山西中考各类方程应用题解析版.docx
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山西中考各类方程应用题解析版
各类方程应用
1．文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？
（购进的两种图书全部销售完.）
【答案】
（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；
（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.
【详解】
（1）设乙种图书售价每本
元，则甲种图书售价为每本
元．由题意得：
，
解得：
．
经检验，
是原方程的解．
所以，甲种图书售价为每本
元，
答：
甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．
（2）设甲种图书进货
本，总利润
元，则
．
又∵
，
解得：
．
∵
随
的增大而增大，
∴当
最大时
最大，
∴当
本时
最大，
此时，乙种图书进货本数为
（本）．
答：
甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．
2．某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的
，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．
①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？
最大利润是多少？
【答案】
（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；
（2）①进货方案有3种，具体见解析；②当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【详解】
（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，
根据题意可得
，解得
，
答：
该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；
（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，
根据题意可得
，解得75＜m≤78，
∵m为整数，
∴m的值为76、77、78，
∴进货方案有3种，分别为：
方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，
方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，
方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；
②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）=5m+1000，
∵5＞0，
∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78，
∴当m=78时，W最大，W最大值为1390，
答：
当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
3．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【答案】
（1）每个月生产成本的下降率为5%；
（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【详解】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：
400（1﹣x）2=361，
解得：
x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：
每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：
预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
4．为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y（单位:
台）和销售单价
（单位:
万元）成一次函数关系.
（1）求年销售量
与销售单价
的函数关系式;
（2）根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
【答案】
（1）
；
（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元.
【解析】
分析：
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．
详解：
（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：
，
解得：
，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据题意得：
（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：
x2﹣130x+4000=0，
解得：
x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．
答：
该设备的销售单价应是50万元/台．
5．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的
倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】
（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．
（2）10天.
【分析】
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为
x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作
天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为
x米，
根据题意得：
，
解得：
x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴
x=
×40=60，
答：
乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作
天，
根据题意得：
7m+5×
≤145，
解得：
m≥10，
答：
至少安排甲队工作10天．
6．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x（元/千克）
…
22.6
24
25.2
26
…
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【答案】
（1）当天该水果的销售量为33千克；
（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为25元．
【分析】
（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；
（2）根据总利润
每千克利润
销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，
，解得：
，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．
当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．
答：
当天该水果的销售量为33千克．
（2）根据题意得：
（x﹣20）（﹣2x+80）=150，
解得：
x1=35，x2=25．
∵20≤x≤32，
∴x=25．
答：
如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．
7．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？
请说明理由．
【答案】
（1）（20+2x），（40﹣x）；
（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．
【详解】
（1）、设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40-x元，
故答案为（20+2x），（40-x）；
（2）、根据题意可得：
（20+2x）（40－x）=1200，
解得：
即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；
（3）、（20+2x）（40－x）=2000，
，
∵此方程无解，
∴不可能盈利2000元．
8．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
【答案】
（1）20%；
（2）能.
【详解】
（1）设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2（1＋x）2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）．
答：
该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×（1＋20%）＝3.456（亿元），因为3.456＞3.4，
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
9．近几年来，为了缓减环境污染，某区加大了对煤改电的投资力度，该区居民在2015年有7500户完成煤改电，2017年有10800户完成了煤改电．
（1）求该区2015年至2017年完成煤改电户数的年平均增长率；
（2）2018年该区计划要完成煤改电的户数比2017年要有所增长，但增长率不超过15%，请求出2018年最多有多少户能完成煤改电．
【答案】
（1）该区2015年至2017年完成煤改电户数的年平均增长率20％；
（2）2018年最多有12420户能完成煤改电．
【详解】
（1）设该区2015年至2017年完成煤改电户数的年平均增长率为x,
根据题意得：
7500（1+x）2=10800，
即（1+x）2=1.44,
解得：
x1=0.2=20％，x2=-2.2（舍去），
答：
该区2015年至2017年完成煤改电户数的年平均增长率20％；
（2）设2018年有a户能完成煤改电，
根据题意得：
，
解得：
，
所以a的最大值为12420，
答：
2018年最多有12420户能完成煤改电．
10．2019年8月．山西龙城将迎来全国第二届青年运动会，盛会将至，整个城市已经进入了全力准备的状态．太职学院足球场作为一个重要比赛场馆．占地面积约24300平方米．总建筑面积4790平方米，设有2476个座位，整体建筑简洁大方，独具特色．2018年3月15日该场馆如期开工，某施工队负责安装该场馆所有座位，在安装完476个座位后，采用新技术，效率比原来提升了
．结来比原计划提前4天完成安装任务．求原计划每天安装多少个座位．
【答案】原计划每天安装100个座位．
【详解】
解：
设原计划每天安装
个座位，采用新技术后每天安装
个座位，
由题意得：
．
解得：
．
经检验：
是原方程的解．
答：
原计划每天安装100个座位．
【点睛】
此题重点考查学生对分式方程的实际应用，掌握分式方程的解法是解题的关键.
