高中数学频率分布直方图与折线图正式版.docx
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高中数学频率分布直方图与折线图正式版
§2.2第5课时频率分布直方图与折线图
教学目标:
（1能列出频率分布表,能画出频率分布的条形图、直方图、折线图;会用样本频率分布去估计总体分布.
教学重点:
绘制频率直方图、条形图、折线图.
教学难点:
会根据样本频率分布或频率直方图去估计总体分布.
教学过程
一、问题情境
1.问题:
（1列频率分布表的一般步骤是什么?
（2能否根据频率分布表来绘制频率直方图?
（3能否根据频数情况来绘制频数条形图?
二、建构数学
1.频数条形图
例1.下表是某学校一个星期中收交来的失物件数,请将5天中收交来的失物数用条形图表示.
解:
象这样表示每一天频数的柱形图叫频数条形图.
2.频率分布直方图:
例2
解:
（1根据频率分布表,作直角坐标系,以横轴表示身高,纵轴表示频率/组距;
（2在横轴上标上表示的点;
（3在上面各点中,分别以连接相邻两点的线段为底作矩形,高等于该组的频率/组距.
频率分布直方图如图:
一般地,作频率分布直方图的方法为:
把横轴分成若干段,每一段对应一个组的组距,以此线段为底作矩形,高等于该组的频率/组距,这样得到一系列矩形,每一个矩形的面积恰好是该组上的频率.这些矩形构成了频率分布直方图.
2.频率分布折线图
在频率分布直方图中,取相邻矩形上底边的中点顺次连结起来,就得到频率分布折线图（简称频率折线图例2的频率折线图如图:
3.密度曲线
如果样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,则相应的频率折线图将趋于一条光滑的曲线,称这条光滑的曲线为总体的密度曲线.
例3.为了了解一大片经济林生长情况,随机测量其中的100株的底部周长,得到如下数据表（单位:
cm
（1编制频率分布表;（2绘制频率分布直方图;（3估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少,周长不小于120cm的树木约占多少.
解:
（1这组数据的最大值为135,最小值为80,全距为55,可将其分为11组,组距为5.
频率分布表如下:
（2直方图如图:
21%,周长不小于120cm的树木约占19%.
2.练习:
（1第57页第1题.
（2一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查,制成了
该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图,根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭85万盒.
三、回顾小结:
1.什么是频数条形图、频率直方图、折线图、密度曲线?
2.绘制频率分布直方图的一般方法是什么?
3.频率分布直方图的特征:
（1从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.
（2从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.
四、课外作业:
课本第57页第2题,第59页第2、3、4题.
利用JFreeChart生成折线图
通过JFreeChart插件，既可以生成普通效果的折线图，也可以生成3D效果的折线图。
如果想生成普通效果的折线图，需要通过工厂类ChartFactory的createLineChart（）方法获得JFreeChart类的实例；如果想生成3D效果的折线图，需要通过工厂类ChartFactory的createLineChart3D（）方法获得JFreeChart类的实例。
这两个方法的入口参数是完全相同的，各个入口参数的类型及功能请参见节的表14.2。
可以分别通过绘图区对象CategoryPlot的getDomainAxis（）方法和getRangeAxis（）方法，获得横轴对象和纵轴对象，通过得到的轴对象可以设置绘制坐标轴的相关属性，常用方法及实现功能如表14.4所示。
表14.4 设置坐标轴绘制属性的部分通用方法
通用方法
实现功能
setAxisLineStroke（Strokestroke）
通过该方法可以设置轴线的粗细
setAxisLinePaint（Paintpaint）
通过该方法可以设置轴线的颜色
setLabelFont（Fontfont）
通过该方法可以设置坐标轴标题的字体
setLabelPaint（Paintpaint）
通过该方法可以设置坐标轴标题的颜色
