完整版全等三角形的经典模型一.docx

1、完整版全等三角形的经典模型一.3全等三角形的经典模型（一）满分晋级三角形 7级倍长中线与截长补短三角形 8级秋天班第二讲全等三角形的经典模型（一）三角形 9级全等三角形的经典模型（二）秋天班第三讲秋天班第四讲漫画释义舞弊？.知识互联网题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：利用特别边特别角证题（ AC=BC 或 90，45 ，45 ） . 如图 1；常有协助线为作高，利用三线合一的性质解决问题 .如图 2；补全为正方形 . 如图 3， 4.C C4545BAABD图 1图 2图3 图4.典题精练【例 1】 已知：以下图， RtABC 中， AB=AC， BAC 90， O

2、 为 BC 的中点，写出点 O 到 ABC 的三个极点 A、 B、 C 的距离的关系（不要B求证明）假如点 M、 N 分别在线段 AC、 AB 上挪动，且在挪动中保持OAN=CM .试判断 OMN 的形状，并证明你的结论 .N假如点 M、 N 分别在线段 CA、 AB 的延伸线上挪动，且在挪动中保持 AN=CM，试判断中结论能否依旧建立，假如是请给出证明ACM【分析】 OA=OB=OCB连结 OA,OA=OCBAOC 45 AN=CMO ANO CMOON=OMNNOAMOCNOABONMOCBON 90NOM90A CM OMN 是等腰直角三角形 ONM 依旧为等腰直角三角形，证明： BAC

3、=90， AB=AC，O 为 BC 中点 BAO= OAC =ABC = ACB=45，AO=BO=OC，在ANO 和CMO 中，AN CMBAO CNBOAO COM A C ANO CMO （ SAS）ON=OM，AON=COM ，又 COM AOM =90， OMN 为等腰直角三角形M B【例 2】 两个全等的含 30o ， 60o 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如D图所示搁置， E, A,C 三点在一条直线上，连结BD ，取 BD的中点 M ，连结 ME ， MC 试判断 EMC 的形状， 并说明原因ECA【分析】 EMC 是等腰直角三角形 .证明：连结 AM 由题意，得DE

4、 AC , DAE BAC 90o , DAB 90.oD DAB 为等腰直角三角形 .DM MB，MA MBDM ,MDAMAB45o EMDEMAC105o ，EDM CAM EM MC,DMEAMC 又EMCEMAAMCEMADME90o CM EM， EMC 是等腰直角三角形【例 3】 已知：如图， ABC中，ABAC，BAC，D是AC的中90点， AFBD于E，交 BC于F，连结 DF求证：ADBCDF 【分析】 证法一：如图，过点A作 ANBC于 N，交 BD于 MB ABAC ，BAC90，3DAM45C，3C45 AFBD， 1BAE90BAC，902BAE 9012在 ABM

5、 和 CAF 中，1B12 AB AC 3 C ABM CAF AM CF 在 ADM 和 CDF 中，ADCDDAMCAMCFADM CDF ADBCDF 证法二：如图，作CMAC 交 AF 的延伸线于 M AFBD，32，90BAC，901290，133在 ACM 和 BAD 中，B.M BA CADEF CA3 2DM EN F CA21DECFM.13 AC ABACM BAD 90ACM BAD MADB ， ADCM ADDC ， CMCD 在 CMF 和 CDF 中，CF CFMCF DCF 45CM CD CMF CDF M CDF ADB CDF 【例 4】 如图，等腰直角

6、ABC 中， AC BC ， ACB 90， P 为 ABC 内部一点，知足PB PC ，AP AC ， 求证： BCP 15 AD AP PB CB C【分析】 补全正方形 ACBD ，连结 DP，易证 ADP 是等边三角形， DAP 60 ， BAD 45 ， BAP 15 ， PAC 30 ， ACP 75 ， BCP 15 【研究对象】等腰直角三角形添加成正方形的几种常有题型在解相关等腰直角三角形中的一些问题， 若碰到不易解决或解法比较复杂时， 可将等腰直角三角形引协助线转变成正方形， 再利用正方形的一些性质来解， 经常能够起到化难为易的成效，进而顺利地求解。例 4 为求角度的应用，其

7、余应用研究以下：【研究一】证角等【备选 1】如图， Rt ABC 中， BAC=90，AB=AC，M 为 AC 中点， 连结 BM ，作 AD BM 交 BC 于点 D ，连结 DM ，求证 : AMB= CMD .AAEMEM1BDCBD2 CNF【分析】 作等腰 RtABC 对于 BC 对称的等腰 Rt BFC ，延伸 AD 交 CF 于点 N， AN BM，由正方形的性质，可得 AN=BM ，易证 RtABM Rt CAN， AMB = CND ，CN=AM ，M 为 AC 中点， CM =CN， 1= 2，可证得 CMD CND， CND = CMD ， AMB = CMD 【研究二】

