x))
或(x)(G(x)
F(x))(y)(F(y)
G(y))
2.(
x)(
z)(w)[(P(x)
R(x,w))
(Q(z,y)
R(x,w))]
3.P(a)
P(b)
P(c)
(Q(a)Q(b)
Q(c))
4.(
P(a)
P(b)
P(c))
(P(a)
P(b)
P(c))
5.P(x),(x)(
y)P(x,y)
6.
x,y;y
)
7.
(P(x)
yR(x,y))
8.
(
x)(
F(x)
G(x))
(
二、单项选择题(每小题
2分,共
20分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
A
A
B
D
C
A
C
C
B
D
-3-
三、
简答题(每小题
6分,共12
分)
1.求謂词公式(
x)(P(x)
Q(x,y))
((y)P(y)(z)Q(y,z))的前束析取范式.
(
x)(P(x)
Q(x,y))
((
y)P(y)
(
z)Q(y,z))
(x)(
P(x)
Q(x,y))
((
y)P(y)
(z)Q(y,z))
x(P(x)
Q(x,y))
((
y)P(y)
(
z)Q(y,z))
x(P(x)
Q(x,y))
((
u)P(u)
(
z)Q(y,z))
(x)(u)(z)[(P(x)
Q(x,y))
(P(u)Q(y,z))]
2.证明:
x(P(x)
Q(x))
xP(x)
xQ(x)
证:
左式
x(P(x)
Q(x))
(
P(x)Q(x))
x
x(P(x))
xQ(x)
xP(x)
xQ(x)
xP(x)
xQ(x))
四.证明题(共38分)
1.(12分)用谓词演算的推理规则证明:
x(P(x)
Q(x)),x(Q(x)R(x)
S(x)),P(a)
R(a)S(a)
(1)x(P(x)
Q(x))
P
(2)P(a)
Q(a)
US
(1)
(2分)
(3)P(a)
R(a)
P
(4)Q(a)
T
(2)(3)
I
(2分)
(5)x(Q(x)
R(x)
S(x))
P
(6)Q(a)
R(a)
S(a)
US(5)
(2分)
(7)R(a)
T(3)
I
(2分)
(8)Q(a)
R(a)
T(4)(7)
I
(2分)
(9)S(a)
T(6)(8)
I
(2分)
2.(10分)指出下面推理证明过程中的错误,并给出正确的证明.
用谓词演算的推理规则证明:
-4-
x(Q(x)
R(x))
x(Q(x)
Z(x))
x(R(x)Z(x))
证:
:
(1)
x(Q(x)
R(x))
P
(6)
Z(a)
T(4)I
(2)
Q(a)
R(a)
US
(1)
(7)
R(a)
T
(2),(5)I
(3)
x(Q(x)Z(x))
P
(8)
R(a)Z(a)
T(6),(7)I
(4)
Q(a)Z(a)
ES(3)
(9)
x(R(x)Z(x))EG(8)
(5)
Q(a)
T(4)
I
该证明的错误在于:
(1)、
(2)与(3)、(4)的顺序颠倒了,应该先指定存在后指定全称。
(2分)正确的证明是:
(4分)
(1)
x(Q(x)Z(x))
P
(6)
Z(a)
T
(2)I
(1分)
(2)
Q(a)Z(a)
ES
(1)(2
分)
(7)
R(a)
T(4),(5)I
(1分)
(3)
x(Q(x)
R(x))
P
(8)
R(a)Z(a)
T(6),(7)I(1
分)
(4)
Q(a)
R(a)
US(3)(2
分)
(9)
x(R(x)Z(x))EG(8)
(
1分)
(5)
Q(a)
T
(2)
I
3.(16分)符号化下列命题并推证其结论.
任何人如果他喜欢音乐,他就不喜欢体育.每个人或者喜欢体育,或者喜欢美术.有的人不喜欢美术.因而有的人不喜欢音乐.(设M(x):
x喜欢音乐,
S(x):
x喜欢体育,A(x):
x喜欢美术.)
该推理符号化为:
(x(M(x)S(x))x(S(x)A(x))xA(x))(x或Mx
前提:
x(M(x)S(x)),x(S(x)A(x)),xA(x)
结论:
xM(x)(4分)
证:
(1)xA(x)P
(2)A(a)ES
(1)(2分)
(3)x(S(x)A(x))P(4)S(a)A(a)US(3)(2分)
(5)S(a)T
(2)(4)I(2分)(6)x(M(x)S(x))P
-5-
(7)M(a)
S(a)US(6)(2
分)(8)S(a)
M(a)T(7)E(1
分)
(9)M(a)
T(5)(8)I(2分)(10)xM(x)
EG(9)(1分)
天津理工大学《离散数学》第三、四章检测题答案
一、填空题(每空
2分,共
40分)
1.n
2n
2.{
{
{}},
{
{
}},{
}}
3.
{
{{a,{b,c}}}}
1
0
0
5.R
R1;
Ri
6.IA,
0
1
0
4.反对称,传递。
或单位矩阵
i
1
0
0
1
7.4,6
,
2,3
,
无
,
无
,
12
,
1
。
8.f1
{
0,
{
},1},
f2
{
1
{
},0
}。
9.单射,满射;既是单射又是满射;
IB;IA
二、单项选择题(每小题
2分,共
20分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
(1)
(2)
(1)
(3)
(2)
(2)
(1)
(3)
(3)
(1)
三、简答题(共30分)
1.(6分)设A={1,2,3,5,6,10,15,30},“/”为集合A上的整除关系。
〈A,/〉是否为偏
序集?
