最新初三20最大最小值.docx

最新初三20最大最小值.docx

《最新初三20最大最小值.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新初三20最大最小值.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

最新初三20最大最小值

（初三20）最大最小值

初中数学竞赛辅导资料（初三20）

　　最大最小值

甲内容提要

1.　求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），的最大、最小值常用两种方法：

①配方法：

原函数可化为y=a（x+«SkipRecordIf...»）2+«SkipRecordIf...».

∵在实数范围内（x+«SkipRecordIf...»）2≥0，

∴若a>0时，当x=－«SkipRecordIf...»时，y最小值=«SkipRecordIf...»；

若a<0时，当x=－«SkipRecordIf...»时，y最大值=«SkipRecordIf...».

②判别式法：

原函数可化为关于x的二次方程ax2+bx+c－y=0.

　∵x在全体实数取值时，

∴　△≥0

即b2－4a（c－y）≥0，　　4ay≥4ac－b2.

若a>0，y≥«SkipRecordIf...»，这时取等号，则y为最小值«SkipRecordIf...»；

若a<0，y≤«SkipRecordIf...»，这时取等号，则y为最大值«SkipRecordIf...».

有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.

2.　用上述两种方法，可推出如下两个定理：

定理一：

两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.　最大值是定值平方的四分之一.

例如：

两正数x和y，　如果x+y=10,那么xy的积有最大值，最大值是25.

定理二：

两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小.　最小值是定值的算术平方根的2倍.

例如：

两正数x和y，如果xy=16,那么x+y有最小值，最小值是8.

证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.

　　　设a>0,　b>0,　a+b=k.　（k为定值）.

那么ab=a（k－a）

=－a2+ka=－（a－«SkipRecordIf...»k）2+«SkipRecordIf...».

当a=«SkipRecordIf...»时，ab有最大值«SkipRecordIf...».

证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.

设a>0,　b>0,　ab=k（k为定值），再设y=a+b.

　　　　那么y=a+«SkipRecordIf...»,　a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程）

∵a为正实数，

∴△≥0.即（－y）2－4k≥0，　　y2－4k≥0.

∴y≤－2«SkipRecordIf...»（不合题意舍去）；y≥2«SkipRecordIf...».

∴y最小值=2«SkipRecordIf...».

解方程组«SkipRecordIf...»　得a=b=«SkipRecordIf...».

　　　　∴当a=b=«SkipRecordIf...»时，a+b有最小值2«SkipRecordIf...».

3.　在几何中，求最大、最小值还有下列定理：

　　定理三：

一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.　当这两边相等时，其和的值最大.

定理四：

一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.　当这两边相等时，其和的值最小.

定理五：

周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.

乙例题

例1.　已知：

3x2+2y2=6x,x和y都是实数，

求：

x2+y2的最大、最小值.

解：

由已知y2=«SkipRecordIf...»,∵y是实数，　∴y2≥0.

即«SkipRecordIf...»≥0，　6x－3x2≥0，x2－2x≤0.

解得　0≤x≤2.

这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，

x2+y2=x2+«SkipRecordIf...»=－«SkipRecordIf...»（x－3）2+«SkipRecordIf...»

　　　　　在区间0≤x≤2中，当x=2时，x2+y2有最大值4.

　　　　　　∴当x=0时，x2+y2=0是最小值.

例2.　已知：

一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.

求：

这个矩形周长、面积的最小值.

解：

用构造方程法.

设矩形的长，宽分别为a,　b其周长、面积的数值为k.

那么2（a+b）=ab=k.

　　　　即　«SkipRecordIf...»

　　　　∴a和b是方程　x2－«SkipRecordIf...»kx+k=0　的两个实数根.

∵a,　b都是正实数，∴△≥0.　

即（－«SkipRecordIf...»）2－4k≥0.

解得k≥16；或k≤0.　　　k≤0不合题意舍去.

∴当k≥16取等号时，a+b,　ab的值最小，最小值是16.

即这个矩形周长、面积的最小值是16.

例3.　如图△ABC的边BC=a,高AD=h,要剪下一个矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？

最大面积是多少？

解：

用构造函数法

设EH=x,S矩形=y,则GH=«SkipRecordIf...».

∵△AHG∽△ABC，

∴«SkipRecordIf...».　

∴y=«SkipRecordIf...».

　　　　　∴当x=«SkipRecordIf...»时，y最大值=«SkipRecordIf...».

即当EH=«SkipRecordIf...»时，矩形面积的最大值是«SkipRecordIf...».

例4.　如图已知：

直线m∥n，A，B，C都是定点，AB=a,AC=b,点P在AC上，BP的延长线交直线m于D.

问：

点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？

解：

设∠BAC=α，PA=x,则PC=b－x.

　　　　　∵m∥n，∴«SkipRecordIf...».

∴CD=«SkipRecordIf...»

S△PAB+S△PCD=«SkipRecordIf...»axSinα+«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»（b－x）Sinα

=«SkipRecordIf...»aSinα（«SkipRecordIf...»

=«SkipRecordIf...»aSinα（2x+«SkipRecordIf...».

　　　　　∵2x׫SkipRecordIf...»=2b2（定值），　根据定理二，2x+«SkipRecordIf...»有最小值.