纵轴对象还提供了设置坐标最大值的方法setUpperBound（doublemax），在默认情况下将最大值控制在能够正常绘制统计图的范围内。
通过java.awt.BasicStroke类可以绘制出各种各样的线段，大体分为实线段和虚线段，可控的绘制条件包括线条的宽度、线段端点的风格、折线段的折点风格、虚线段的绘制风格和虚线段的绘制偏移量，BasicStroke类提供的所有构造方法如表14.5所示。
表14.5 BasicStroke类提供的所有构造方法
构造方法
使用说明
BasicStroke（）
创建一个实线对象，各控制条件均采用默认值，宽度为1.0，端点风格为CAP_SQUARE，折点风格为JOIN_MITER，折点控制值为10.0
BasicStroke（floatwidth）
创建一个指定宽度的实线对象，其他参数仍采用默认值
BasicStroke（floatwidth,intcap,intjoin）
创建一个指定宽度、指定端点风格和指定折点风格的实线对象，折点控制值仍采用默认值10.0
BasicStroke（floatwidth,intcap,intjoin,floatmiterlimit）
创建一个指定宽度、指定端点风格、指定折点风格和指定折点控制值的实线对象
BasicStroke（floatwidth,intcap,intjoin,floatmiterlimit,floatdash[],floatdash_phase）
通过该构造方法，既可以创建实线对象，又可以创建虚线对象，当将参数dash设为null时，创建的即为实线对象，如果将其设为float型数组，创建的则为虚线对象，最后一个参数用来设置开始绘制虚线的偏移量
线段端点的修饰风格有3种，分别由3个常量表示，具体信息如表14.6所示。
表14.6 线段端点修饰风格简介
常量名称
常 量 值
修饰办法
BasicStroke.CAP_BUTT
0
对线段端点不加任何修饰
BasicStroke.CAP_ROUND
1
在线段端点加半圆进行修饰，半圆的直径为线段的宽度
BasicStroke.CAP_SQUARE
2
在线段端点加矩形进行修饰，矩形的宽度为线段宽度的一半，矩形的高度为线段的宽度
线段折点的修饰风格同样有3种，也由3个常量表示，具体信息如表14.7所示。
表14.7 线段折点修饰风格简介
常量名称
常 量 值
修饰办法
BasicStroke.JOIN_MITER
0
对线段折点不加任何修饰
BasicStroke.JOIN_ROUND
1
在折线段的两端加半圆进行修饰，半圆的直径为线段的宽度
BasicStroke.JOIN_BEVEL
2
将组成折点的两条线段的外侧延长至相交，然后填充被包的区域
入口参数dash用来定义虚线，为float型数组，当dash数组由偶数个元素组成时，索引值为偶数的元素值代表虚线段的长度，索引值为奇数的元素值代表两个虚线段之间的空白部分的长度，需要注意的是，数组的索引值是从0开始的；当数组中只有一个元素时，例如dash={6}，等同于dash={6,6}。
注意：
建议不要为dash数组设定奇数个元素，那样将无法把握虚线的绘制规律，为一个元素的情况除外。
入口参数dash_phase用来定义虚线开始绘制位置的偏移量。
以dash={6}为例，如果dash_phase=0，则虚线正常绘制；如果dash_phase=3，则第一段短化线的长度为6-3，后面则正常绘制。
示例14-04 编程类图书年销量折线图分析
下面来看一个绘制折线图的例子，该例绘制的折线图效果如图14.6和图14.7所示。
图14.6 普通效果的折线图 图14.7 3D效果的折线图
代码14-04 光盘位置：
光盘\mingrisoft\14\sl\04
下面的代码负责定义折线的绘制风格，并将指定的图例用实线绘制，代码如下：
BasicStrokerealLine=newBasicStroke（1.6f）;
floatdashes[]={8.0f}; //定义虚线数组
BasicStrokebrokenLine=newBasicStroke（1.6f, //线条粗细
BasicStroke.CAP_ROUND, //端点风格
BasicStroke.JOIN_ROUND, //折点风格
8.f, //折点处理办法
dashes, //虚线数组
0.0f）; //虚线偏移量
intspecial=1; //定义利用需线绘制的图例
for（inti=0;i if（i==special）{
renderer.setSeriesStroke（i,realLine）; //利用实线绘制
}else{
renderer.setSeriesStroke（i,brokenLine）; //利用虚线绘制
