数学互动学习系列动画实例.docx

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数学互动学习系列动画实例

互动学习系列软件之五动画课堂（5-2）动画实例-数学

1.长方体

1.1.教学难点分析

  -教学难点

   空间想象能力的培养历来是立体几何教学的重点。

只有使学生具有较好的空间想象力，才能使学生更好地理解所学几何知识，并能够准确地使用数学语言表述几何对象及它们之间的位置关系，在此基础上，解决一些立体几何的推理论证及应用问题。

   能力难点有：

公理化体系的建立，空间想象能力的培养，逻辑思维能力的培养，用空间向量解决立体几何中的问题。

   知识难点有：

公理的理解和应用，异面直线概念、成角、距离，"平行"关系，"垂直"关系的证明，三垂线定理，二面角的有关计算和证明，在多面体中的线线、线面、面面关系的计算和证明等。

  -难点剖析

   学生无法获得清晰准确的空间观察，尤其是对图形元素较多、关系比较复杂的空间图形，以及空间图形中存在元素运动的数学问题，仅靠静态的平面图形和老师的口头描述很难在头脑中还原起本来的图形形状及元素关系。

   总之，空间想象能力与教学要求的偏差，是立体几何教与学困难的根本原因。

同时，空间几何也蕴含了函数思想、方程思想、转化思想、参数方法等思想方法，综合了对学生的逻辑思维能力、计算能力的要求，更进一步加大的教学难度。

1.2.动画教学价值

   本软件是可视化、交互式的空间图形课件创作与教学工具，其最重要的教学价值就是"空间直观构图"，无需复杂的编程或脚本，直接所见所得地构建空间图形，并可立即360度全视角旋转观察。

  -空间可视化互动设计，优化立体几何教与学方式

   克服了同类软件突出技术而教学性不强使用不便的弱点，全面采用了三维动画设计技术，熔技术于教学设计之中，它给教师带来边构思边表现的体验，产品打破教师设计思想表现的束缚，快速形成草图，创作教学方案。

真正实现师生的互动。

   可以在课堂教学中直接作图，不用事先制作，这样就减轻了备课难度，在演示中能够让学生理解立体图形的成图过程，能理解立体几何元素间的相互关系；另一方面，可以让学生上机进行数学实验，使用不同的方法建立数学模型，进行自主创新。

  -针对重点，空间想象能力的培养

   想象不可能完全脱离现实凭空产生，学生在经历三维立体图形的构建过程中，在通过平移、旋转、放大等手段全视角观察空间图形的过程中，逐步在头脑中建立空间图像、理解空间几何元素之间的关系，逐渐培养和强化空间想象力。

  -突破难点，用数学语言准确表达

   通过人机交互，有助于学会准确地使用数学语言表述几何对象，以及它们之间的位置关系；在此基础上，针对角和距离概念、线线关系、线面关系、面面关系等难点，利用空间观察辅助解决立体几何的推理论证及应用问题。

1.3.动画教学功能

  -空间直接构建和显示各种几何元素及其相互关系、观察变化规律、距离定量计算

   空间中点与点的相对位置关系，空间中点与直线的相对位置关系，空间中点与平面的相对位置关系，空间中直线与直线的相对位置关系（平行、相交、异面，异面直线的夹角），空间中直线与平面的相对位置关系（直线在平面上，直线与平面相交、直线与平面平行，直线与平面的夹角），空间中平面与平面的相对位置关系（平行，相交，二面角显示空间中线线角和线面角）。

   空间中点到直线的距离，点到平面距离，平行直线间距离，异面直线间距离，直线与平行平面间距离，平行平面之间的距离。

   截面多边形形状的变化规律，表面多边形中棱与棱的位置关系及数量关系的计算。

  -无需备课直接用于教学，可保存教学过程（可动画分布回放）

   不用事先制作，在教学中直接空间构图，更有助于让学生理解立体图形的成图过程，理解立体几何元素间的相互关系。

直观准确的构图，可以随意又完整准确地反映教师的教学思路。

   除了可以直观快速地建构、显示、编辑空间图形，还可将构图过程保存下来，可重复使用，也可用来做教学回放。

1.4.教学应用建议

  -一般说来,在讲解新概念（特别难点概念）之前应该先使用立体几何系列软件。

例如,异面直线的概念学生以前是没有的,可以先让学生真实地看一看的确存在着这样的两条直线。

此时学生自然要问:

这样的两条直线是什么关系?

