特殊三角形在中考数学解题中的运用.docx

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特殊三角形在中考数学解题中的运用

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特殊三角形在中考数学解题中的运用-中学数学论文

特殊三角形在中考数学解题中的运用

荣慧英

（浙江省教育科学研究院附属实验学校，浙江杭州310004）

摘要：

作为数学的基本图形之一，三角形在初中数学几何中占主导地位，而且是学习其他初中几何图形的重要基础，在历年的中考考题中更是重点的考查对象。

在数学考试中，由于一些学生不能充分利用所学的基本图形解题，所以感觉几何题比较难或考试时间不够。

本文以“练习——整理——讲解——经历成功——巩固”的复习思路，探讨特殊三角形在中考数学几何解题中的运用，使学生不但学会解题而且学会学习。

关键词：

特殊三角形；中考数学；几何；解题

中图分类号：

G633文献标识码：

A文章编号：

1005-6351（2013）-02-0053-02

建构主义认为，学生学习知识的过程是主动地建构知识的过程，学生以自己已有的知识、经验为基础，对新的信息进行加工、理解，由此构建起新知识的意义，同时，原有的知识经验因为新知识经验的进入而发生调整和改变。

在数学教学中，我们可以有意识地融入一些学生已有的经验，使学生不但在本块知识中巩固，而且在其他板块知识中也能应用和巩固，对于学生的数学学习和持续发展有事半功倍的效果。

在中考前的第一轮复习时，面对复杂的初中数学几何题，许多学生有点望而生畏。

如果这时有意培养学生从复杂图形中寻找出特殊三角形，能有效提高学生的解题效率，同时也对学生进行了数学学习方法的培养，对于解决几何计算和证明问题有着积极的意义。

一、整理特殊三角形知识，为解题运用打好基础

为了更好的学习，把需要的已有知识进行整理归纳，方便发现特殊三角形，从而获得解题思路。

特殊三角形主要有四种：

等腰三角形，等边三角形，直角三角形和钝角三角形。

初中阶段这四种特殊三角形的定义，性质，判定知识主要有：

（一）等腰三角形

1、两边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等边对等角；三线合一。

3、等角对等边。

（二）等边三角形

1、三边相等的三角形叫做等边三角形。

2、三个角相等且都是60度；三个三线合一。

3、三个角相等或都是60度；有一个角是60度的等腰三角形。

（三）直角三角形

1、两个锐角互余的三角形叫做直角三角形。

2、斜边上的中线等于斜边的一半；30度锐角所对的直角边等于斜边的一半；勾股定理。

3、勾股定理的逆定理；直径所对的圆周角是直角。

（四）钝角三角形

由于钝角三角形的高有的在形内，有的在形外，在涉及三角形高的问题中，每个同学都会想到高在内部的情况而许多会忘记高在外部的情况，所以应引起重视，而有关面积的题目绝大多数会涉及到高。

二、针对题目问题，寻找特殊三角形

有了前面特殊三角形的基础知识，同学们会在解几何题时有意识的寻找这些基本图形，在可能（有时要连辅助线）有三角形的题目中，首先观察是否有可以利用的特殊三角形，然后引导学生主动找出这些特殊三角形并且进行关注，把它们运用于解题的过程中，在熟练掌握其定义，性质，判定的前提下，对于有关三角形的几何题，不但可以提高解题速度，而且不会少解。

考试中常有这样几类题得分率不够理想：

（一）圆的直径——直角三角形

例如：

在△ABC中，∠A=60°，以BC为直径画圆，则点A（）

A.一定在圆外

B.一定在圆上

C.一定在圆内

D.可能在圆外，也可能在圆内，但一定不在圆上

答案是A，但60%的同学会选择D，原因是D像正确答案,根本没有考虑“直径所对的圆周角是直角”这个既直观又重要的性质，并且毫无解题思路，经问卷调查20%的正确答案中也有一半同学是猜对的，图1中以BC为斜边的直角三角形90%同学想不到,这说明绝大多数同学没有用学过的数学知识解题的意识，没有利用特殊三角形的意识。

在涉及到直径的题目大多都要用到“直径所对的圆周角是直角”，然后找到直角三角形。

所以在讲解所有有关直径的题目时，不管题目是否用这种方法，都可以引导学生考虑这条思路，久而久之，这条思路就成为了解题经验。

（二）有一个角是60°的等腰三角形——等边三角形

例如：

如图2，已知EF是⊙O的直径，把∠A为30°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合。

将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止。

设∠POF=x°，则x的取值范围是。

答案是60°≤x≤120°，题目得分率极低，原因是大部分学生看完题目感觉很复杂，根本没弄清考查的内容是什么，如果发现了起始和终止两个位置上的直角三角形和等边三角形，题目就很简单了，也是由于没有利用特殊三角形的意识造成的。

首先要用到“直径所对的圆周角是直角”找到直角三角形，然后对于半径OP和OF以及60°的夹角，发现等边三角形OPF不是难事，难在半径OP和OF的发现上，所以平常在讲题时要强调两条半径出现的等腰三角形极其有用。

（三）外角是不相邻内角两倍的三角形——等腰三角形

例如:

