概率论与数理统计第三章测验题答案更新.docx

1、概率论与数理统计第三章测验题答案更新第三章测验题答案（2010-05-11）幵*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*卄*二.选择（共20分，每题5分）P 1 X 1 A (A) (B) (C) (D)解：因为随机变量X的绝对值不大于1,所以必定有X的所有取值只可能在P 1 X 1 P| X | 1 P X 1 PX 1 1 1 -8 41PX 1 PY 1，在下列各式中成立的是A 21 1解：因为2 - h所以X和丫的取值只能是1或-1，因此利用X与丫的边缘分布律和两者独立性的条件可知（X, Y）的联合分布律，如下表所示:7-11P?-111

2、14421111442Bj11122因此 PX Y P(X Y 1 X Y 1)PX Y 1 P X Y 1111-,故选项(A)正确，(B)错误;4 4 2PX Y 0 P X 1,Y 1 X 1,Y 1PX 1,Y 1 PX 1,Y 1-，故选项(C)错误；4 4 2PXY 1 P X 丫 1 X 丫 1PX Y 1 PX Y 1 1 1 1-，故选项(D)错误.4 4 23.已知 PX 0,Y 0且 PX 0 PY 0号Pmax( X,Y)0C .3(A) - (B)75(C)57(D)1649解：本题关键是分析max函数的含义，从而利用概率的加法公式来解.具体过程如下:Pmax( X,

3、Y)0 PXP XPX0或者丫0 Y0 PY000 P X 0 Y 0（因为事件X0和事件Y 0不互斥，所以只能利用加法公式PX4 47 7037PY 0 PX 0,Y 0574.设随机变量X N N（2），则随着的增大，PX.（A）增大 （B） 减小（C）保持不变 （D）增减不定P| X | 叫也1 1 P 1 1 (1) ( 1) 2 (1)1,与无关，所以选（C）.個为 0,两边同时除以 以后不等号不变号）三.解答题（请写明求解过程，共 63分）1. （ 18分，每小题6分）已知随机变量X的分布函数为0,x 0F(x)Asin x,0 x 一21，x 2求(1) A; (2) P| X

4、| -; (3)6f (x).解：(1)利用分布函数的右连续性可知，在x -点，右连续性表现为lim F(x)x _2FQ，根据F(x)定义可知，当x 1时，F(x) 1，所以左边=limx _2F(x) = lim 1 1,右边 F()X _ 22Asin A，故 A=1.2所以得到0,x 0F (x) sin x,0(2)注意到这个F(x)在整个实轴都是连续的，根据第二章的结论：只要分布函数是连续函数，那么随机变量在单点处的概率就为 0,因此有P|X| 6 P 6P 6f(6)F(-)sin 6(3)已知分布函数求概率密度,只需要在密度函数的连续点处对x求导即可:因此有f(x)cosx,0

5、 x2.0,其它(此题没有f(x)无定义的点，否则需要修改相应区间，例如第二章测验解答题第一题.)2.( 15分)某元件寿命X服从参数为 的指数分布，则三个这样的元件1000使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少解：随机变量X表示元件寿命，由题意可知其概率密度为1 x/、丄e1000,% 0f（x） 10000,otherwise又因为PX 1000即元件能够使用超过1 X1000 f（x）dx 1000 而e 1000 dx e1.1000小时的概率是e 1，又因为三个元件的寿命是相互3独立的，所以最后所求概率值即为 e1 e33.（ 10分）已知二维随机向量（X, Y）的联合密度函数为

6、8xy,0 x y 1f（x，y） 0,其它求（X, Y）的关于丫的边缘密度函数.解:通过以下四个步骤求边缘密度:的密度函数.1h(y) -ln y是y e2x的原函数，且(10分)已知(X, Y)的概率密度为1-(X y),0 f(x,y) 8、0,其它求 PX Y 1.解：本题所求的是二维随机变量（X, Y）落在某区域中的概率，则f（x,y） 0的区域的交集，如下图所示四.选做题（10分,100分以外）求(1) A,B,C; (2) f(x,y); (3) X和丫是否相互独立解：（1）法一：利用二维随机变量的分布函数的性质:F( ,y) 0,F(x, ) 0,F(Fx()lim F(x,)

7、lim A(Barcta n)(Carcta n)A(B-)(CXX y232Fx()lim F(x,X)lim A(BXyX arcta n 才(Cy arcta n)3A(B2）（cFy()lim F(,y) lim A(BXyXarctan?)(Cy arcta n丄)3A(B方程组得到B C-,A 丄.作为一维随机变量的分布函数是满足上述性质的，故10022)2)因为边缘分布1 yp ( arctan丄)2 2 3(3)要判断独立性，就要先求边缘分布;布函数的定义，我们有法二：利用第(2)题联合密度求边缘密度后，判断是否独立fx(x)f (x, y)dyfY(y)f(x, y)2(462 (4X2)62 (4X2)62 (4X2)62 (4X2)2191919(4 X2)2 X6 dy)(9 y )19f(X, y)dx6T 2(4 X2 (96y2)12 (9y2)4612 (9y2)4612 (93y2)422(9 y2)6y arcta n |3 dX)(9 y )14dx X-dy1 ?2Xarctan- |22 2 2(4 X )(9 y )2(4 X2)3丁 fx(X)fY(y),对任意X, y均成立，故X与丫独立.