近世代数10套试题.docx
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近世代数10套试题
《近世代数》试卷1（时间120分钟）
、判断题（对打“V”错打“x”每小题2分，共20分）
1.
（
）循环群的子群是循环子群。
2.
（
）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3.
（
）存在一个4阶的非交换群。
4.
（
）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5.
（
）无零因子环的特征不可能是2001。
6.
（
）无零因子环的同态象无零因子。
7.
（
）模97的剩余类环Z97是域。
8.
（
）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9.
（
）域是唯一分解整环。
10.
（
）整除关系是整环R的兀素间的一个等价关系。
、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）
1•设A、B是集合，|A|=3,|B|=2，则共可定义个从A到B的映射，其中
有个单射，有个满射，有个双射。
2.设群G是24阶群，G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为，子群H=的
在G中的指数是。
3.设G=是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4.在模12的剩余环R={[0],[1],……,[11]}中，[5]+[10]=,:
5:
•[10]
，方程x2=[1]的所有根为。
5.环Z6的全部零因子是。
6.
在Z[V-3]中有两种本
解答题（共30分）
整环Z[V-3]不是唯一分解整环，因为它的元素％=
质不同的分解a=
得分
评卷人
复查人
1.设S3是3次对称群，a=（123）€S3.
（1）写出H=的所有元素.
（2）计算H的所有左陪集和所有右陪集.
（3）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由.
2.求模18的剩余类加群（Z18,+,[0]）的所有子群及这些子群的生成元。
四、证明题（共30分）
1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明
（1）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数;
（2）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
2•设$是环（R,+,•,0,1）到环（R,+,•0/,1/）的同态满射。
N=Ker$={x|x€R且0（x）=0/},证明：
$是同构映射当且仅当N={0}。
3.证明：
非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
《近世代数》试卷2（时间120分钟）
一、填空题
（共20分）
1.设G=（a）是6阶循环群，则G的子群有。
2•设A、B是集合，|A|=2,|B|=3，则共可定义个从A到B的映射，其中
有个单射，有个满射，有个双射。
3.在模12的剩余环R={[0],[1],……,[11]}中，[10]+：
5]=,:
10]•:
5]
=，方程x2=[1]的所有根为。
4.在5次对称群S5中，（12）（145）=,（4521）=,
（354）的阶为。
5.整环Z中的单位有。
6.在多项式环Z11:
x]中，（[6]x+：
2]11=。
二、判断题（对打“错打“X”，每小题2分，共20分）
1.
（
）若群G的每一个元满足方程x2=e（其中e是G的单位元），则G是交换群。
2.
（
）一个阶是13的群只有两个子群。
3.
（
）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
4.
（
）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不
变子群。
5.
（
）主理想整环R上的一兀多项式环R[x]是主理想整环。
6.
（
）存在特征是2003的无零因子环。
7.
（
）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
8.
（
）模21的剩余类环Z21是域。
9.
（
）整除关系是整环R的兀素间的一个等价关系。
10.
（
）除环只有零理想和单位理想。
三、解答题（共30分）
1.设H={
（1）,（123）,（132）}是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？
为什么？
2.设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。
试问:
H是否是G的子群？
为什么？
四、证明题（共30分）
1.设li={4k|k€Z},I2={3k|k€Z}，试证明:
（1）Il,l2都是整数环Z的理想。
（2）I1A12=（12）是Z的一个主理想。
2•设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明：
A={a|a
€R且f（a）€A}是R的理想。
3.证明，设S是环（R,+,•0,1）的子环，N是R的理想，且SAN={0},则剩余
类环R/N有子环与S同构。
、填空题（共20分）
1.设G=（a）是6阶循环群，则G的子群有。
2.设A、B是集合，|A|=|B|=3,则共可定义个从A到B的映射，其中
有
个单射，有
个满射，有
个双射。
3.
在4次对称群S4中,
（24）（231）=
（4321）r=,
（132）
的阶为
。
4.
整环Z中的单位有
。
5.
环Z6的全部零因子是
。
6.
设群G是24阶群，
G中兀素a的阶是6,则兀素
a2的阶为，子群H=的
在G中的指数是
、判断题（对打“/,错打“X”，每小题2分,共20分）
1.
2.
（
（
）一个阶是11的群只有两个子群。
）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不
变子群。
3.
