天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题答案.docx

1、天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题答案天津理工大学离散数学第一章检测题答案一、填空题 （每空 2 分，共30 分）1 PQ2PQ3，c。4(PQR) (PQR) (PQ R)，(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)5( PQ)(P(R S)6QP 7(PQ )(QP)二、单项选择题 （每小题2 分，共 20 分）12345678910得分DBCBCDAACB三、简答题 （每小题 6 分，共 12 分）1构造命题公式 P (Q R) 的真值表PQRQRP(Q R)00011001110100001111100111011111001111112求命题公式(PQ )R)P 的主析取范

2、式和主合取范式。(PQ)R)P( (PQ) R)分( P分P 1Q)R) P1( PR)(QR)PP(QR)( P(QQ)(RR)( PP)(Q分R) 1( PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(P QR)( PQ分R) 1- 1 -(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)m2m4m5 m6m7 (这是主析取范式 )分1M 0M 1这是主合取范式 )M 3 ( PQR) (PQR)(PQ分R) 13判断命题公式 (PQ )( PR) 与(PQR) 是否等价。解：A (P Q) (PR)(PQ)(PR)BP(QR)P(QR)(PQ)(PR)等价四证明题（共 32 分）（ 10 分

3、）用 CP 规则证明 P (QR), Q( RS),P QS ；1.PP6.( RS)T(4,5) I （ 2 分）2.P( QR)P7.RT(3,4) I （2 分）3.QRT(1, 2) I（2分）8.ST(6,7) I （2 分）4.QP(附加前提 )9.(QS)CP （2 分）5.Q( RS)P（ 10 分）用归谬法证明A B,( C B),C S A证 : 1AP(附加前提) （1 分） 2ABP3BT1,2 I（2 分）4CBP5CT3,4 I（2 分）6CSP7CT6 I（2 分）8CCT5,7I （2 分）由 8 得出了矛盾，根据归谬法说明原推理正确（1 分）3（12 分）公安

4、人员审理某珠宝商店的钻石项链的失窃案，已知侦察结果如下：（ 1）营业员 A 或 B 盗窃了钻石项链（ 2）若 B 作案，则作案时间不在营业时间- 2 -（ 3）若 A 提供的证词正确，则货柜未上锁（ 4）若 A 提供的证词不正确，则作案发生在营业时间（ 5）货柜上了锁试问：作案者是谁？要求写出推理过程。解：令 A 表示 “营业员 A 盗窃了钻石项链 ”； B 表示 “营业员 B 盗窃了钻石项链 ”； P 表示 “作案时间在营业时间 ”；Q 表示 “A 提供的证词正确 ”；R 表示 “货柜上了锁 ”。则侦察结果如下：AB，BP ， QR ， QP ， R 由此可推出作案者是 A （4 分）推理过

5、程如下：(1)RP(6)BP P(2)QRP(7)BT (5)，(6)I（ 2分）(3)QT (1)，(2)I （2 分） (8)A BP(4)QPP(9)AT (7)，(8)I（ 2分）(5)PT (3)，(4) I（2 分）天津理工大学离散数学第二章检测题答案一、填空题 （每空 3 分，共 30 分）1 ( x)(G ( x)F ( x)(x)(F ( x)G (x)或 ( x)(G( x)F ( x) ( y)( F ( y)G ( y)2 (x)(z)( w)( P( x)R( x, w)( Q ( z, y)R( x, w)3 P(a)P(b)P( c)(Q(a) Q(b)Q( c)

6、4(P( a)P(b)P(c)(P( a)P(b)P(c)5 P( x),( x)(y) P(x, y)6x, y ； y）7(P( x)yR( x, y)8(x)(F ( x)G( x)（二、单项选择题 （每小题2 分，共20 分）12345678910得分AABDCACCBD- 3 -三、简答题（每小题6 分，共 12分）1求謂词公式 (x)( P(x)Q( x, y)( y)P( y) ( z)Q( y, z) 的前束析取范式(x)(P(x)Q( x, y)(y) P( y)(z)Q( y, z)( x)(P( x)Q( x, y)(y)P( y)( z)Q( y, z)x(P( x)Q

7、( x, y)(y)P( y)(z)Q( y, z)x(P( x)Q( x, y)(u)P(u)(z)Q( y, z)( x)( u)( z)( P( x)Q(x, y)( P(u) Q( y, z)2证明： x(P( x)Q( x)xP (x)xQ( x)证：左式x( P (x)Q ( x)(P( x) Q ( x)xx( P ( x)xQ ( x)xP ( x)xQ ( x)xP (x)xQ (x)四证明题 （共 38 分）1（12 分）用谓词演算的推理规则证明 :x(P( x)Q ( x) ， x(Q(x) R(x)S( x) ， P(a)R(a)S( a)（1） x(P( x)Q (x