11．某服装店用4
000元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用6300元钱购进第二批这种文化衫，所进的件数比第一批多40%，每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，请解答下列问题：
（1）求购进的第一批文化衫的件数；
（2）为了取信于顾客，在这两批文化衫的销售中，售价保持了一致．若售完这两批文化衫服装店的总利润不少于4100元钱，那么服装店销售该品牌文化衫每件的最低售价是多少元？
【答案】
（1）50件；
（2）120元．
【详解】
解：
（1）设第一批购进文化衫x件，
根据题意得：
+10=
，
解得：
x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
答：
第一批购进文化衫50件；
（2）第二批购进文化衫（1+40%）×50=70（件），
设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元，
根据题意得：
（50+70）y﹣4000﹣6300≥4100，
解得：
y≥120，
答：
该服装店销售该品牌文化衫每件最低售价为120元．
12．在某市实施城中村改造的过程中，“旺鑫”拆迁工程队承包了一项10000m2的拆迁工程．由于准备工作充分，实际拆迁效率比原计划提高了25%，提前2天完成了任务，请解答下列问题：
（1）求“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁多少平方米；
（2）为了尽量减少拆迁给市民带来的不便，在拆迁工作进行了2天后，“旺鑫”拆迁工程队的领导决定加快拆迁工作，将余下的拆迁任务在5天内完成，那么“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁多少平方米？
【答案】
（1）“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁1250m2；
（2）“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁250m2．
【解析】
【详解】
（1）设“旺鑫”拆迁工程队计划平均每天拆迁xm2．
由题意，得
﹣
=2，
解得x=1000，
经检验，x=1000是原方程的解并符合题意．
（1+25%）×1000=1250（m2）．
答：
设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁1250m2．
（2）设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁ym2．
由题意，得5（1250+y）≥10000﹣2×1250
解得y≥250．
答：
“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁250m2．
13．如图，城市规划部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建乙面积为1500m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60m，宽为40m．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司承揽了修建停车场的工程（不考虑修通道），为了尽量减少施工对城市交通的影响，实施施工时，每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，求该公司原计划每天修建多少m2？
【答案】
（1）通道的宽度为5米．
（2）原计划每天天修125m2
【解析】
试题分析：
（1）设通道的宽度为
米．根据题目中的等量关系，列出方程，求解即可.
设原计划每天修
m2，实际每天修路
根据题意可得等量关系：
原计划修1500m2所用的天数-实际修1500m2所用的天数=2天，根据等量关系，列出方程即可．
试题解析：
（1）设通道的宽度为
米．
由题意
解得
或45（舍弃），
答：
通道的宽度为5米．
（2）设原计划每天修
m2．
根据题意，得
解得
经检验
，
是原方程的解，且符合题意．
答：
原计划每天天修
14．某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元．
（1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？
（2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？
【答案】
（1）2400元；
（2）8台．
【解析】
试题分析：
（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题目条件“商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元”列出分式方程解答即可；
（2）设最多将
台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可．
试题解析：
（1）设第一次购入的空调每台进价是x元，依题意，得
解得
经检验，
是原方程的解．
答：
第一次购入的空调每台进价是2400元．
（2）由
（1）知第一次购入空调的台数为24000÷2400＝10（台），第二次购入空调的台数为10×2＝20（台）．
设第二次将y台空调打折出售，由题意，得
解得
答：
最多可将8台空调打折出售．
15．在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载XX大脑的小度机器人以3：
1的总战绩，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来．
某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
【答案】
（1）该商家第一次购进机器人100个；
（2）每个机器人的标价至少是140元．
【解析】
试题分析：
（1）设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答；
（2）设每个机器人的标价是a元．根据“全部销售完毕的利润率不低于20%”列出不等式并解答．
解
（1）设该商家第一次购进机器人x个，
依题意得：
，
解得x=100．
经检验x=100是所列方程的解，且符合题意．
答：
该商家第一次购进机器人100个．
（2）设每个机器人的标价是a元．
则依题意得：
a﹣11000﹣24000≥×20%，
解得a≥140．
答：
每个机器人的标价至少是140元．
16．某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶需纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶需纯用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．
（1）求每行驶1千米纯用电的费用；
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
【答案】
（1）每行驶1千米纯用电的费用为0.26元．
（2）至少需用电行驶74千米．
【详解】
（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元，根据题意得：
=
解得：
x=0.26
经检验，x=0.26是原分式方程的解，
答：
每行驶1千米纯用电的费用为0.26元；
（2）从A地到B地油电混合行驶，用电行驶y千米，得：
0.26y+（
﹣y）×（0.26+0.50）≤39
解得：
y≥74，即至少用电行驶74千米．
17．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
【答案】
（1）该种干果的第一次进价是每千克5元.
（2）超市销售这种干果共盈利5820元．
【详解】
试题解析：
（1）、设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得
=2×
+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：
该种干果的第一次进价是每千克5元；
（2）、[
﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：
超市销售这种干果共盈利5820元．
考点：
分式方程的应用.
18．某工厂原计划生产24000台空气净化器，由于雾霾天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了12000台．工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产100台，实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍．求原计划每天生产多少台空气净化器．
【答案】原计划每天生产空气净化器400台．
【解析】
试题分析：
首先设原计划每天生产x台，然后得出原计划的天数，然后根据题意列出分式方程进行求解．
试题解析：
设原计划每天生产空气净化器
台，则原计划
天完成．
依题意得：
解得
．
经检验，
是原方程的解，并且符合题意．
答:
原计划每天生产空气净化器400台．
考点：
分式方程的应用．
19．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】
（1）每千克茶叶应降价30元或80元；
（2）该店应按原售价的8折出售．
【分析】
（1）设每千克茶叶应降价x元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【详解】
（1）设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：
（400﹣x﹣240）（200+
×40）=41600．
化简，得：
x2﹣10x+240=0．
解得：
x1=30，x2=80．
答：
每千克茶叶应降价30元或80元．
（2）由
（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为：
400﹣80=320（元），
．
答：
该店
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