完整版全等三角形的经典模型一.docx

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完整版全等三角形的经典模型一

.

3

全等三角形的

经典模型

（一）

满分晋级

三角形7级

倍长中线与截长补短

三角形8级

秋天班第二讲

全等三角形的经典模型

（一）

三角形9级

全等三角形的经典模型

（二）

秋天班第三讲

秋天班第四讲

漫画释义

舞弊？

..

.

知识互联网

题型一：

等腰直角三角形模型

思路导航

等腰直角三角形数学模型思路：

⑴利用特别边特别角证题（AC=BC或90°，45，45）.如图1；

⑵常有协助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；

⑶补全为正方形.如图3，4.

CC

45°

45°

B

A

A

B

D

图1

图2

图3图4

..

.

典题精练

【例1】已知：

以下图，Rt△ABC中，AB=AC，BAC90°，O为BC的中点，

⑴写出点O到△ABC的三个极点A、B、C的距离的关系（不要

B

求证明）

⑵假如点M、N分别在线段AC、AB上挪动，且在挪动中保持

O

AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.

N

⑶假如点M、N分别在线段CA、AB的延伸线上挪动，且在挪动中

保持AN=CM，试判断⑵中结论能否依旧建立，假如是请给出证明．

A

C

M

【分析】⑴OA=OB=OC

B

⑵连结OA,

∵OA=OCBAOC45°AN=CM

O

∴△ANO≌△CMO

∴ON=OM

N

∴

NOA

MOC

∴

NOA

BONMOCBON90

∴

NOM

90

AC

M

∴△OMN是等腰直角三角形

⑶△ONM依旧为等腰直角三角形，

证明：

∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点

∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°，

∴AO=BO=OC，

∵在△ANO和△CMO中，

ANCM

BAOC

N

B

O

AOCO

MAC

∴△ANO≌△CMO（SAS）

∴ON=OM，∠AON=∠COM，

又∵∠COM∠AOM=90°，

∴△OMN为等腰直角三角形．

MB

【例2】两个全等的含30o，60o角的三角板ADE和三角板ABC，如

D

图所示搁置，E,A,C三点在一条直线上，连结

BD，取BD的

中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明原因．

E

C

A

【分析】△EMC是等腰直角三角形．

..

.

证明：

连结AM．由题意，得

DEAC,DAEBAC90o,DAB90.o

D

∴△DAB为等腰直角三角形.

∵DMMB，

∴MAMB

DM,

MDA

MAB

45o．

E

∴

MDE

MAC

105o，

∴

△EDM≌△CAM．

∴

EMMC,

DME

AMC．

又

EMC

EMA

AMC

EMA

DME

90o．

∴CMEM，

∴△EMC是等腰直角三角形．

【例3】已知：

如图，

△ABC

中，

AB

AC

，

BAC

，

D

是

AC

的中

90°

点，AF

BD于E，交BC于F，连结DF．

求证：

ADB

CDF．

【分析】证法一：

如图，过点

A作AN

BC于N，交BD于M．

B

∵AB

AC，

BAC

90°，

∴

3

DAM

45°．

∵

C

，∴

3

C

．

45°

∵AF

BD，∴1

BAE

90°

∵

BAC

，∴

．

90°

2BAE90°

∴

1

2

．

在△ABM和△CAF中，

1

B

12ABAC3C

∴△ABM≌△CAF．∴AMCF．

在△ADM和△CDF中，

AD

CD

DAM

C

AM

CF

∴△ADM≌△CDF．

∴

ADB

CDF．

证法二：

如图，作

CM

AC交AF的延伸线于M．

∵

AF

BD

，∴

32

，

90°

∵

BAC

，

90°

∴

1

2

90°，

∴

1

3

．

3

在△ACM和△BAD中，

B

..

MB

AC

A

D

E

FC

A

32

D

ME

NFC

A

2

1

D

E

C

F

M

.

13ACAB

ACMBAD90°

∴△ACM≌△BAD．

∴M

ADB，AD

CM

∵AD

DC，∴CM

CD．

在△CMF和△CDF中，

CFCF

MCFDCF45°

CMCD

∴△CMF≌△CDF．∴MCDF

∴ADBCDF．

【例4】如图，等腰直角△ABC中，ACBC，ACB90°，P为△ABC内部一点，知足

PBPC，APAC，求证：

BCP15．

A

DA

PP

BC

BC

【分析】补全正方形ACBD，连结DP，

易证△ADP是等边三角形，DAP60，BAD45，

∴BAP15，PAC30，∴ACP75，

∴BCP15．

【研究对象】等腰直角三角形添加成正方形的几种常有题型

在解相关等腰直角三角形中的一些问题，若碰到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引协助线转变成正方形，再利用正方形的一些性质来解，经常能够起到化难为易

的成效，进而顺利地求解。

例4为求角度的应用，其余应用研究以下：

【研究一】证角等

【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作AD⊥BM交BC于点D，连结DM，求证:

∠AMB=∠CMD．

..

