高二数学 92空间的平行直线与异面直线备课资料大纲人教版必修.docx
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高二数学92空间的平行直线与异面直线备课资料大纲人教版必修
2019-2020年高二数学9.2空间的平行直线与异面直线（备课资料）大纲人教版必修
Ⅰ.思考与练习
1.一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条之间的位置关系是
A.平行B.相交
C.异面D.可能平行、可能相交、可能异面
答案：
D
2.已知a、b是异面直线,c∥a,那么c与b
A.一定是异面直线B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线
答案：
C
3.两条异面直线指的是
A.没有公共点的两条直线
B.分别位于两个不同平面的两条直线
C.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
答案：
D
4.如图,已知△ABC的各边对应平行于△A1B1C1的各边,点E、F分别在边AB、AC上,且AE=AB,AF=AC,则EF与B1C1的关系是
A.平行B.相交
C.异面D.异面或共面
答案：
A
5.两条直线不相交是这两条直线异面的
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案：
A
6.两条直线不平行是这两条直线异面的
A.充分必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案：
C
7.设a、b为异面直线,下列结论中正确的是
①a∩b=且ab②a平面α,b平面β,且a∩b=③a平面α,b平面β,且α∩β=④a平面α,b平面α⑤不存在平面α,能使a平面α且b平面α同时成立
A.①B.①②
C.②④D.①⑤
答案：
D
8.设a、b、c是空间中三条直线,下面给出四个命题,下列命题中,真命题的个数是
①如果a⊥b,b⊥c,则a∥c②若a、b相交,b、c相交,则a、c相交③若a、b共面,b、c共面,则a、c共面④若a、b异面,b、c异面,则a、c异面
A.0B.1
C.2D.3
答案：
A
9.下列命题中,其中正确的个数为
①若两条直线没有公共点,则这两条直线互相平行②若两条直线都和第三条直线相交,那么这两条直线互相平行③若两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线互相平行
④若两条直线都和第三条直线异面,则这两条直线互相平行
A.4B.3
C.2D.1
答案：
D
10.三个平面两两相交,所得的三条交线
A.交于一点B.互相平行
C.有两条平行D.或交于一点或互相平行
答案：
D
11.线段AB、CD在两条异面直线上,M、N分别是AB、CD的中点,则下面能成立的关系是
A.MN=AC+BDB.MN=（AC+BD）
C.MN＜（AC+BD）D.MN＞（AC+BD）
答案：
C
12.下列各图中,直线a与b平行的关系只可能是
答案：
D
Ⅱ.参考例题
[例题]（xx年高考,理16）已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是①两条平行线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.在上面的结论中,正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.
解析:
拿两支笔或小棍作为不垂直的异面直线,向水平桌面上投影,易验证①②④正确.
又设a、b在α上的射影为同一条直线,则a、b必共面,这与a、b是异面直线矛盾.故③不正确.
●备课资料
《名师授课录》
思考与练习
1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,但方向都相反,这两个角关系怎样？
试画图并证明.
提示：
证明方法与等角定理的证法相同.
2.空间的两个角的两边分别平行,则这两个角的大小关系是.
答案：
相等或互补
3.在空间一个角的两边与另一个角的两边分别垂直相交,则这两个角的大小关系是.
答案：
不能确定
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相同？
∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相反？
∠CBB1的两边与哪个角的两边平行,且一边方向相同而另一边方向相反？
答案：
∠CBB1与∠DAA1的两边平行且方向相同；
∠CBB1与∠DD1A1、∠CC1B1的两边平行且方向相反；
∠CBB1与∠ADD1、∠AA1D1的两边平行,且一边方向相同而另一边方向相反.
5.如图,已知线段AA′、BB′、CC′相交于点O,且.
求证：
△ABC∽△.