若是,画出其哈斯图;
解:
〈A,/〉是偏序集。
其哈斯图为:
2.(12分)对下图所给的偏序集A,,求下表所列集合的上(下)界,上(下)确界,并
将结果填入表中。
子集上界下界上确界下确界
-6-
{a,b,c}
a
d
a
d
a,c
无
c
无
{c,d,e}
A
a
无
a
无
3.(6分)设A={1,2,3,4,5,6}
,集合A上的关系
R={〈1,3〉,〈1,5〉,〈2,5〉,〈4,4〉,〈4,5〉,〈5,4〉,〈6,3〉,〈6,6〉}。
(1)画出R的关系图,并求它的关系矩阵;
(2)求r(R),S(R)及t(R)。
解:
(1)R的关系图为
R的关系矩阵为
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
MR
0
0
1
1
(2分)
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
(2)r(R)R{1,1,2,2,3,3,
5,5},(1分)
S(R)R{3,1,5,1,5,2,(3,16分})
t(R)R{1,4,
2,4
5,5}
(2分)
4.设Z是整数集,R是Z上的模
3同余关系,即R
{x,yx,yZ,xy(mod3)},试
根据等价关系R决定Z的一个划分
。
答案:
由R决定的Z的划分为:
{
0R,1R,2R},
其中:
0R
{
9,
6,
3,0,3,6,9,}
1R
{
8,5,
2,1,4,7,
}
2R
{
7,
4,
1,2,5,8,
}
-7-
四.证明题(共10分)
1.设a,bR,a
b,定义f:
[a,b]
[0,1]为
x
a
f(x)
,证明:
f是双射,并求出
b
a
其逆映射。
证:
1)先证明f是入射(2分)
对任意的x1,x2
a,b,若f(x1)
f(x2),则有x1
a
x2
a,从而有x1
x2,
b
a
b
a
故f是入射。
2)再证明f是满射(2分)
对任意的y0,1,
都存在x(b
a)yaa,b,使得f(x)
y,从而f是满射。
综合
(1)、
(2)知f是双射。
1
为
f
1
x
b
axa
,对任意
x0,1
。
(1
分)
f:
[0,1][a,b]
()
(
)
天津理工大学《离散数学》第五章检测题答案
一、填空题(每空2分,共30分)
1.b1a1
2.a
3.,S,S,
4.a;1
5.S关于
运算不封闭
6.2,a1
4a
7循环群,生成元
8.
12
111
212
9.B关于封闭
二、单项选择题(每小题2分,共20分)
12345678910得分
BCAABDDCBD
三、简答题(共30分)
1.设是实数集R上的二元运算,其定义如下:
abab2ab
(1)求23,3(-5)和71/2。
-8-
(2)R,是半群吗?
可交换吗?
(3)求R中关于的单位元。
(4)R中哪些元素有逆元素,其逆元素是什么?
答案:
(1)17,-32,14.5。
2)R,是半群,可交换。
(3)0。
(4)当aR,a
1/2
时,a有逆元素,a1
a/(12a)。
2.设A{a,b,c,d},A,
是交换群,a是A,
的单位元。
的运算表如下:
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
x1
x2
c
c
x4
a
x3
d
d
x5
x6
a
求x1,x2,x3,x4,x5,x6,并说明道理。
答案:
x1d,x2c,x3b,x4d,x5c,x6b。
因为有限群的运算表中的每行、每列都
是群中元素的一个置换。
3.设集合G{1,3,4,5,9},是定义在G上的模11乘法(即任意a,b∈G,有
a*b=(a×b)(mod11),×是普通乘法),问G,是循环群吗?
若是,试找出它的生
成元。
答:
G,的运算表如下表所示。
1
3
4
5
9
1
1
3
4
5
9
3
3
9
1
4
5
4
4
1
5
9
3
5
5
4
9
3
1
9
9
5
3
1
4
从运算表可知,
在G上封闭、有幺元
1,且1
35,331,434,533,932,再
由是可结合的得
G,是循环群,3,4,5和9均为其生成元。
-9-
四.证明题(共20分)
1.(4分)设G,是独异点,e为其幺元,且对aG,有aae,证明
G,是一个交换群。
证明:
对aG,由于aae,则a1a,即G中的每一个元素a都有逆元
素,故G,是一个群。
又对a,bG,有
aba1b1(ba)1ba,
所以G,是一个Abel群。
2.(6分)设G,是一个群,aG,f:
GG,xG,有
f(x)axa1
试证明f是G,一个自同构.
证:
首先证明f是入射。
(3分)
对x1,x2G,若f(x1)f(x2),则有ax1a1ax2a1,该式两边同时左乘a1及右乘a,得x1x2,故f为入射f.
其次证明f是满射。
对yG,都存在xa1yaG,使得yf(x),因此f是满射.
综合以上两点,知f是双射。
(3分)
最后,对x1,x2G,都有f(x1x2)ax1x2a1(ax1a1)(ax2a1)
f(x1)f(x2),从而f是G到G的自同构.
天津理工大学《离散数学》第六章检测题答案
一、填空题(每空2分,共40分)
.
上确界和下确界,
a
,b
2.至少有一个补元素,不一定
3.0,1;1,0
1
-10-
4.aa1,a
a
05.a
b;a
b
6.
An
,A
2n
A
二、单项选择题(每小题2分,共20分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
D
C
B
C
A
D
A
B
D
D