（
）素数阶群都是交换群。
4.
（
）循环群的商群是循环群。
5.
（
）模27的剩余类环Z27是域。
6.
（
）存在特征是2004的无零因子环。
7.
（
）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
8.
（
）域是主理想整环。
9.
（
）域只有零理想和单位理想。
10.
（
）相伴关系是整环R的兀素间的一个等价关系。
三、解答题（共30分）
1.设H={
（1）,（12）}是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H
是否是S3的不变子群？
为什么？
2.求模12的剩余类加群（Z12,+,[0]）的所有子群及这些子群的生成元。
四、证明题（共30分）
1•设li={2k|k€Z},I2={3k|k€Z}，试证明:
（1）Il,l2都是整数环Z的理想。
（2）I1A12=（6）是Z的一个主理想。
2.设$是群G到群H的同态满射,H1是H的子群。
证明：
G1={x|x€G且$（x）€H1}是G的子群。
3.设环（R,+,•0,1）是整环。
证明：
多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。
一、填空题（共20分，每空2分）
1.设A、B是集合，|A|=2,|B|=3，则共可定义个从A到B的映射，其中
有个单射，有个满射，有个双射。
2•设G=（a）是6阶循环群，则G的子群的个数是。
3.在剩余类环Zi8中，[8]+[12]=,:
6:
•:
7]=。
4.环Z6的全部零因子是。
5.在多项式环Zi7:
x]中，（[6]x+[7]）17=。
6.在模7的剩余类环Z7中，方程x2=1的所有根是。
二、判断题（对打“V”错打“x”每小题2分，共20分）
1.
（
）交换群的子群是不变子群。
2.
（
）一个阶是11的群只有两个子群。
3.
（
）无零因子环的特征不可能是2004。
4.
（
）有单位兀且满足消去律的半群是群。
5.
（
）模21的剩余类环Z21是域。
6.
（
）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。
7.
（
）若R是主理想整环，则一兀多项式环R:
x]是主理想整环。
8.
（
）除环只有零理想和单位理想。
9.
（
）欧氏环是唯一分解整环。
10.
（
）无零因子环的同态象无零因子。
三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）
1.设H=｛
（1）,（12）是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H
是否是S3的不变子群？
为什么？
2.求模12的剩余类环Z12的所有理想。
四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）
1.
设〜是整数集Z上的模7同余关系，试证明〜是Z上的等价关系，并求所有等价类。
R且f（a）€A}是R的理想。
3.证明，非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
一、填空题（共20分，每空2分）
1.在对称群S4中，（134）（12）=,（2143）。
2.在多项式环Z11:
x］中，（［6:
x+［2］）11=。
3•设G=（a）是6阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4.在模6的剩余环Z6中，方程x2=1的所有根为。
5.环Z10的所有零因子是。
6•设A、B是集合，|A|=3,|B|=2，则共可定义个从A到B的映射，其中有
个单射，有个满射，有个双射。
二、判断题（对打“错打“X”，每小题2分，共20分）
1.
（
）循环群的子群是循环群。
2.
（
）若H1、H2都是群G的子群，则H1UH2也是群G的子群。
3.
（
）交换群的子群是不变子群。
4.
（
）一个阶是11的群只有两个子群。
5.
（
）模15的剩余类环Z15是域。
6.
（
）无零因子环的同态象无零因子。
7.
（
）欧氏环上的一兀多项式环是欧氏环。
8.
（
）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9.
（
）整除关系是整环R的兀素间的一个等价关系。
10.
（
）域是主理想整环。
三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分,共35分）
1.设H=｛
（1）,（13）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H
是否是S3的不变子群？
为什么？
2.求模18的剩余类环Z18的所有理想。
四、证明题（第1、2小题各10分,第3小题5分，共25分）
1.设〜是整数集Z上的模6同余关系，试证明〜是Z上的等价关系，并求所有等价类。
2.设H1和H2分别是群（G,:
■,e）的子群，并且|H1|=m,|H2|=n,m、n有限，（m,
n）=1,试证：
H1dH2={e}。
3.证明，设S是环（R,+,•0,1）的子环，N是R的理想，且SAN={0},则剩余类环R/N有子环与S同构。
一、填空题（每空2分，共20分）
1、设有集合A和B,|A|=3,|B|=2,则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，
个满射，个双射。
2、设G=（a）是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数为.
