完整word版数学分析曲面积分.docx
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完整word版数学分析曲面积分
第二十二章曲面积分
教学目的：
1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。
教学重点难点：
本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。
教学时数：
18学时
§1第一型曲面积分
一.第一型面积分的定义:
1. 几何体的质量:
已知密度函数,分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算
2. 曲面的质量:
3. 第一型面积分的定义:
定义及记法.,面积分
.
4. 第一型面积分的性质:
二.第一型面积分的计算:
1. 第一型曲面积分的计算:
Th22.2设有光滑曲面
.
为
上的连续函数,则
.
例4计算积分
其中
是球面
被平面
所截的顶部.P281
§2第二型曲面积分
一.曲面的侧:
1. 单侧曲面与双侧曲面:
2.双侧曲面的定向:
曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧.设法向量为
则上侧法线方向对应第三个分量
即选“+”号时，应有
，亦即法线方向与
轴正向成锐角.类似确定其余各侧的法线方向
闭合曲面分内侧和外侧.
二.第二型曲面积分:
1.稳流场的流量:
以磁场为例.P284
2.第二型曲面积分的定义:
P284.闭合曲面上的积分及记法.
3.第二型曲面积分的性质:
线性,关于积分曲面块的可加性.
4.第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系:
设
为曲面
的指定法向,则
.
三.第二型曲面积分的计算:
Th22.2设
是定义在光滑曲面
D
上的连续函数,以
的上侧为正侧（即
）,则有
.
证P
类似地,对光滑曲面
D
在其前侧上的积分
.
对光滑曲面
D
在其右侧上的积分
.
计算积分
时,通常分开来计算三个积分
.
为此,分别把曲面
投影到YZ平面,ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面
的定向决定.
例1计算积分
其中
是球面
在
部分取外侧.P287
例2计算积分
，
为球面
取外侧.
解对积分
分别用
和
记前半球面和后半球面的外侧,则有
:
;
:
.
因此,
=
+
=
.
对积分
分别用
和
记右半球面和左半球面的外侧,则有
:
;
:
.
因此,
+
=
.
对积分
分别用
和
记上半球面和下半球面的外侧,则有
:
;
:
.
因此,
=
+
=
.
综上,
=
.
§3Gauss公式和Stokes公式
一.Gauss公式:
Th22.6设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面
围成.若函数
在V
上连续,且有连续的一阶偏导数,则
其中
取外侧.
称上述公式为Gauss公式或Остроградский―Gauss公式.
证只证
.
设V是
型区域（即
型体）,其边界曲面
由曲面
下侧,
D
上侧,
D
.
.
以及垂直于
平面的柱面
（外侧）组成.注意到
=
有
=
=
.
可类证
.
以上三式相加,即得Gauss公式.
例1计算积分
，
为球面
取外侧.
解
.
由Gauss公式
.
例2计算积分
，其中
是边长为
的正方体V的表面取外侧.V:
.P291
解应用Gauss公式,有
.
例1 计算积分
，
为锥面
在平面
下方的部分，取外法线方向.
解设
为圆
取上侧,则
构成由其所围锥体V的表面外侧,由Gauss公式,有
=
锥体V的体积
;
而
因而,
.
例1 设V是三维空间的区域,其内任何封闭曲面都可不通过V外的点连续收缩为V上的一点.又设函数
、
和
在V上有连续的偏导数.
表示V内任一不自交的光滑封闭曲面,
是
的外法线.试证明:
对V内任意曲面
恒有
的充要条件是
在V内处处成立.
证
.
由Gauss公式直接得到.
反设不然,即存在点
V,使
不妨设其
.由
在点
连续,存在以点
为中心且在V内的小球
使在其内有
.以
表示小球
的表面外侧,就有
与
矛盾.
二.Stokes公式:
空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系:
右手螺旋法则,即当人站在曲面的正侧上,沿边界曲线L行走时,若曲面在左侧,则把人的前进方向定为L的正向.
1.Stokes定理:
Th22.7设光滑曲面
的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数
、
和
在
（连同L）上连续,且有一阶连续的偏导数,则
.
其中
的侧与L的方向按右手法则确定.
称该公式为Stokes公式.
证先证式
.具体证明参阅P292.
Stokes公式也记为
.
例5计算积分
其中L为平面
与各坐标平面的交线,方向为:
从平面的上方往下看为逆时针方向.P294
2.空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性:
空间单连通、复连通域.
Th22.5设
R
为空间单连通区域.若函数
、
和
在
上连续,且有一阶连续的偏导数,则以下四个条件等价:
ⅰ>对于
内任一按段光滑的封闭曲线L,有
;
ⅱ>对于
内任一按段光滑的封闭曲线L,曲线积分
与路径无关;
ⅲ>
是
内某一函数
的全微分;
ⅳ>
在
内处处成立.P294
3.恰当微分的原函数:
恰当微分的验证及原函数求法.
例6验证曲线积分
与路径无关,并求被积表达式的原函数
.P295
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