概率论与数理统计第三章测验题答案更新.docx
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概率论与数理统计第三章测验题答案更新
第三章测验题答案（2010-05-11）
幵**卄*卄**卄*卄*卄*卄*卄**卄*卄*卄*卄*卄**卄*卄*卄*卄*卄**卄*卄*卄*卄*卄**卄**
*************
二.选择（共20分，每题5分）
P{1X1}[A]
（A）（B）（C）（D）
解：
因为随机变量X的绝对值不大于1,所以必定有X的所有取值只可能在
P{1X1}P{|X|1}P{X1}P{X1}11-
84
1
P{X1}P{Y1}―，在下列各式中成立的是[A]
2
11
解：
因为2-h所以X和丫的取值只能是1或-1，因此利用X与丫的边缘
分布律和两者独立性的条件可知（X,Y）的联合分布律，如下表所示:
7—
-1
1
P?
-1
1
1
1
4
4
2
1
1
1
1
4
4
2
Bj
1
1
1
2
2
因此P{XY}P（{XY1}{XY1}）
P{XY1}P{XY1}
111
---,故选项（A）正确，（B）错误;
442
P{XY0}P{X1,Y1}{X1,Y1}
P{X1,Y1}P{X1,Y1}
---，故选项（C）错误；
442
P{XY1}P{X丫1}{X丫1}
P{XY1}P{XY1}111
---，故选项（D）错误.
442
3.已知P{X0,Y0}
且P{X0}P{Y0}号
P{max（X,Y）
0}
[C].
3
（A）-（B）
7
5
（C）5
7
（D）
16
49
解：
本题关键是分析
max函数的含义，从而利用概率的加法公式来解
.具体
过程如下:
P{max（X,Y）
0}P{X
P{X
P{X
0或者丫
0}{Y
0}P{Y
0}
0}
0}P{X0}{Y0}
（因为事件{X
0}和事件{Y0}不互斥，所以只能利用加法公式
P{X
44
77
0}
3
7
P{Y0}P{X0,Y0}
5
7
4.设随机变量XNN（
2），则随着
的增大，P{X
}[].
（A）增大（B）减小
（C）保持不变（D）增减不定
P{|X|}叫也
11}P{1—
1}
（1）
（1）2
（1）
1,与
无关，所以选（C）.個为0,两边同时除以以后不等号不变号）
三.解答题（请写明求解过程，共63分）
1.（18分，每小题6分）已知随机变量X的分布函数为
0,x0
F（x）
Asinx,0x一
2
1，x2
求
（1）A;
（2）P{|X|-};（3）
6
f（x）.
解：
（1）利用分布函数的右连续性可知，在
x-点，右连续性表现为
limF（x）
x_
2
FQ，根据F（x）定义可知，当
x1时，F（x）1，所以
左边=lim
x_
2
F（x）=lim11,右边F（—）
X_2
2
Asin—A，故A=1.
2
所以得到
0,x0
F（x）sinx,0
（2）注意到这个
F（x）在整个实轴都是连续的，根据第二章的结论：
只要分
布函数是连续函数，那么随机变量在单点处的概率就为0,因此有
P{|X|6}P{6
P{6
f（6）
F（-）
sin—
6
（3）已知分布函数求概率密度,
只需要在密度函数的连续点处对x求导即可:
因此有f（x）
cosx,0x
2.
0,其它
（此题没有f（x）无定义的点，否则需要修改相应区间，例如第二章测验解
答题第一题.）
2.（15分）某元件寿命X服从参数为—的指数分布，则三个这样的元件
1000
使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少
解：
随机变量X表示元件寿命，由题意可知其概率密度为
1x
£/、丄e1000,%0
f（x）1000
0,otherwise
又因为P{X1000}
即元件能够使用超过
1X
1000f（x）dx1000而e1000dxe1.
1000小时的概率是e1，又因为三个元件的寿命是相互
3
独立的，所以最后所求概率值即为e1e3
3.（10分）已知二维随机向量（X,Y）的联合密度函数为
8xy,0xy1
f（x，y）0,其它
求（X,Y）的关于丫的边缘密度函数.
解:
通过以下四个步骤求边缘密度:
的密度函数.
1
h（y）-lny是ye2x的原函数，且
（10分）已知（X,Y）的概率密度为
1
-（Xy）,0f（x,y）8、"
0,其它
求P{XY1}.
解：
本题所求的是二维随机变量（X,Y）落在某区域中的概率，则
f（x,y）0的区域的交集，如下图所示
四.选做题（10分,100分以外）
求
（1）A,B,C;
（2）f（x,y）;（3）X和丫是否相互独立
解：
（1）法一：
利用二维随机变量的分布函数的性质:
F（,y）0,F（x,）0,F（
Fx（
）limF（x,
）limA（B
arctan—）（C
arctan—）
A（B
-）（C
X
Xy
2
3
2
Fx（
）limF（x,
X
）limA（B
X
y
Xarctan才（C
yarctan』）
3
A（B
2）（c
Fy（
）limF（
y）limA（B
X
y
X
arctan?
）（C
yarctan丄）
3
A（B
方程组
［得到BC
-,A丄.
作为一维随机变量的分布函数是满足上述性质的，故
1
0
0
2
2）
2）
因为边缘分布
1y
p（—arctan丄）
223
（3）要判断独立性，就要先求边缘分布;
布函数的定义，我们有
法二：
利用第
（2）题联合密度求边缘密度后，判断是否独立
fx（x）
f（x,y）dy
fY（y）
f（x,y）
2
（4
6
2（4
X2）
6
2（4
X2）
6
2（4
X2）
6
2（4
X2）
2
1
9
1
9
1
9
（4X2）
2X
6
dy
）（9y）
1
9
f（X,y）dx
6
~T~2
（4X
2（9
6
y2）
1
2（9
y2）
4
6
1
2（9
y2）
4
6
1
2（9
3
y2）
4
2
2
（9y2）
6
yarctan—|
3
dX
）（9y）
1
4
—dxX
-^^dy
1?
2
X
arctan-|
2
222
（4X）（9y）
2
（4X2）
3
丁fx（X）fY（y）,
对任意X,y均成立，故X与丫独立.
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