3、在5次对称群S5中，（12）（135）=,（5132）的阶是,（43125）'=。
13
4、在模13的剩余类环Z13的多项式环Z13[x]中，（[7]x+[3]）=。
2
5、在模6的剩余类环Ze中，方程x=[1]的所有根是.
二、判断题（对打“/，错打“X”，不说明理由，每小题2分，共20分）
1、（）模99的剩余类环Z99是域。
2、（）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。
3、（）域有且仅有两个理想。
4、（）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。
5、（）无零因子环的特征不可能是93。
6、（）无零因子环的同态象无零因子。
6、（）欧氏环一定是唯一分解整环。
8（）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
9、（）循环群有且仅有一个生成元。
10、（）循环群的子群是不变子群。
三、解答题（第1题15分，第2,3题各10分，共35分）
1、设H={
（1）,（12）}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H是否是
S3的不变子群？
为什么？
2、设a,b是群G的两个元，ab二ba,a的阶是m,b的阶是n,m,n有限且
（m,n）=1,H=（a）,K-（b），求HK。
3、求模12的剩余类环Z12的所有理想。
四、证明题（第1,2题各10分，第3题5分，共25分）
1、证明：
在整数环Z中由34和93生成的理想（34,93）就是Z本身。
价关系。
3、设R1,R2都是环，’是环R1到R2的满同态映射，01和02分别是环R1和R2的零元,
N二ker二｛x|x・R「（x）=02｝，证明：
「是同构映射当且仅当N二｛0』。
一、判断题（对打“/，错打“X”，不说明理由，每小题2分，共20分）
1、（）一个阶是11的群只有两个子群。
2、（）设G是群，A是G的不变子群，B是A的不变子群，则B是G的不变子群。
3、（）循环群的商群是循环群。
4、（）素数阶的群都是交换群。
5、（）存在特征是2007的无零因子环。
6、（）有乘法单位元的环的同态象也有乘法单位元。
7、（）满足左、右两个消去律的有单位元的半群是群。
8（）域只有零理想和单位理想。
9、（）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。
10、（）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。
二、填空题（每空2分，共20分）
1、设有集合A和B，|A|=|B|=3,则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，
个满射，个双射。
23
2、设群G是12阶群，G中元素a的阶是6,则元素a的阶是，子群H=（a）在G
中的指数是.
3、整数环Z中的单位有.
4、模6的剩余类环Z6的所有零因子是.
13
5、Z13是模13的剩余类环，在一元多项式环Z13[x]中，（[3]x+[6]）=.
6、是整数环的商域.
三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设H=｛
（1）,（23）｝是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H是否是
S3的不变子群？
为什么？
3、在整数环Z中，求由182和51生成的理想A=（182,51）。
四、证明题（第1,2题各10分，第3题5分，共25分）
1、设Z是整数集，A二{3k|k•Z},B={2k|k•Z},证明：
（1）A,B都是整数环Z的理想;
（2）A「B是Z的由6生成的主理想（6）。
2、设G和H是两个群，f是群G到H的满同态映射，B是H的子群，试证明:
A二{a|a•G,f（a）•B}是G的子群。
3、设Z是整数环，证明：
多项式环Z[x]能与它的一个真子环同构。
一、填空题（每空2分，共20分）
1
1、4次对称群S4的阶是，在S4中，（14）（312）=,（1423）=,元素（132）的
阶是.
2、整数加群Z是一个循环群，它有且仅有两个生成元是和.
3、模6的剩余类环Z6的全部零因子是.
4、在模12的剩余类环Z12中，[6]+[8]=,[8][6]=.
5、Z17是模17的剩余类环，在一元多项式环乙7[x]中，（[6]x+[8]）17=.
二、判断题（对打，错打“X”，不说明理由，每小题2分，共20分）
1、（
）交换群的子群是不变子群。
2、（
）若H1,H2是群G的子群，贝yH1TH2也G是的子群。
3、（
）任意两个循环群冋构。
4、（
）模27的剩余类环Z27是域。
5、（
）一个阶是19的群只有两个子群。
6、（
）欧氏环上的一兀多项式环是欧氏环。
7、（
）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。
&（
）域是唯一分解环。
9、（
）存在特征是143的无零因子环。
10、（
）只有零理想和单位理想的环是域。
三、解答题（第1题15分，第2,3题各10分，共35分）
1、设H-｛
（1）,（123）,（132）｝是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H是否是S3的不变子群？
为什么?