8、)P（2） P( a)Q (a)US(1)（2 分）（3） P(a)R( a)P（4） Q( a)T (2)(3)I（2 分）（5） x(Q( x)R( x)S( x)P（6） Q( a)R(a)S( a)US(5)（2 分）（7） R(a)T (3)I（2 分）（8） Q( a)R( a)T (4)(7)I（2 分）（9） S( a)T (6)(8)I（2 分）2(10 分 ) 指出下面推理证明过程中的错误，并给出正确的证明用谓词演算的推理规则证明：- 4 -x(Q( x)R( x)x(Q( x)Z ( x)x( R(x) Z( x)证 :：(1)x(Q(x)R(x)P(6)Z (a)T(4

9、) I(2)Q( a)R(a)US(1)(7)R(a)T(2),(5) I(3)x(Q ( x) Z (x)P(8)R(a) Z (a)T(6),(7) I(4)Q(a) Z (a)ES(3)(9)x(R( x) Z (x) EG(8)(5)Q(a)T(4)I该证明的错误在于 : (1)、 (2) 与 (3)、 (4) 的顺序颠倒了，应该先指定存在后指定全称。 （2 分） 正确的证明是：（4 分）(1)x(Q ( x) Z ( x)P(6)Z (a)T(2) I（1 分）(2)Q(a) Z( a)ES(1) （2分）(7)R(a)T(4),(5) I（1 分）(3)x( Q( x )R( x)

10、P(8)R(a) Z (a)T(6),(7) I （1分）(4)Q( a)R(a)US (3) （2分）(9)x(R( x) Z ( x) EG(8)（1 分）(5)Q( a)T(2)I3（16 分）符号化下列命题并推证其结论任何人如果他喜欢音乐 ,他就不喜欢体育 每个人或者喜欢体育， 或者喜欢美术有的人不喜欢美术因而有的人不喜欢音乐 （设 M(x) ：x 喜欢音乐，S(x)：x 喜欢体育， (x) ：喜欢美术）该推理符号化为：( x (M (x ) S ( x ) ) x (S (x ) A (x ) ) x A (x ) ) (x 或M x前提： x( M ( x) S( x), x( S

11、( x) A( x), x A( x)结论： x M ( x) （ 4 分）证：（ 1） x A(x) P （2） A(a) ES（1） （2 分）（ 3） x( S(x) A( x) P （ 4） S(a) A( a) US（ 3） （2 分）（ 5） S(a) T（2）（4）I（ 2 分） （6） x( M (x) S( x) P- 5 -（ 7） M (a)S(a)US（6）（2分） （8） S(a)M (a) T（7）E （ 1分）（ 9） M (a)T（5）（ 8） I（ 2 分） （10） x M ( x)EG（9） （1 分）天津理工大学离散数学第三、四章检测题答案一、填空题 （

12、每空2 分，共40 分）1 n2n , , , 3, a, b, c 1005 RR 1 ；Ri6 IA，0104 反对称，传递。或单位矩阵i10017 4,6，2,3，无，无，12，1。8 f1,0 ,1,f 2,1, ,0 。9 单射，满射 ；既是单射又是满射；IB； IA二、单项选择题 （每小题2 分，共20 分）12345678910得分(1)(2)(1)(3)（ 2）（ 2）(1)(3)(3)(1)三、简答题 （共 30 分）1（ 6 分）设 A =1,2,3,5,6,10,15,30 ， “ ”为集合 A 上的整除关系。 A ，是否为偏序集 ? 若是，画出其哈斯图；解： A ，是偏

13、序集。其哈斯图为：2（ 12 分）对下图所给的偏序集 A, ，求下表所列集合的上（下）界，上（下）确界，并将结果填入表中。子 集 上 界 下 界 上确界 下确界- 6 - a,b,cadada, c无c无 c, d ,eAa无a无3（ 6 分）设 A =1,2,3,4,5,6，集合 A 上的关系R = 1,3 , 1,5 , 2,5 , 4,4 , 4,5, 5,4 , 6,3 , 6,6 。（ 1）画出 R 的关系图，并求它的关系矩阵；（ 2）求 r (R), S( R) 及 t (R) 。解：（ 1） R 的关系图为R 的关系矩阵为001010000010000000M R0011（2 分