然后利用模型说明这两条直线的本质特征引出定义。

  -当定理的证明比较复杂,同时需要作辅助线、面时，应该边讲解边演示立体几何系列软件，使学生不至于因为定理证明过程冗长、复杂而感到没有头绪。

  -在讲解轨迹定理证明的时候,可以使用多媒体.如在讲"和两点等距离的点的轨迹"时,先提问学生:

在平面里轨迹怎样?

学生一般能够顺利答出是直线.接着问:

在空间中轨迹又怎样呢?

学生感到有兴趣但又回答不出.这时候,可通过立体几何系列软件演示其轨迹图形,是一个平面.最后证明这个定理.这样做可以使学生获得较深刻的印象.同时,也为定理本身的证明打下了基础.

  -立体几何的作图,着重于逻辑上的叙述,并不进行真实的作图,这里需要有较好的空间想象力,学生接受比较困难,课堂上单纯的讲解很难达到目的.这时,一边讲解一边在计算机上做出模型,学生比较容易接受。

  -讲解某些定理、定义的运用时，有时也可以先讲解，然后用立体几何系列软件演示模型加以验证。

总之，适时、恰当地运用立体几何系列软件，既能节省时间，又能激发学生兴趣，发展思维能力。

2.F（x）关于直线Ax+By+C=0对称的曲线

2.1.教学难点分析

  -教学难点

   对任意一个函数y＝F（x）的图像及任意一条直线l，考虑前者关于l的对称曲线的形状、方程及其性质，这是高中数学的一大难点，具体地难点表现在以下几方面：

   根据y＝F（x）的图像及直线l的位置，想象不出对称曲线的具体形象；

   初中时，简单图形轴对称完全可以用尺规作图完成，但是面对复杂的函数图像，尺规作图力不从心，过去学习得到的经验、方法无能为力．

   教师在没有信息技术支持的情况下，对学生学习中的上述困难只能从纯理性思考、推演论证入手，这实际上又增加了学生学习的困难．

  -难点剖析

   由已知曲线C，对称轴l，生成C关于l的对称曲线C′，这个问题本质上包括"形"与"数"两个方面：

   从形上讲，实质上是一个动态的变化过程，初中阶段由于问题都是具体的，可以用"折纸"展示这个过程；图形是简单的（直线形或圆），可以用尺规作图画出结果。

高中阶段面对一般的曲线研究这个问题时，学生看不到也体会不出这个动态的变化过程，只能从理论到理论，这是从形的方面造成困难的原因．

   从数上讲，实际上是：

2.2.动画教学价值

   这个课题从高一初步接触，到高三完成从理性上对上述代数结构的本质及其几何意义的认识，需要有很好的计划性和很强的针对性；而教学计划性、层次性差是造成学习困难的一大原因。