.

A

A

E

M

E

M

1

B

D

C

B

D2C

N

F

【分析】作等腰Rt△ABC对于BC对称的等腰Rt△BFC，延伸AD交CF于点N，

∵AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，

易证Rt△ABM≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM，

∵M为AC中点，∴CM=CN，

∵∠1=∠2，可证得△CMD≌△CND，

∴∠CND=∠CMD，

∴∠AMB=∠CMD．

【研究二】判断三角形形状

【备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延伸BD交NE的延伸线于点F，试判断△DEF的形状．

FF

AA

DD

MM

EE

BCBC

NN

K

H

【分析】作等腰Rt△ABC对于BC对称的等腰Rt△BHC，

可知四边形ABHC为正方形，延伸AN交HC于点K，

∵AK⊥BD，可知AK=BD，易证:

Rt△ABD≌Rt△CAK，∴∠ADB=∠CKN，CK=AD，

∵AD=EC，∴CK=CE，

易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，

易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．

【研究三】利用等积变形求面积

【备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．

..

.

B

G

N

B

D

E

M

E

D

C

F

A

C

F

A

【分析】作等腰Rt△ABC对于BC的对称的等腰

Rt△GCB，

可知四边形ABGC为正方形，分别延伸

FD、ED交BG、CG于点N、M，

可知DN=EB=4，DM=FC=3，

由正方形对称性质，

可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12．

【研究四】求线段长

【备选4】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的长．

AA

F

E

C

B

CD

B

D

G

【剖析】本题若用面积公式联合勾股定理再列方程组求解是能够的，

但解法太繁琐，本题尽

管已知条件不是等腰直角三角形，

但∵∠BAC=45°，若分别以AB、AC为对称轴作

Rt△ADB的对称直角三角形和

Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等

且夹角为90°的图形，知足等腰直角三角形的条件，而后再引协助线使之转变为正方形．

【分析】以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC．

可知BE=BD=3，FC=CD=2，

延伸EB、FC交点G，∵∠BAC=45°，

由对称性，可得∠EAF=90°，且AE=AD=AF，

易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD，

设AD=x，则BG=x－3，CG=x－2，

在Rt△BCG中，由勾股定理，得

2

2

x2

x352，

解得x=6，即AD=6．

【研究五】求最小值

..

.

【备选5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值．

AAD

PP

MM

C

B

C

B

【分析】将原图形经过引协助线化归为正方形，即作

Rt△ACB对于AB对称的Rt△ADB，

可知四边形ACBD为正方形，连结

CD，可知点C对于AB的对称点D，连结MD

交AB于点

P，连结CP，则PM+PC

的值为最小，最小值为:

PM+PC=DM=

42

22

2

5．

题型二：

三垂直模型

思路导航

常有三垂直模型

例题精讲

【引例】

已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：

AC⊥CE；

E

⑵若将△CDE沿CB方向平移获得①②③④等不一样情况，

ABC1D，A

其余条件不变，试判断

AC⊥C1E这一结论能否建立？

若建立，赐予证

1

2

..

B

C

D

.

明；若不建立，请说明原因.

EEEE

AAAA

BC1CDBC1D（C）BC1DCC1BDC

①②③④

【分析】⑴∵AB⊥BD，ED⊥BD

∴BD90

在△ABC与△CDE中

ABCD

BDBCDE

∴△ABC≌△CDE（SAS）

∴1E

∵2E90

∴ACE90,即AC⊥CE

⑵图①②③④四种情况中，结论永久建立，证明方法与⑴完整近似，只需证明

△ABC≌△C1DE

∴ACBC1ED

∵C1EDDC1E90∴DC1EACB90

∴AC⊥C1E

典题精练

【例5】正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为0，10，8，4，点C在第一象限．求

正方形边长及极点C的坐标．（计算应用：

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）

y

D

y

D

C

A

C

A

2

..

1

3

B

E

B

F

O

x

O

x

G

.