14、）00000100001001（2） r (R) R 1,1 , 2,2 , 3,3 ,5,5 ， （1 分）S( R) R 3, 1 , 5,1 , 5,2 , （3,16分）t( R) R 1, 4 ,2, 4,5,5（2 分）4设 Z 是整数集， R 是 Z 上的模3 同余关系，即 R x, y x, y Z , x y(mod3) ，试根据等价关系 R 决定 Z 的一个划分。答案：由 R 决定的 Z 的划分为： 0R,1R, 2R，其中：0 R,9,6,3,0,3,6,9, 1 R,8, 5,2,1,4,7,2 R,7,4,1,2,5,8,- 7 -四证明题 （共 10 分）设 a,b

15、 R, ab, 定义 f : a, b0,1 为xaf (x)，证明： f 是双射，并求出ba其逆映射。证： 1）先证明 f 是入射（ 2 分）对任意的 x1 , x2a, b , 若f (x1 )f ( x2 ), 则有 x1ax2a ，从而有 x1x2 ，baba故 f 是入射。2) 再证明 f 是满射（ 2 分）对任意的 y 0,1 ,都存在 x (ba) y a a, b ,使得 f ( x)y, 从而 f 是满射。综合（ 1）、（ 2）知 f 是双射。1为f1xba x a，对任意x 0,1。（ 1分）f : 0,1 a,b( )()天津理工大学离散数学第五章检测题答案一、填空题 （

16、每空 2 分，共 30 分）1. b 1 a 12 a3 ,S, S,4 a ； 15 S关于运算不封闭6 2， a 14 a7 循环群，生成元81 21 1 12 1 29B关于 封闭二、单项选择题 （每小题 2 分，共 20 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分B C A A B D D C B D三、简答题 （共 30 分）1设 是实数集 R 上的二元运算，其定义如下：a b a b 2ab（1）求 2 3， 3 (-5)和 7 1/2 。- 8 -（ 2） R, 是半群吗？ 可交换吗？（ 3）求 R 中关于 的单位元。（ 4） R 中哪些元素有逆元素，其逆元素是什么？答案

17、：（ 1）17， -32， 14.5 。 2） R, 是半群， 可交换。 （3） 0。（ 4）当 a R, a1/ 2时， a 有逆元素， a 1a /(1 2a) 。2设 A a, b, c,d ， A,是交换群， a 是 A,的单位元。的运算表如下：abcdaabcdbbax1x2ccx4ax3ddx5x6a求 x1 , x2 , x3 , x4 , x5, x6 ，并说明道理。答案： x1 d , x2 c, x3 b, x4 d , x5 c, x6 b 。因为有限群的运算表中的每行、每列都是群中元素的一个置换。3 设集合 G 1,3,4,5,9 ， 是定义在 G 上的模 11 乘法（

18、即任意 a,bG，有a* b=(ab)(mod11)， 是普通乘法），问 G, 是循环群吗？若是，试找出它的生成元。答： G, 的运算表如下表所示。13459113459339145441593554931995314从运算表可知，在 G 上封闭、有幺元1，且 135 ,3 31,4 34 ,5 33,9 32 ，再由 是可结合的得G, 是循环群， 3，4，5 和 9 均为其生成元。- 9 -四证明题 （共 20 分）（ 4 分）设 G, 是独异点， e 为其幺元，且对 a G ，有 a a e ，证明G, 是一个交换群。证明： 对 a G ，由于 a a e ，则 a 1 a ， 即 G 中

19、的每一个元素 a 都有逆元素 ,故 G, 是一个群。又对 a,b G ，有a b a 1 b 1 (b a) 1 b a ，所以 G, 是一个 Abel 群。（ 6 分）设 G, 是一个群， a G ， f : G G ， x G ，有f (x) a x a 1试证明 f 是 G, 一个自同构证：首先证明 f 是入射。（ 3 分）对 x1 , x2 G,若 f ( x1 ) f ( x2 ), 则有a x1 a 1 a x2 a 1, 该式两边同时左乘 a 1及右乘 a, 得x1 x2, 故 f 为入射 f .其次证明 f 是满射。对 y G,都存在 x a 1 y a G, 使得 y f ( x),因此 f 是满射.综合以上两点，知 f 是双射。（ 3 分）最后, 对 x1 , x2 G,都有 f ( x1 x2 ) a x1 x2 a 1 ( a x1 a 1) (a x2 a 1)f (x1) f (x2 ), 从而 f 是 G到 G的自同构 .天津理工大学离散数学第六章检测题答案一、填空题 （每空 2 分，共 40 分）.上确界 和下确界，a， b2至少有一个补元素，不一定3 0，1；1，01-10-4 a a 1,aa0 5 ab ； ab6A n， A2nA二、单项选择题 （每小题 2 分，共 20 分）12345678910得分DCBCADABDD