∴当2x=«SkipRecordIf...»，x=«SkipRecordIf...»时，

S△PAB+S△PCD的最小值是　（«SkipRecordIf...»－1）abSinα.

例5.已知：

Rt△ABC中,内切圆O的

半径r=1.

求：

S△ABC的最小值.

解：

∵S△ABC=«SkipRecordIf...»ab　∴ab＝2S△.

　　∵2r=a+b－c,　　　∴c=a+b－2r.

∴a+b－2r=«SkipRecordIf...».

两边平方，得　a2+b2+4r2+2ab－4（a+b）r=a2+b2.　　4r2+2ab－4（a+b）r=0.

　　　　　用r=1,　ab=2S△代入，　得4+4S△－4（a+b）=0.　a+b=S△+1.

∵ab=2S△　且a+b=S△+1.　　

∴a,　b是方程x2－（S△+1）x+2S△=0的两个根.

∵a,b是正实数，　　　　

∴△≥0，　

即[－（S△+1）]2－4×2S△≥0，　　　　S△2－6S△+1≥0.

解得　S△≥3+2«SkipRecordIf...»或S△≤3－2«SkipRecordIf...».　　S△≤3－2«SkipRecordIf...»不合题意舍去.

∴S△ABC的最小值是3+2«SkipRecordIf...».

例6.已知：

.如图△ABC中，AB=«SkipRecordIf...»，∠C=30«SkipRecordIf...».　　求：

a+b的最大值.

解：

设a+b=y,则b=y－a.

根据余弦定理，得

（«SkipRecordIf...»）2=a2+（y－a）2－2a（y－a）Cos30«SkipRecordIf...»

　　　　写成关于a的二次方程：

　（2+«SkipRecordIf...»）a2－（2+«SkipRecordIf...»）ya+y2－（8+4«SkipRecordIf...»）=0.

∵a是实数，

∴△≥0.

　　即（2+«SkipRecordIf...»）2y2－4（2+«SkipRecordIf...»）[y2－（8+4«SkipRecordIf...»）]≥0，　

y2－（8+4«SkipRecordIf...»）2≤0.　

∴　－（8+4«SkipRecordIf...»）≤y≤（8+4«SkipRecordIf...»）.

∴a+b的最大值是8+4«SkipRecordIf...».

又解：

根据定理三　∵AB和∠C都有定值.

　　　∴当a=b时，a+b的值最大.

由余弦定理，（«SkipRecordIf...»）2=a2＋b2－2abCos30«SkipRecordIf...»

可求出　a=b=4+2«SkipRecordIf...».　………

丙练习64

1.　x1,x2,x3,x4,x5满足.x1+x2+x3+x4+x5=.x1x2x3x4x5，那么.x5的最大值是＿＿＿＿＿＿.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1988年全国初中数学联赛题）

2.　若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.

3.　面积为100cm2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.

4.　a,　b均为正数且a+b=ab,那么a+b的最小值是________.

5.　若x>0,　则x+«SkipRecordIf...»的最小值是________.

6.

如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..　　　　　　　　　　

（1987年全国初中数学联赛题）

7.　如右图△ABC中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是

以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积

的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

（1988年全国初中数学联赛题）

8.　下列四个数中最大的是（　）

（A）tan48«SkipRecordIf...»+cot48«SkipRecordIf...»..（B）sin48«SkipRecordIf...»+cos48«SkipRecordIf...».　（C）tan48«SkipRecordIf...»+cos48«SkipRecordIf...».（D）cot48«SkipRecordIf...»+sin48«SkipRecordIf...».

　　　　　（1988年全国初中数学联赛题）

9.已知抛物线y=－x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是__________

（1986年全国初中数学联赛题）

10.　如图△ABC中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点P在AB上，

PQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S△APQ最大？

11.　△ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边

三角形BDC，问当∠BAC取什么度数时AD最长？

12.　已知x2+2y2=1,x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.

13.　△ABC中∠B=«SkipRecordIf...»，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.

14.　直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.

15.　D，E，F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA

=k∶（1－k）（0

16.△ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？

答案：

1.5.　　2.5，525.　3.40cm　　4.4　　5.6　　6.BC上，BC+AD.

7.最大值是9，∵S△=«SkipRecordIf...»×3×2×SinBAC,　　∠BAC=90度时值最大.

8.　（A）.　　9.3

10.P在AB中点时，S△最大值=«SkipRecordIf...»，　　S△=«SkipRecordIf...»

x与«SkipRecordIf...»－x的和有定值，　当x=«SkipRecordIf...»－x时，S△值最大.

11.　当∠BAC=120度时，AD最大，在△ABD中，设∠BAD=α由正弦定理

«SkipRecordIf...»，当150«SkipRecordIf...»－α=90«SkipRecordIf...»时，　AD最大.

12.　当x=«SkipRecordIf...»时，有最大值«SkipRecordIf...»；当x=－1时，有最小值－2（仿例3）.

13.　当a=c时，a+c有最大值2，这时是等边三角形.

14.内切圆半径的最大值r=（«SkipRecordIf...»－1）«SkipRecordIf...»（仿例6）.

15.当k=«SkipRecordIf...»时，S△DEF=«SkipRecordIf...»S△ABC，16.当PB=1时，S有最大值«SkipRecordIf...».

16.当点P是BC中点时，面积最大值是«SkipRecordIf...».