【分析】过点C作CG⊥x轴于G，过B作BE⊥y轴于E，并反向延伸交CG于F

点A、B的坐标分别为0，10，8，4

∴BE=8，AE=6，∴AB=10

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC

∵

1

3

90

2

3

90

∴

1

2

∵AEBBFC90

∴△AEB≌△BFC

∴CF=BE=8，BF=AE=6

∴CG=12EF=14

∴C（14，12），正方形的边长为10

【评论】本题中三垂直模型：

【例6】以下图，在直角梯形ABCD中，ABC

90，AD∥BC，A

D

ABBC，E是AB的中点，CEBD

．

M

⑴求证：

BEAD；

E

BC

⑵求证：

AC是线段ED的垂直均分线；

⑶△DBC是等腰三角形吗？

请说明原因．

【分析】⑴∵

ABC

90，BD

EC，

∴

ECB

DBC

90

，ABD

DBC90，∴ECB

ABD，

∵

ABC

DAB

90

，AB

BC，

∴△BAD≌△CBE

，∴ADBE．

⑵∵E是AB中点，∴

EB

EA

由⑴得：

ADBE，∴AE

AD

∵AD∥BC，∴

CAD

ACB

45，

∵BAC45，∴

BAC

DAC

由等腰三角形的性质，得：

EM

MD，AMDE

即AC是线段ED的垂直均分线．

⑶△DBC是等腰三角形，CDBD

由⑵得：

CDCE，由⑴得：

CEBD

∴CDBD，∴△DBC是等腰三角形．

..

.

【例7】⑴如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且

BD=CE，连结

AE、CD订交于点P．请你补全图形，并直接写出∠

APD的度数=

；

⑵如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，

连结AN、CM订交于点P．请你猜想∠APM=

°，并写出你的推理过程．

（2013平谷一模）

C

C

P

N

A

B

A

B

M

图1

图2

C

【分析】⑴图略，60°

⑵45°

EPN

证明：

作AE⊥AB且AE

CN

BM.

A

M

B

可证△EAM≌△MBC

∴MEMC，AME

BCM.

∵CMBMCB90,∴

CMB

AME90.

∴EMC90.

∴△EMC是等腰直角三角形,MCE45.

又△AEC≌△CAN（SAS）

∴ECANAC.

∴EC∥AN.

∴APMECM45.

..

.

思想拓展训练（选讲）

训练1.

已知：

如图，△ABC中，AC=BC，ACB

90，D是AC上一点，AE⊥BD的延

长线于E，而且AE

1

ABC.

BD，求证：

BD均分

2

A

A

EDED

CBFCB【分析】延伸AE交BC的延伸线于F

∵BE⊥AF，ACB90

∴FACDBC

∴在△AFC和△BDC中，

FACDBC

ACBC

ACFBCD

∴△AFC≌△BDC（ASA）

∴AF=BD

1

BD

又∵AE

2

∴AE

1AF

EF

2

..

.

∴BE是AF的中垂线∴BA=BF

∴BD均分ABC

训练2.已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG⊥CE于G，DG交AC于F.求证：

OE=OF

【分析】∵ABCD是正方形

∴OD=OC

DOC

90

∵DG⊥CE∴DGC

90

∴DOC

DGC∵

OFDGFC

∴ODFECO

∴在△DOF和△COE中，

DOFCOE

ODOC

AD

O

EF

G

BC

ODFOCE

∴△DOF≌△COE（ASA）

∴OE=OF

训练3.

已知：

如图，

△ABC

中，

AB

AC

，

BAC

，

D

是

BC

的中点，

AF

BE

于

90°

G．求证：

DHDF

A

【分析】∵

AB

AC

，

BAC

，

D

是BC的中点

90°

∴AD=BD=CD，AD⊥BC

∴

ADB

90

H

E

∵AF

BE

G

B

C

∴

AGH

90

D

F

∴

DBE

DAF

∴在△BDH和△ADF中，

DBHDAF

BDAD

ADBADF

∴△BDH≌△ADF（ASA）

∴DH=DF

训练4.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且

EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

【分析】在Rt△AEF和Rt△DEC中，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，

AED

∴∠AEF=∠ECD．

又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC

∴Rt△AEF≌Rt△DCE．

F

BC

..

.

∴AE=CD．

∴AD=AE+4．

∵矩形ABCD的周长为32cm，

∴2（AE+AE+4）=32．解得AE=6cm．

..

.

复习稳固

题型一等腰直角三角形模型稳固练习

【练习1】如图，△ACB、△ECD均为等腰直角三角形，则图中与

△BDC全等的三角形为_________.

E

【分析】△AEC

A

C

DB

【练习2】如图，已知Rt△ABC中ACBBC的中点，CEAD，垂足为AC2BF．

90°，ACBC，D是

E．BF∥AC，交CE的延伸线于点

F．求证：

【分析】∵

ACB

，

BF∥AC

，

90°

∴ACDCBF90°，

ADCCAD90°．

∵CEAD，

∴FCBADC90°，

A

C

E

D

B

∴CAD

FCB．

又∵AC

CB，

∴△ADC≌△CFB．

∴DCFB．

∵D是BC的中点，

∴BC2BF，即AC2BF．

F

题型二三垂直模型稳固练习

【练习3】已知：

如图，四边形ABCDDF⊥AE，垂足为F．请研究赐予证明．

是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE=AD，DF与AB有何数目关系？

写出你所获得的结论并

【分析】经研究，结论是：

DF=AB．

证明以下：

∵