证明：
△∽△AOB
●备课资料
《名师授课录》
思考与练习
一、选择题
1.下列命题中,正确的是
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.有三个角是直角的四边形是矩形
C.两平行线中,有一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线
D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线
答案：
C
2.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有
A.1条B.2条
C.3条D.4条
答案：
B
3.直线a、b相交于点O,且a、b成60°角,过点O与a、b都成60°角的直线有
A.1条B.2条
C.3条D.4条
答案：
C
4.异面直线a、b所成的角为80°,P是空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有
A.1条B.2条
C.3条D.4条
答案：
D
5.若a、b是异面直线,c是a、b的公垂线,d∥c,则d和a、b的公共点的个数是
A.1B.最多为1
C.2D.1或2
答案：
B
6.已知直线a与b、b与c都是异面直线,且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线,那么a与c的位置关系是
A.平行或相交B.异面
C.平行或相交或异面D.相交或异面
答案：
C
7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,下列说法正确的是
A.A1B与D1C是距离为a的异面直线
B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1
C.异面直线AA1与BC的公垂线是a
D.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a
答案：
D
二、填空题
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,与BD1成异面直线的有条.
答案：
6
2.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P、Q分别是相应棱的中点,则
（1）MN与PQ的位置关系是,它们所成的角是;
（2）MN与B1D的位置关系是,它们所成的角是;
（3）异面直线MN与B1D1间的距离为.
答案：
（1）相交60°
（2）异面90°（3）a
3.在空间四边形ABCD中,对角线AC=BD=2a,M、N分别是边AB、CD的中点,若MN=a,则AC和BD所成的角为,MN和AC所成的角为.
答案：
90°45°
4.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,M是DC的中点,AD=AA1=,AB=2,那么
（1）AA1与BC1所成角的度数是；
（2）DA1与BC1所成角的度数是；
（3）BC1与D1M所成角的余弦值是.
答案：
（1）45°
（2）90°（3）
5.在空间四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,若AC=6,BD=4,M、N分别是AB、CD的中点,则MN=,MN与BD所成角的正切值为.
答案：
6.空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1,点P在边AB上移动,点Q在边CD上移动,则点P和点Q的最短距离为.
答案：
7.如图,空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是CB、CD上的点且,若BD=6cm,梯形EFGH的面积为28cm2,则平行线EH与FG间的距离为.
答案：
8cm
●备课资料
Ⅰ.思考与练习
1.空间四边形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,且AB=CD.求证：
MN与AB所成的角等于MN与CD所成的角.
证明：
连结BD,设P是BD的中点,连结MP、NP,
∵M、N分别是AD、BC的中点,
∴MP∥AB且MP=AB,
NP∥CD且NP=CD.
∴∠PMN、∠PNM分别是MN与AB、CD所成的角.
又∵AB=CD,∴MP=NP.
∴∠PMN=∠PNM,
即MN与AB所成角等于MN与CD所成的角.
2.已知棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是BC、A1D1的中点.
（1）求证：
B1EDF是菱形；
（2）求A1C与DE所成角的余弦值.
（1）证明：
取AD的中点G,连结A1G、EG,则B1EA1GFD.
∴B1EDF是平行四边形.
又∵FB1=DF=,
∴B1EDF是菱形.
（2）解：
延长AD至点M,使DM=AD=BC=EC.
连结CM,则CM∥ED.
∴∠A1CM即为A1C与DE所成的角.
∵A1C=a,CM=a,
A1M=a,
∴cosA1CM=
=
=.
Ⅱ.异面直线所成的角
异面直线所成的角是非常重要的知识点，是每年高考的必考内容，要求学生牢固掌握两条异面直线所成角的求法.教学中注意以下几点：
1.平移方法：
直接平移法、中位线平移法、补形平移法.
2.平移直线寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移是在某个平面中进行的，该面的特点：
①该平面包含其中一条异面直线;②该平面与另一条异面直线相交.
3.求角或求角的三角函数值的一般步骤是：
①找角;②求角或求角的三角函数值.
●备课资料
思考与练习
1.a、b是异面直线,且分别在平面α、β内,α∩β=l.求证：
a、b中至少有一条与l相交.
证明：
假设a、b都与l不相交,
∵aα,lα,∴a∥l.同理b∥l.
∴a∥b.这与a、b是异面直线矛盾,
∴假设错误.故a、b中至少有一条与l相交.
2.如图,a、b是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,E、F分别是线段AC和BD的中点,判断EF与a、EF与b的位置关系,并证明你的结论.
证明：
假设EF与a共面于α,
则EFα,ABα.