}
}
下面的代码负责获得横轴对象，并设置相关的绘图属性，代码如下：
CategoryAxisdomainAxis=plot.getDomainAxis（）;
domainAxis.setAxisLineStroke（newBasicStroke（1.6f））; //设置轴线粗细
domainAxis.setAxisLinePaint（Color.BLACK）; //设置轴线颜色
domainAxis.setCategoryLabelPositionOffset（5）; //设置统计种类与轴线的颜色
domainAxis.setLabelFont（newFont（"黑体",Font.BOLD,16））; //设置坐标轴标题字体
domainAxis.setLabelPaint（Color.BLACK）; //设置坐标轴标题颜色
//设置坐标轴标题旋转角度，这里并未旋转，目的是告诉读者这个方法
domainAxis.setCategoryLabelPositions（CategoryLabelPositions.STANDARD）;
下面的代码负责获得纵轴对象，并设置相关的绘图属性，代码如下：
ValueAxisrangeAxis=plot.getRangeAxis（）;
rangeAxis.setAxisLineStroke（newBasicStroke（1.6f））; //设置轴线粗细
rangeAxis.setAxisLinePaint（Color.BLACK）; //设置轴线颜色
rangeAxis.setUpperBound（100.0f）; //设置坐标最大值
rangeAxis.setTickMarkStroke（newBasicStroke（1.6f））; //设置坐标标记大小
rangeAxis.setTickMarkPaint（Color.BLACK）; //设置坐标标记颜色
rangeAxis.setLabelFont（newFont（"黑体",Font.BOLD,16））; //设置坐标轴标题字体
rangeAxis.setLabelPaint（Color.BLACK）; //设置坐标轴标题颜色
rangeAxis.setLabelAngle（Math.PI/2）; //设置坐标轴标题旋转角度
指数概念的扩充-合作与讨论
1．本节课由正整数指数幂引出整数指数幂，进而引出分数指数幂、有理数指数幂，最后得出实数指数幂及其运算性质．然后通过例题与练习加深学生对这些概念的理解及运算性质的熟练应用，遵循由特殊到一般的认知思维过程．
2．零的零次幂和负整数次幂无意义，
（n
N*且n＞1）．
3．如何理解分数指数幂
的意义?
分数指数幂
不可理解为
个a相乘，它是根式的一种新的写法．规定
（a＞0，m，n都是正整数，n＞1），
（a＞0，m，n都是正整数，n＞1），在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已．0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定．
4．分数指数幂和整数指数幂有什么异同?
相同
不同
分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算
整数指数幂表示的是相同因式的连乘积而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式
5．有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质是否一样?
在运算形式上是完全一样的，都是ar·as＝ar＋s；（ar）s＝ars；（ab）r＝arbr，式中a＞0，b＞0，r、s
Q，对于这三条性质，不要求证明，但须记准，会正用，会逆用，要用活．
6．如何进行根式运算?
根式运算，教材中不介绍根式的运算性质，对于根式运算，简单的问题可根据根式的意义直接计算．一般可将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质进行计算．
注意，对计算结果的要求，不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数．
运算时要分清
与
这两种形式．对于前者，利用
（n＞1且n
N*）计算．
对于后者，要注意n是奇数还是偶数，即利用下列等式：
当n为奇数时，
；
当n为偶数时，
【例1】求下列各式的值．
（1）
（2）
．
解析：
（1）
是
一类且n为偶数．所以
．
（2）
是
一类且n为奇数；
是
一类且n为偶数；
是
一类．所以
．
7．如何进行根式与分数指数幂的互化?