本软件实现了由直观到抽象的过渡，有助于教师设计由高一至高三的各层次的教学，这个困难有望顺利解决。

2.3.动画教学功能

  -演示关于直线y＝x对称，用于反函数教学

   设置A＝1，B＝－1，C＝0演示y＝f（x）关于直线y＝x对称的曲线，若函数y＝f（x）存在反函数则可观察反函数与原函数的对应关系。

  -演示关于x轴对称，用于对称性教学

   设置A＝0，B＝1，C＝0演示y＝f（x）关于直线x轴对称的曲线。

  -演示关于y轴对称，用于对称性教学

   设置A＝1，B＝0，C＝0演示y＝f（x）关于直线y轴对称的曲线，用于奇偶性教学。

  -演示关于x＝a轴对称，用于对称性教学

   设置A＝1，B＝0，C＝－a演示y＝f（x）关于直线x＝a对称的曲线，用于奇偶性教学。

  -演示关于直线y＝a轴对称，用于对称性教学

   设置A＝0，B＝1，C＝－a演示y＝f（x）关于直线y＝a对称的曲线。

2.4.教学应用建议

   在解析几何教学中应先讲清点P（x1,y1）关于直线l：

Ax＋By＋C＝0的对称点Q（x2，y2）的求法原则：

   根据

（1）PQ的中点在对称轴上得到:

A（x1+x2）/2+B（y1+y2）/2+C=0  

（1）

（2）PQ⊥l得到:

A（y2－y1）－B（x2－x1）＝0

（2）

   解

（1）

（2）组成的方程组得到对称点Q（x2，y2）

3.正（余）弦函数图象的复合变换

3.1.教学难点分析

  -教学难点

   由基本正弦函数y＝sinx的图象到一般正弦函数y＝Asin（wx＋j）＋h（w＞0，A≠0）的图象要经过4个变换：

横向平移变换（位相变换）、横向伸缩变换（周期变换）、纵向平移变换、纵向伸缩变换（振幅变换）。

学生单纯学习其中的一个变换困难不大，当把4个变换叠加在一起，困难就变得很大。

   1）变换的顺序不同，平移的量也不同。

   例如y＝sinx--->y＝sin（2x－π/3）

   方法1：

y＝sinx--->（右移π/3）y＝sin（x－π/3）--->（横坐标x1/2）y＝sin（2x－π/3）

   方法2：

y＝sinx--->（横坐标x1/2）y＝sin2x--->（右移π/6）y＝sin（2x－π/3）

   2）纵向与横向的平移变换"表面"上的不一致。

   例如：

y＝sinx--->（左移3个单位）y＝sinx+3   y＝sinx--->（上移3个单位）y＝sin（x+3）

   3）4个变换的顺序可以自由安排，引起学生思维混乱而出错。

   4）图形的运动变化与函数解析式的形式上的变化在思维中的统。

  -难点剖析

   图象的变换实际上是图形的动态运动、变化的过程，由于教学手段的局限，学生看不到这个动态的过程，课本或板图只能展示结果，很难真实展示这个动态的过程。

在高一学生从初中到高中数学学习由"静"到"动"的转化阶段，从形象到抽象的能力提高阶段，很难掌握对图形的运动变化与函数解析式的形式上的变化的统一认识。

   如果不能呈现变化的动态过程，教师引导、讲解很难到位，这是造成学生学习困难的一个原因，没有细致的演示，学生看不到真实的过程，学生不得不死记硬背，弊端更大。

3.2.动画教学价值

   作为教师使用的教学工具，本软件可以支持三角函数图象的各知识点的教学，支持三角函数图象变换的解题教学，特别是由于模型参数可调，通过人机交互完全支持师生互动式地开展研究性、自主性学习。

丰富的互动功能也给老师进行二次创作提供了巨大的潜力。

3.3.动画教学功能

  -y＝Asin（wx＋j）＋h（w＞0，A≠0）中4个参数A、w、j、h自由赋值，展现其图象的生成过程

  -4个变换可以任意排序，动态展示曲线的变换过程

  -变换过程可以单一演示，也可以复合地演示，并可回放变换过程

  -可以展示两个一般正弦曲线，由一个变换为另一个的全过程．

   例如：

可请学生自编一般的正弦函数，教师提出问题，y=sinx--->y=Asin（wx＋j）＋h.