∴A、B、E、F∈α.
∴EA、FBα.则A、B、C、D∈α.
∴CDα,ABα,即a、b共面.
这与已知a、b是异面直线矛盾,
∴假设错误.故EF与a是异面直线.
同理可证EF与b也是异面直线.
3.求证：
空间四边形的两条对角线是异面直线.
已知：
ABCD是空间四边形.
求证：
AC、BD是异面直线.
证明：
假设AC、BD不是异面直线,即AC、BD共面于α,
则ACα,BDα.
∴A、B、C、D∈α,
即A、B、C、D都在平面α内.
这与ABCD是空间四边形（四个顶点不在同一平面内）相矛盾,
∴假设错误.故AC、BD是异面直线.
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点P、Q分别是正方形ABB1A1、BCC1B1的中心.
（1）求证：
A1Q与D1P是异面直线；
（2）求异面直线A1Q与D1P所成角的余弦值.
（1）证明：
连结A1B、BC1、A1C1,
则P∈A1B,Q∈BC1.
∴A1Q面A1BC1.
∵P∈A1B,A1B面A1BC1,
∴P∈面A1BC1.
又D1面A1BC1,PA1Q,
由过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线,
得D1P与A1Q是异面直线.
（2）解：
设BQ的中点为R,连结PR,
则PR∥A1Q.
∴D1P与PR所成的锐角（或直角）为异面直线D1P与A1Q所成的角.
连结D1R.在Rt△D1C1R中,
D1R2=D1C12+C1R2.
设正方体的棱长为a,
则D1R2=a2+（）2=a2（因为Q是BC1的中点,R是BQ的中点）.
在Rt△D1A1P中,
D1P2=D1A12+A1P2=a2+（）2=a2.
在Rt△A1QB中,A1Q=
而D、R分别为A1B、BQ的中点,
∴PR=.
∴cosD1PR=
＜0.
故异面直线A1Q与D1P所成角的余弦值为.
5.S是矩形ABCD所在平面外的一点,SA⊥BC、SB⊥CD、SA与CD成60°角,SD与BC成30°角,SA=a.
（1）求证：
AD是异面直线SA、CD的公垂线段,并求SA与CD之间的距离；
（2）求证：
AB是异面直线SB、AD的公垂线段,并求SB与AD之间的距离.
证明：
（1）在矩形ABCD中,BC∥AD,
∵SA⊥BC,∴SA⊥AD.
又CD⊥AD,
∴AD是异面直线SA与CD的公垂线段,
其长度为异面直线SA与CD的距离.
在Rt△SAD中,
∵∠SDA是SD与BC所成的角,
∴∠SDA=30°.
又SA=a,∴AD=a.
（2）在矩形ABCD中,AB∥CD,
∵SB⊥CD,∴SB⊥AB.
又AB⊥AD,
∴AB是异面直线SB、AD的公垂线段,
其长度为异面直线SB与AD的距离.
在Rt△SBA中,∵∠SAB是SA与CD所成的角,
∴∠SAB=60°.
又SA=a,
∴AB=acos60°=a,
即直线SB与AD的距离为a.
2019-2020年高二数学9.2空间的平行直线与异面直线（第一课时）大纲人教版必修
●课时安排
5课时
●从容说课
本节通过学习空间直线的平行、相交、异面的位置关系以及每种位置关系的特征,为判断两直线位置关系提供了理论依据.平行公理揭示了平行的传递性;等角定理及其推论解决了角在空间中的平移问题,在平移变换下,角的大小不变,它是两条异面直线所成角的依据,也是以后学习研究二面角及与角有关内容的理论基础,它提供了一个研究角之间关系的重要方法,即平移法;两条异面直线所成的角以及两条异面直线间距离的求法体现了数学中化难为易、化繁为简、化生疏为熟悉、化空间问题为平面问题的转化思想.
学生学习的重点是平行公理及其应用和两异面直线所成角及距离的求法;难点是等角定理证明的掌握与应用和两异面直线所成角及距离求法因此教学中要提醒学生正确理解等角定理中命题的条件,即两个角的两边分别平行且这两个角的方向相同;因两条异面直线不相交,但有所成的角,这对于初学立体几何的学生是难以理解的,所以在教学中要帮助学生理解清楚两条异面直线所成角的概念.