8、判断三角形形状【备选 2】如图， Rt ABC 中， BAC= 90 ，AB=AC，AD=CE， ANBD 于点 M，延伸 BD 交 NE 的延伸线于点 F ，试判断 DEF 的形状F FA AD DM ME EB C B CN NKH【分析】 作等腰 RtABC 对于 BC 对称的等腰 Rt BHC，可知四边形 ABHC 为正方形，延伸 AN 交 HC 于点 K ，AK BD，可知 AK=BD ，易证 :Rt ABD Rt CAK， ADB= CKN ，CK=AD，AD =EC， CK =CE，易证 CKN CEN， CKN= CEN，易证 EDF = DEF ， DEF 为等腰三角形【研究

9、三】利用等积变形求面积【备选 3】如图， RtABC 中， A=90， AB=AC，D 为 BC 上一点， DE AC， DF AB，且 BE=4，CF =3，求 S 矩形 DFAE.BGNBDEMEDCFACFA【分析】 作等腰 RtABC 对于 BC 的对称的等腰Rt GCB，可知四边形 ABGC 为正方形，分别延伸FD、 ED 交 BG、CG 于点 N、M，可知 DN=EB=4， DM =FC=3 ，由正方形对称性质，可知 S 矩形 DFAE=S 矩形 DMGN =DM DN =3 4=12【研究四】求线段长【备选 4】如图， ABC 中， AD BC 于点 D， BAC=45， BD=

10、3 ， CD=2，求 AD 的长A AFECBCDBDG【剖析】 本题若用面积公式联合勾股定理再列方程组求解是能够的，但解法太繁琐， 本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但 BAC =45，若分别以 AB、AC 为对称轴作Rt ADB 的对称直角三角形和Rt ADC 的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为 90的图形，知足等腰直角三角形的条件，而后再引协助线使之转变为正方形【分析】 以 AB 为轴作 Rt ADB 的对称的 RtAEB，再以 AC 为轴作 RtADC 的对称的 Rt AFC 可知 BE=BD=3，FC =CD=2，延伸 EB、 FC 交点 G， BAC=45，由对称性，可

11、得 EAF=90，且 AE=AD =AF ，易证四边形 AFGE 为正方形，且边长等于 AD，设 AD =x，则 BG=x 3， CG=x 2，在 Rt BCG 中，由勾股定理，得22x 2x 352 ，解得 x=6，即 AD=6 【研究五】求最小值.【备选 5】如图， RtABC 中， ACB=90， AC=BC=4 ，M 为 AC 的中点， P 为斜边 AB 上的动点，求 PM+PC 的最小值A A DP PM MCBCB【分析】 将原图形经过引协助线化归为正方形，即作RtACB 对于 AB 对称的 RtADB ，可知四边形 ACBD 为正方形，连结CD，可知点 C 对于 AB 的对称点

12、D，连结 MD交AB于点P ，连结 CP ，则 PM+PC的值为最小，最小值为:PM +PC=DM =422225 题型二：三垂直模型思路导航常有三垂直模型例题精讲【引例】已知 AB BD ，ED BD， AB=CD ， BC=DE ，求证： AC CE；E若将 CDE 沿 CB 方向平移获得等不一样情况，AB C1D， A其余条件不变，试判断AC C1E 这一结论能否建立？若建立，赐予证12.BCD.明；若不建立，请说明原因 .E E E EA A A AB C1 C D B C1 D(C) BC1 D C C1 BD C 【分析】 AB BD， ED BD B D 90在ABC 与CDE

13、中AB CDBD BC DE ABC CDE （ SAS）1 E 2 E 90ACE 90 ,即 AC CE图 四种情况中，结论永久建立，证明方法与完整近似，只需证明ABC C1 DEACBC1ED C1 ED DC1 E 90 DC1 E ACB 90ACC1E典题精练【例 5】 正方形 ABCD 中，点 A 、 B 的坐标分别为 0 ，10 ， 8 ，4 ，点 C 在第一象限求正方形边长及极点 C 的坐标（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 . ）yDyDCACA2.13BEBFOxOxG.【分析】 过点 C 作 CG x 轴于 G，过 B 作 BEy 轴于 E，并