小明要测量河的宽度。

如图3所示是河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树。

小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。

请你根据这些数据帮小明算出河宽。

（参考数据：

sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

答案是约47.5米，阅卷时发现80%的同学没有发现等腰△MEN,而是用了图4的方法，虽然得分率不低，但是由于计算量很大，许多宝贵的时间浪费掉，使得整张试卷的完成不够理想，而且不少同学算错了。

如果在题目中发现了等腰三角形MEN，将会使题目的难度大大降低，解题时间大大缩短。

同时也使外角在三角形知识中的地位大大提高，这也有利于今后能由外角的关系找特殊三角形，拓宽了几何解题的思路。

同学们知道了这些，外角等于不相邻内角两倍的三角形——等腰三角形就很容易发现了。

（四）三角形面积或高——钝角三角形

例如:

小明家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m，请你帮小明计算这块菜地的面积。

答案是（600+1507）m2或（600-1507）m2，有70%的同学都没有发现这条高在形外的钝角三角形。

由于三角形的面积公式中有高，所以高在三角形内和三角形外对三角形面积是否有影响可以让学生在这道题中感受到。

并且总结出高在三角形内外的两种情形一定要都考虑到。

在讲解错题的时候，如果让学生自己去发现题目中的特殊三角形，然后进行细致讲解，满足心理学上的发现学习的要求，就能使得教学成为有意义的接受学习，为后面的持续性学习奠定基础。

三、利用解题优势，提升解题技巧

（一）运用特殊三角形解题，让学生感受到它的优势

心理学告诉我们，学习是基于经验而导致行为或行为潜能发生相对一致的变化的过程。

数学学习的重要特点之一是接受——建构式学习。

为了让学生进行有意义的接受——建构式学习，所以可以让学生感觉到利用特殊三角形解题的优势——简单且计算量少。

例如：

如图5，小张与同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°。

已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1:

3（即AB︰BC=1:

3），且B、C、E三点在同一条直线上。

请根据以上条件求出树DE的高度。

根据陕西师范大学数学系罗增儒教授的解题差异论，这道题可以比较条件和结论，既要与△ABC中的边AB有关系，又要与△DCE中的边DE有关系，所以研究与这两个三角形都有关系的△ADC,发现是含有30°直角三角形之后，就会极其简单的得出DE为6米，否则过程会相当复杂，可以让学生深刻的感受到利用特殊三角形是解几何题的一条极好思路，同学们的学习热情达到了高涨，为后面的经验巩固奠定了良好的基础。

（二）巩固已有经验，提升解题技巧

心理学告诉我们，数学技能是一种通过学习而获得的自觉性动作方式或操作系统。

数学技能主要是一种智力技能，以运算、推理和作图等方式表现出来，它的学习是通过反复练习来完成的。

所以我们必须让学生在练习中把经验巩固，而且在几何的其他章节的复习中也要巩固这个经验。

巩固练习题组如下：

1、（2012·鄂州）如图6，四边形OABC为菱形，点A,B在以O为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为（）

2、（2012·扬州）如图7，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D。

（1）求证：

AC平分BAD；

（2）若AC＝25，CD＝2，求⊙O的直径。

3、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40m，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15m（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积。

4、上午8时，一艘船从A处出发，以15海里／时的速度向正北方向航行，９时45分到达B处。

从A处测得灯塔C在北偏西30°方向,从B处测得灯塔C在北偏西60°方向,求B处到灯塔C的距离。

5、（2012·杭州）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为cm。

解题思路分析：

第1题的答案是A，由圆的半径OA=OB,菱形OA=AB，带着特殊三角形的思路就可发现等边三角形BAO而求出∠AOB，再求出∠AOC，即可得解。

第2题

（1）发现了等腰三角形OAC即可得证。

（2）由“直径所对的圆周角是直角”,在直角三角形ABC中求解即可，答案是5。

第3题必须画出锐角三角形和钝角三角形才能求出正确答案480m2或768m2。

第4题是外角等于内角两倍的等腰三角形△BAC。

第5题的答案是15,1或9。

这道题是暗示同学们把特殊三角形的经验推广到所有的几何知识中，这样同学们不但学会了巧妙解三角形的题目，而且学会了学习，提高了学生的可持续发展能力。

《数学课程标准》在空间观念上要求学生“能从复杂的图形中分解出基本的图形。

并能分析其中的基本元素及其关系”。

在几何解题教学过程中，引导学生主动识别、提炼问题的基本图形，实质是把一个数学问题在剔除无关信息后展现本质结构的过程。

根据认知心理学的理论，一旦学会了某种行为，行为或行为潜能的变化就必须在不同场合表现出相对一致性,一个经历丰富并且善于反思的人，他的直观能力必然会随着经验的积累而增强。

所以“练习——整理——讲解——经历成功——巩固”可以使学生不但学会了寻找特殊三角形解答几何题，而且在后面的复习中也会自己整理其他章节的基本图形的知识进行复习，提升学生的数学思维能力和自主学习的自觉性。

参考文献：

［1］罗增儒.中学数学解题的理论与实践［M］.南宁:

广西教育出版社,2008.

［2］孔凡哲,曾峥.数学学习心理学［M］.北京:

北京大学出版社,2009.

［3］中华人民共和国教育部.英语课程标准［S］.北京:

北京师范大学出版社,2011.

［4］喻平.数学教育心理［M］.南宁:

广西教育出版社,2008.

［5］李士锜.数学教育心理学［M］.武汉:

华东师范大学出版社,2011.