●课题
9.2.1空间直线
（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.空间两条直线的位置关系.
2.异面直线的概念.
3.公理4.
（二）能力训练要求
1.了解空间两条直线的位置关系.
2.理解异面直线的概念,培养学生的空间想象能力.
3.理解并掌握公理4,并能应用之证明简单的几何问题.
（三）德育渗透目标
通过理解、欣赏、运用空间直线各具特点的丰富多姿的不同位置关系,感悟数学世界的奇异美、简洁美、和谐美,培养学生的美学意识.
●教学重点
1.异面直线的概念.
2.公理4.
●教学难点
异面直线的概念.
●教学方法
讲授法
概念的教学是基础的非常重要的教学,异面直线的概念是学生从平面到空间接触的第一个概念,教师清清楚楚地给学生讲明白概念，是学生日后主动获取知识的前提.
●教具准备
1.立体几何模型：
正方体模型或长方体模型；
2.投影片三张.
第一张：
课本P10图9—9（记作9.2.1A）
第二张：
课本P11例1及图9—10（记作9.2.1B）
第三张：
本课时教案例2及图（记作9.2.1C）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］前面我们学习了平面的基本性质——三个公理及其推论.讨论了公理及其推论的作用，并且对性质公理及其推论的简单应用进行了研究——共面问题的证明、点共线问题的证明、线共点问题的证明,通过具体问题与平面几何知识对照、类比,揭示了三类问题的证明思路、方法与步骤,这些内容是立体几何的基础,我们大家应予以足够的重视.从这节课开始,我们来研究空间直线（板书课题）.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们先来看空间两条直线的位置关系.
1.空间两条直线的位置关系（板书）
［师］初中几何里已经介绍了空间的两条直线有以下三种位置关系：
（板书）
①相交直线——有且仅有一个公共点;
②平行直线——在同一平面内,没有公共点;
③异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.
对于相交直线和平行直线,我们在初中学习直线时,就清楚这两种位置关系,同学们比较熟悉.它们的特征,用有无公共点就可以描述清楚,随着知识范围的扩大,仅用有无公共点,还能够说清楚两条直线的位置关系吗？
［生］不能.有公共点的两条直线一定相交,而没有公共点的两条直线不一定平行（学生已经进行了预习,知道还有异面的情形）.
［师］好.既然用有无公共点描述两条直线的位置关系的特征还不够,那么再补充些特征就非常必要了.因此,在对空间两直线的位置关系的特征描述时,又加上了在同一平面内和不同在任何一个平面内.同学们考虑一下,若仅用在不在同一平面内来描述两条直线的位置关系行不行呢？
［生］不行.不在同一平面内的两条直线是异面直线,而在同一平面内的两条直线究竟是平行直线还是相交直线仍不能确定.
［师］不在同一平面内的两直线是异面直线吗？
那为什么异面直线的特征要表述为“不同在任何一个平面内,没有公共点”呢？
大家怎样理解“不同在任何一个平面内”这句话的含义呢？
［生］不同在任何一个平面就是不同在一个平面.
［师］“任何”两字多余了吗？
请再仔细想一想,（大家都在认真思考）（打出投影片9.2.1A）同学们看图中的AA1与CC1,它们在同一平面吗？
（有的说在,有的说不在,说在的说不出为什么,说不在的是从直观上看的）
［师］请同学们注意,我们用刀沿对角线A1C1垂直地切下来,将正方体切成两块,大家看AA1、CC1是不是都在切面上？
［生］是.AA1与CC1都在切面上.