（1）由前者到后者要经过哪些变换？

（2）这4个变换的顺序你想怎么安排？

   （3）每个变换后的解析式如何？

   （4）不同的变换顺序对变换有无影响？

   接下来，教师用软件逐步演示，由学生根据看到的过程和结果作记录，依次回答各个问题。

   又如，由y=2sin（2x-π/3）-1的图象经过怎样的变换可得y=cos（2x-π/6）+1的图象？

   这样的题目完全可以由学生自己编写,利用软件探究由前者到后者的变换过程，根据每一步变换的过程和结果作记录，并从中总结出基本规律。

3.4.教学应用建议

  -先讲单一变换，再讲复合变换。

  -复合变换的顺序虽然可以任意安排，但也应"有序"。

  -观察课件的演示，再总结、提炼形成一般规律；要坚持由形象到抽象，由特殊到一般的全过程，不能停留在演示的水平上。

  -难点

（1）

（2）在经过演示、观察、总结规律，通过练习演算记忆之后，教师一定要从理论上深入浅出地讲深、讲透，帮助学生理解，并给出记忆的方法。

  -在学生条件允许的前提下，鼓励学生自主利用课件，学习相关内容，教师帮助学生设计一个学习的程序，并检查学生的学习效果。

4.轨迹方程

4.1.教学难点分析

  -教学难点

   根据动点的运动规律（轨迹条件）求出动点的轨迹方程是解析几何的基本问题之一。

有了轨迹方程，才能用代数方法研究这个方程，从而获得对轨迹的形状、范围、性质的认识，轨迹方程的教学中，难点集中在：

   1）几何问题本质上应当是直观的、形象的，但涉及到圆锥曲线及较复杂的轨迹方程，学生所掌握的尺、规方法不能帮助学生建立或探究轨迹的直观形象。

只能空对空，只能抽象地思考。

   2）对曲线方程的多种表现形式的熟练把握和对其本质特征的深刻理解。

   3）消参的方法与技巧。

  -难点剖析

   造成轨迹方程学习中，由抽象到抽象，只能做程式化的逻辑演绎的主要原因是工具与手段的不足，虽然从理论上讲，用尺规可以做出圆锥曲线上的点，常见的轨迹条件有不少也可以用尺规作图作出轨迹上的点，但是学生在初中阶段没有经过系统、严格的尺规作图的训练，现在有了信息技术，恰好解决了这个困难。

   学生对于平面曲线的方程的多种表现形式掌握的不好的根本原因是不知道"平面曲线是有一个自由度的点集合"以及这个本质在代数表现形式上的反映是什么。

4.2.动画教学价值

   "一个动点P在已知曲线C上运动，另一个动点R依据法则f和P构成'一一对应'的关系，求动点R的轨迹方程和轨迹曲线。

"这是一类主要又基本的轨迹问题，例如，求已知曲线关于定点、定直线的对称曲线的方程，就是上述轨迹问题的特殊形式。

   这个轨迹问题中的对应法则f的许多常见的表现形式又可以归结为向量QP按一定方向旋转一个角度θ，并把模变为原来的λ倍（这里Q是定点，θ、λ 是常数，λ ＞0）。

   本软件可以动态展示这类复杂数学问题的图像，从定性观察到定量分析，形数结合地研究这类问题内在的数学规律。

4.3.动画教学功能

  -参数灵活设置，自由创设问题情景

   可设置C的形状（直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线）和C的参数；可设定定点Q的坐标，和向量QP的变换参数θ、λ。