14、反向延伸交 CG 于 F点 A 、 B 的坐标分别为 0，10 ， 8，4BE =8， AE=6， AB=10四边形 ABCD 是正方形， AB=BC1390239012AEBBFC 90 AEB BFCCF =BE=8， BF=AE =6CG=12 EF=14C(14， 12)，正方形的边长为 10【评论】 本题中三垂直模型：【例 6】 以下图，在直角梯形 ABCD 中， ABC90 ，AD BC ，ADAB BC， E是 AB的中点， CE BDM 求证： BE AD；EB C 求证： AC 是线段 ED 的垂直均分线； DBC 是等腰三角形吗？请说明原因【分析】 ABC90 ，BDEC

15、，ECBDBC90， ABDDBC 90 ， ECBABD ，ABCDAB90， ABBC ， BAD CBE， AD BE E是AB中点，EBEA由得： AD BE ， AEADADBC，CADACB45 ， BAC 45 ，BACDAC由等腰三角形的性质，得：EMMD ，AM DE即 AC 是线段 ED 的垂直均分线 DBC 是等腰三角形， CD BD由得： CD CE ，由 得： CE BD CD BD ， DBC 是等腰三角形.【例 7】 如图 1， ABC 是等边三角形， D、E 分别是 AB、BC 上的点，且BD=CE，连结AE、 CD 订交于点 P请你补全图形，并直接写出APD

16、的度数 =；如图 2，Rt ABC 中， B=90，M、N 分别是 AB、BC 上的点，且 AM=BC、BM=CN，连结 AN、CM 订交于点 P请你猜想 APM =，并写出你的推理过程（2013 平谷一模）CCPNABABM图 1图 2C【分析】 图略， 6045E P N证明：作 AEAB 且 AECNBM .AMB可证 EAM MBCME MC， AMEBCM . CMBMCB 90 ,CMBAME 90 .EMC 90 . EMC 是等腰直角三角形 , MCE 45 .又 AEC CAN（ SAS）ECANAC.EC AN.APMECM 45 .思想拓展训练 ( 选讲 )训练 1.已知

17、：如图， ABC 中， AC=BC， ACB90 ， D 是 AC 上一点， AE BD 的延长线于 E，而且 AE1ABC .BD ，求证： BD 均分2AAE D E DCBFCB 【分析】 延伸 AE 交 BC 的延伸线于 FBE AF ， ACB 90 FAC DBC 在AFC 和 BDC 中，FAC DBCAC BCACF BCD AFC BDC（ ASA ）AF=BD1BD又 AE2 AE1 AFEF2.BE 是 AF 的中垂线 BA =BFBD 均分 ABC训练 2. 已知，在正方形 ABCD 中，E 在 BD 上，DG CE 于 G，DG 交 AC 于 F.求证：OE=OF【分

18、析】 ABCD 是正方形OD =OCDOC90DG CE DGC90 DOCDGC OFDGFC ODF ECO 在DOF 和 COE 中，DOF COEOD OCA DOE FGB CODF OCE DOF COE（ASA ） OE=OF训练 3.已知：如图， ABC中，ABAC，BAC，D是BC的中点，AFBE于90G 求证： DH DFA【分析】 ABAC，BAC，D是 BC 的中点90AD=BD=CD ， AD BCADB90HE AFBEGBCAGH90DFDBEDAF在BDH 和ADF 中，DBH DAFBD ADADB ADF BDH ADF （ ASA ）DH =DF训练 4.

19、 如图，已知矩形 ABCD 中， E 是 AD 上的一点， F 是 AB 上的一点， EF EC，且EF=EC， DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长 【分析】 在 Rt AEF 和 Rt DEC 中， EF CE， FEC=90， AEF+DEC =90，而 ECD +DEC =90，A E D AEF= ECD又 FAE= EDC =90 EF=ECRt AEF RtDCE FB C.AE =CDAD =AE+4矩形 ABCD 的周长为 32 cm，2（ AE+AE+4） =32解得 AE=6 cm .复习稳固题型一 等腰直角三角形模型 稳固练习【练习 1】 如

20、图， ACB、 ECD 均为等腰直角三角形，则图中与 BDC 全等的三角形为 _.E【分析】 AECACD B【练习 2】 如图，已知 Rt ABC 中 ACB BC 的中点， CE AD ，垂足为 AC 2BF 90，AC BC ，D是E BF AC ，交 CE 的延伸线于点F求证：【分析】 ACB，BF AC，90ACDCBF 90，ADC CAD 90CE AD，FCBADC 90，ACEDB CADFCB 又 ACCB ，ADC CFB DC FB D是 BC 的中点，BC 2BF ，即AC 2BFF题型二 三垂直模型 稳固练习【练习 3】 已知：如图，四边形 ABCD DF AE ，垂足为 F 请研究赐予证明是矩形（ AD AB），点 E 在 BC 上，且 AE =AD ， DF 与 AB 有何数目关系？写出你所获得的结论并【分析】 经研究，结论是： DF = AB证明以下：