［师］判定两条直线的位置关系,不仅要从直观上看,更重要的要从理论上看,事实上AA1与CC1是平行的,一会儿我们再作讨论.所以我们说“不同在任何一个平面”中的“任何”两字不是多余的.它所表达的意思是直观上不同在一个平面,理论上也不同在一个平面,也就是说无论如何“不会同在任何一个平面”（继续看图）.AA1与BC是无论如何不会同在一个平面的,它们是异面直线,AA1与CD也是无论如何不会同在一个平面的,它们也是异面直线.你还能在图中找到一些异面直线吗？
［生］AA1与B1C1是异面直线,AA1与C1D1是异面直线,BB1与C1D1是异面直线,BB1与A1D1是异面直线,BB1与CD是异面直线……
［师］好.只要大家抓住了异面直线“不同在任何一个平面内”的特征,对异面直线的理解就深刻了,照大家的分析,异面直线的特征“没有公共点”可以划去（划掉板书上的“没有公共点”）,或者将其特征说成“既不相交,也不平行”（加写在特征处）.
两条直线相交或平行时,确定一个平面,但三条直线交于一点或两两平行时,它们不一定共面.例如图9.2.1中,直线AA1、AB、AD三直线相交于点A,它们不共面.直线AA1、BB1、CC1两两平行,它们也不共面.
下面我们分别对平行直线、异面直线来进行研究.
2.平行直线（板书）
［师］在初中几何里我们已经知道,在同一个平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.对于空间的三条直线,我们说这样的规律也是成立的,我们把这个规律作为本章的第四个公理.（既然作为公理提出,干脆直接公认它好了,不要提出问题之后说“可以发现,答案是肯定的”.怎样发现的呢？
教师给学生说不清,教师说不清,又怎样让学生发现呢？
我认为,既然是公理,直接公认这个规律,比说可以发现还好！
）
公理4平行同一条直线的两条直线互相平行.
用符号语言表示如下：
设a、b、c是三条直线,.
a、b、c三条直线两两平行,可以记为a∥b∥c.
这个公理实质上就是说平行具有传递性,在平面内、在空间,这个性质都是不变的.
下面我们来看一个例子.
（打出投影片9.2.1B）
［例1］已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、CD上的点,且.求证：
四边形EFGH有一组对边平行但不相等.
分析：
要证明四边形EFGH有一组对边平行,先要考虑哪一组对边有平行的可能,由于E、H分别是AB、AD的中点,F、G实质上分别是CB、CD的三等分点,连结BD,问题就变得明了啦.
证明：
连结BD,
∵E、H分别是AB、AD的中点,
∴EH是△ABD的中位线.
∴EH∥BD,EH=BD.
又在△CBD中,,
∴FG∥BD,FG=BD.
根据公理4,EH∥FG,
又FG＞EH,
∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等.
（打出投影片9.2.1C）
［例2］如图,P是△ABC所在平面外一点,点D、E分别是△PAB和△PBC的重心.求证：
DE∥AC,DE=AC.
分析：
由点D、E分别是△PAB、△PBC的重心,想到连结PD、PE,并延长与AB和BC分别相交,从而构造三角形,充分利用重心的性质及三角形中位线定理.
证明：
连结PD、PE并延长分别交AB、BC于点M、N,
∵点D、E分别是△PAB、△PBC的重心,
∴M、N分别是AB、BC的中点.
连结MN,则MN∥AC,且MN=AC.①
在△PMN中,∵,
∴DE∥MN,且DE=MN.②
由①、②根据公理4,得
DE∥AC,且DE=MN=×AC=AC.
注意：
今天所讨论的两个例题,虽然都是空间问题,但从分析与证明的过程可以看出,我们都是设法化为平面问题来解决的.这是一条重要的解题思路,同学们要细心体会,切实掌握这种转化思想.
Ⅲ.课堂练习
课本P13练习1、2.P16习题9.21.①②③,2.
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了空间两条直线的位置关系——相交、平行、异面,并且研究了各种位置关系的特征：
相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内,没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内,或者说异面直线是既不相交又不平行的两条直线.同学们一定要把这些特征记下来,它是判定两条直线位置关系的依据.之后我们又研究了平行公理,即平行于同一条直线的两条直线互相平行,这是平行的传递性,与平面几何中是一致的,也就是说平行的传递性在空间仍然是成立的.至于知识的应用,关键是要学会分析问题,掌握转化的思想方法,把空间问题转化成平面问题来解决.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P17习题9.23,4,5.
（二）预习课本P12
●板书设计
9.2.1空间直线
（一）
1.空间两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
异面直线
2.平行直线
公理4例1例2
注意练习小结
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