  -动态演示功能，帮助观察、记录和分析动点的运动

   执行"动画"功能，观察动点运动；执行"描点"功能，描点记录动点的运动痕迹；可执行"轨迹"功能，画出动点运动的连续图像。

  -当曲线C为直线时：

  输入直线方程中的系数A、B、C和Q点的横纵坐标（m、n）以及旋转的角度θ、伸缩的倍数λ。

  点击"动画"按钮，研究P点曲线C上运动时，观察动点R的运动变化规律；

  点击"描点"按钮，当P点在曲线C上运动时，描出动点R所对应的点；

  点击"轨迹"按钮，直接画出动点R的轨迹；

  点击"问题概述"按钮，回忆问题（注意：

其它情况一样）

  -当曲线C为圆时

  输入椭圆的中心坐标（s，t）、半实轴长、半短轴长、Q点的横纵坐标（m、n）以及旋转的角度θ、伸缩的倍数λ。

  -当曲线C为双曲线时

  输入双曲线的中心坐标（s，t）、半实轴长、半虚轴长、参数k、Q点的横纵坐标（m、n）以及旋转的角度θ、伸缩的倍数λ。

  -当曲线C为抛物线时

  1）选择抛物线的类型

  2）输入参数：

输入抛物线顶点坐标（s，t）、方程中参数p。

旋转的角度θ、Q点的横纵坐标（m、n）以及伸缩的倍数λ。

4.4.教学应用建议

  -老师可以用软件进行新知识的讲解、典型问题的分析。

  教师应充分利用软件参数可任意设置的特点，预设问题，启发学生观察、总结和分析。

  -教师更可以鼓励让学生自己设计问题，生成有趣的图案、发现有意思的问题，再一起研究讨论。

5.二次函数在闭区间上的最值

5.1.教学难点分析

  -教学难点

  本知识涵盖如下教学内容：

二次函数的图象和性质，二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的图象、性质，二次函数在闭区间[m，n]上的最大值和最小值。

  教学难点包括：

  用运动变化的观点认识二次函数的性质，当二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的系数a、b、c发生变化时，函数图象也随之变化。

  数形结合地理解二次函数y＝ax2＋bx＋c在闭区间[m，n]上的图象和性质，当m、n的值变化时，函数的最大值、最小值、单调性也随之变化。

  二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]中各个参数对函数性质的影响。

  -难点剖析

  高中阶段需要对整个二次函数类有充分的完整的认识．它的系数a、b、c的值不同时，函数的图象相对于坐标轴的位置不同，因而它的顶点坐标，对称轴方程、函数的奇偶性及单调性也不同。

  定义域为R的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与定义域为[m，n]的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）是两个不同的函数，认识在闭区间[m，n]上的二次函数的性质，学生需要对该函数的图象有正确的认识，特别要认清区间[m，n]与函数的对称轴x=-b/2a的关系。

  函数是一种对应，是两个变量运动变化过程中的对应关系的一种描述，运动变化与对应的思想方法充满整个函数的研究过程。

5.2.动画教学价值

  二次函数是中学数学课程中一个最重要的函数，透彻地理解该函数的概念，性质与图象是学习其他基本初等函数，树立运动变化及函数思想有重要作用。

运动变化和函数思想影响学生整个数学学习的过程，而这部分的教学恰是培养这些数学思想的良好载体。

  本软件可以帮助学生直观地观察、分析和总结二次函数图像的特征，认识和理解二次函数参数的几何意义，在探究分析中建立变化的思想和函数的思想。

5.3.动画教学功能

  -任意给定二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，显示二次函数的图象，顶点及坐标，对称轴及方程。

  -任意拖动顶点或对称轴的位置，相应二次函数的图象发生变化，显示该函数的解析表达式。

  -任意给定闭区间[m，n]中的m、n的值，显示该区间上函数的最小值及最小值点，最大值及最大值点。

  -区间[m，n]位置不变，拖动对称轴（或顶点），显示函数在闭区间[m，n]上的性质。

  -二次函数图象的位置不变，拖动区间[m，n]，同样可显示函数的性质。

5.4.教学应用建议

  -先熟悉二次函数概念、性质与图象

  -给定具体函数及区间，讨论该函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在闭区间上的性质，并总结观察图象、讨论性质的方法与注意点

  -变换函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的形状与位置，抓住对称轴与区间的关系观察分析它在闭区间[m，n]上的性质；并变动区间[m，n]的位置，讨论定义域区间对函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）性质的影响

  -老师可进行新知识讲解、典型问题或习题分析；也可以让学生操作软件，指导学生总结出各参数对函数性质的影响，参数分类的原则及数形结合解决该类问题的方法