3、设G是交换群，e是G的单位元，n是正整数，H=｛a|a•G,an=e｝，问：
H是否是G
的子群？
为什么？
四、证明题（第1,2题各10分，第3题5分，共25分）
1、证明：
整数环Z中由34和15生成的理想（34，15）就是Z本身。
2、设G和H是两个群，e和e分别是G和H的单位元，f是群G到H的满同态映射,
B是H的子群，证明：
A二｛a|a•G,f（a）•B｝是G的子群。
3、设S是环（R,•,;0,1）的子环，N是R的理想且S「N二｛0｝，证明：
剩余类环rn有子环与S同构。
一、填空题（每空2分，共20分）
1、设G=（a）是15阶循环群，则G的子群的个数为.
2、整数加群Z是一个循环群，它有且仅有两个生成元是和.
3、4次对称群S4的阶是—，在S4中，（134）（12）=,（1324）二=,元素（1234）的阶
是.
4、在剩余类环Z18中，[11]+[8]=,[5][6]=.
5、整数环Z上的一元多项式环Z[x]中的理想不是一个主理想.
6、是整数环Z的一个商域.
二、判断题（对打“/，错打“X”，不说明理由，每小题2分，共20分）
1、（）一个阶是13的群只有两个子群。
2、（）交换群的子群是不变子群。
3、（）全体整数的集合对于普通减法构成一个群。
4、（）无零因子环的特征不可能是2007。
5、（）群G的指数是2的子群一定是不变子群。
6、（）模15的剩余类环Z15是域。
7、（）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。
&（）除环的中心是域。
9、（）欧氏环—-定是主理想整环。
10、（）无零因子环的同态象无零因子。
三、解答题（第1题15分，第2,3题各10分，共35分）
1、设H-{
（1）,（13）}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H是否是
S3的不变子群？
为什么？
3、在整数环Z中，求由2007和5生成的理想（2007,5）。
四、证明题（第1,2题各10分，第3题5分，共25分）
1、设〜是整数环Z上的模5同余关系，试证明：
〜是Z上的一个等价关系并写出这个等价关系所决定的等价类。
2、设Ri,R2都是环，f是环Ri到R2的满同态映射，B是R2的理想，试证明：
A二｛a|aR,f（a）B｝是R1的理想。
3、证明：
非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
一、判断题（对打“/，错打“X”，不说明理由，每小题2分，共20分）
1、（）若A,B都是群G的子群，则ATB也是G的子群。
2、（）交换群的子群是循环群。
3、（）循环群的同态象是循环群。
4、（）一个阶是11的群只有两个子群。
5、（）有单位元且满足消去律的有限半群是群。
6、（）存在特征是1005的无零因子环。
7、（）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。
8（）域是主理想整环。
9、（）模2007的剩余类环Z2007是域。
10、（）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
二、填空题（每空2分，共20分）
1、设G=（a）是10阶循环群，则G的子群的个数为.
2、在5次对称群S5中，（13）（125）=,（15423）'=.
3、设有集合A和B，|A|=2,|B|=3,则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，
个满射，个双射。
4、模6的剩余类环Z6的全部零因子是.
5、设R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想且I严R，则R|是域当且仅当I是R的一个.
6、在多项式环Zn［x］中，（［61X+I2］）11=。
三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设H-｛
（1）,（123）,（132）｝是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H
是否是S3的不变子群？
为什么？
3、设H是群G的子群，对a,b•G，定义a〜b=b」a•H，试问：
〜是否是G上的等
价关系？
为什么?
四、证明题（第1,2题各10分，第3题5分，共25分）
1、证明：
在整数环Z中由26和33生成的理想（26,33）就是Z本身。
2、设Gi,G2是两个群，f是群Gi到G2的满同态映射，B是G2的子群，试证明:
A二｛a|af（a）B｝是G1的子群。
3、设S是环（R,,；0,1）的子环，N是R的理想且S.N二｛0｝，证明：
剩余类环rn有子
环与S同构。
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