分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的一种新的写法．互化时应根据规定，
（a＞0，m，n
N*且n＞1），
（a＞0，m，n
N*且n＞1）进行变形．
【例2】
（1）用负指数幂表示
；
（2）化掉分数指数幂
；
（3）写成指数幂的形式
解析：
直接根据“规定”互化即可．
（1）
；
（2）
（3）
．
8．如何进行分数指数幂和根式的运算？
（1）用分数指数幂进行根式运算，顺序是先化为分数指数幂，再根据幂的运算性质计算．
（2）计算结果不强求一致，如无特别要求，用分数指数幂的形式，如有要求，可据要求给结果．
（3）结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含负指数幂．
【例3】计算：
（1）
；
（2）
．
解析：
（1）先将根式化成分数指数幂再运算．
；
（2）可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底幂相乘除，并且注意符号．
．
【例4】
（1）化简
；
（2）已知a＝43，b＝32，求下式的值：
解析：
（1）化简时注意乘法公式
；
的应用．
（2）求值时，应先化简后求值：
原式
点评：
化简时把分数指数幂、负指数幂看作一个整体，然后使用有理式中的乘法公式分解因式进行约分化简，体现了整体思想．
知识总结
通过本节课的学习，使学生理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质并能熟练运用之进行化简、求值，能对根式、分数指数幂进行互化，培养学生的数学应用意识，使学生了解数学解题的化归与转化思想，教会学生用联系的观点看问题，并认识事物之间的普遍联系，提高学生的素质．
本节学习了分数指数幂及有理数指数幂的概念及其性质．
对于整数指数幂、分数指数幂及有理数指数幂的概念，课本上是直接规定的。
对于其性质，课本上只是类推过来，其证明方法教材没作要求，有兴趣的同学可在老师的辅助下完成证明．
由于本节课的重点在于概念及其性质的简单应用，故应熟练掌握运算性质，并灵活应用；课本上也有大量的例题与练习，通过学习要灵活掌握其运算技巧．
【例5】计算
（1）
；
（2）
．
解析：
小数化成分数，根式化成分数指数幂．
（1）原式
（2）原式
．
说明：
指数幂的一般运算步骤是：
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．
在本节的学习中，渗透了由特殊到一般（指数的推广），与一般到特殊（运算性质的使用），抽象概括（运算性质的概括），分类讨论等数学思想．
思路分析
1．本节的重点是整数指数幂、分数指数幂、有理数指数幂及实数指数幂的意义及其运算．
2．本节的难点是对这些指数幂的理解．
3．难点突破：
深刻理解整数指数幂、分数指数幂、有理数指数幂及实数指数幂的概念及其运算性质．
相关链接
1．最早使用指数符号的是法国数学家笛卡儿，他于1637年用an表示正整数指数幂，用a3代表a·a·a，用a4代表a·a·a·a．
分数指数幂在17世纪初开始出现，最早使用分数指数幂符号的是荷兰工程师司蒂文，以后又有人将其拓广到负指数．
直到18世纪初，英国数学家牛顿开始用an表示任意实数指数幂．这样，指数概念才由最初的正整数指数逐步扩展到实数指数．
2．有关根式的概念
（1）n次方根：
如xn＝a，则x叫a的n次方根，其中n＞1且n
N*．当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号
表示．当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，正数a的正的n次方根用
表示，负的n次方根用
表示，合并为
（a＞0）．
（2）根式：
式子
叫根式，n叫根指数，a叫被开方数．
（3）根式的基本性质：
如果一个根式的被开方数是一个正数或者零的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或都除以同一个正整数，根式的值不变．
（a≥0，m
N*，n，p是大于1的整数．
3．方根的性质
（1）跟立方根情况一样，奇次方根有下列性质：
在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数．
（2）跟平方根的情况一样，偶次方根有如下性质：
在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义，
（3）零的任何次方根都是零．
（4）据方根的意义，得两组常用的等式：
当n为任意正整数时，
；当n为奇数时，
．
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