高等代数北大版课件10.4对称双线性函数.ppt

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第十章双线性函数,10.1线性函数,10.2对偶空间,10.3双线性函数,10.4对称双线性函数,10.4对称双线性函数,一、对称双线性函数,二、反对称双线性函数,10.4对称双线性函数,三、正交基,四、双线性度量空间,10.4对称双线性函数,一、对称双线性函数,1.定义,设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量均有则称为对称双线性函数.,10.4对称双线性函数,命题1数域P上n维线性空间V上双线性函数是对称的（反对称的）在V的任意一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）.,证：

任取V的一组基,则,2.对称双线性函数的有关性质,10.4对称双线性函数,同样,10.4对称双线性函数,在下的矩阵为,例.,且为正定矩阵.,10.4对称双线性函数,定理5设V是数域P上n维线性空间.是V上对称双线性函数，则存在一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角形.,证：

只需证能找到一组基，使,1）若则,2）若不全为0，先证必有,10.4对称双线性函数,否则，若则对有,所以这样的是存在的.,对用归纳法.,时成立.,假设维数上述结论也成立.,将扩充为V的一组基,10.4对称双线性函数,令,则,易证仍是V的一组基.,考察由生成的线性子空间,有且,10.4对称双线性函数,把看成上的双线性函数，,仍是对称的.,由归纳假设，有一组基满足,故是V的一组基，且满足,由于,10.4对称双线性函数,若在基下的度量矩阵为对角矩阵,则对,注,10.4对称双线性函数,推论1设V是复数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对,10.4对称双线性函数,推论2设V是实数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对,为正惯性指数.,10.4对称双线性函数,线性空间V上双线性函数当时，V上函数称为与对应的二次齐次函数.,定义,设的度量矩阵为,给定V的一组基,式中的系数为,有,3.二次齐次函数,

（1）,10.4对称双线性函数,不同双线性函数可能导出同一个二次函数.,如：

设两个双线性函数在基,下的度量矩阵为,但可,则对应的二次齐次函数相同.,如：

10.4对称双线性函数,一个对称双线性函数只能导出一个二次型.,此即为以前学过的二次型.,此时，,而二次型与对称矩阵1-1对应.,10.4对称双线性函数,命题3为V上反对称双线性函数,证:

对,10.4对称双线性函数,二、反对称双线性函数,1.定义,设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量均有则称为反对称双线性函数.,10.4对称双线性函数,定理6设为n维线性空间V上反对称双线性函数（即）则存在V的一组基使,

（2）,2.反对称双线性函数的有关性质,10.4对称双线性函数,即在这组基下的度量矩阵为,10.4对称双线性函数,证：

首先是反对称的，,若为函数，则V的任意一组基皆可取作,结论成立.,.时，若不是函数.,否则若有则,10.4对称双线性函数,所以可取适当使,令即有,.假设维数时结论成立.,将扩充为V的一组基,则,令,10.4对称双线性函数,易证：

仍为V的一组基.,令,则,10.4对称双线性函数,于是,由归纳假设，看作上,双线性函数仍是反对称的.于是有,的基满足

（2）.,由于,都有,故满足

（2）.,10.4对称双线性函数,为V上对称双线性函数，若非退化的，则有V的一组基满足这样的基叫做V的对于的正交基.,三、正交基,定义,10.4对称双线性函数,为V上反对称双线性函数，若非退化的，则有V的一组基使,所以具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.,附,10.4对称双线性函数,设V是数域P上的一个线性空间，在V上定义了一个非退化的双线性函数.则称V为一个双线性度量空间.特别地，为V上非退化对称双线性函数时，V称为一个伪欧式空间.,四、双线性度量空间,定义,10.4对称双线性函数,