复变函数及其基本问题docx.docx
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§3复变函数及其基本问题
一、复变函数的概念二、复变函数的定义区域
1•区域定义
参照高等数学的多元微分学基础，平行地有:
⑴邻域：
｛z||z_Zo|V§｝；去心邻域：
｛z0VZ-Zo<=>内点、开集等。
⑵区域连通的开集。
⑶边界点；边界8D：
边界点的全体；闭区域D=D+dDo
⑷有界区域与无界区域。
2.单连通域和多连通域
⑴曲线的表示:
设有连续实函数：
则其表示一条平面曲
线，此时其复式方程：
z=x（r）+y（r>=z（r）,称z=z（r）为连续曲线，记为
z（r）GC[tz,Z?
]o
例4求过点Z]=坷+iy｝,z2=x2+iy2的直线厶的复式方程。
解任取"L,易知，
乙_可〃乙2—Z]<=>―=t,即Z_Z[=『（?
2_zj,
•*.Z=Z|+t（z2-Z[）即为所求。
例5指出z=ocosf+ibsiiu表示什么曲线?
=1椭圆。
22解•/z=x+yi,:
.x=acost,y=hsint,=＞罕+厶cTb~
⑵曲线类型:
简单曲线z二z（J,te[a,b]：
z（/）wC[o,对且片iw（a,b）时，zCJhz&z）。
又称为约当曲线。
若Z（a）=Z0）,称为简单闭曲线，如图：
光滑曲线Z=z（t）:
兀'（/）,yQ）ec[a,b]且兀;2+”2丰0。
；±：
1°.导数连续：
•・•%；2+v；2=0«x；=y；=0n岂
2
光滑非光滑、按段光滑
2°.切线连续变化，几何如图：
相接各节光滑的曲线称为按段光滑曲线。
⑶单连通域和多连通域
单连通域对任简单闭曲线CuD，总有/（C）oDo否则，称D为多连通域或复连通域。
注：
单连通域的几何特征：
无洞！
三、复变函数的极限与连续
1.极限概念及性质
定义4limjf（z）=A：
Vg>0,»>O,O<|z~zo<^,|/（z）-A<£。
注：
复函数极限定义本质和表述与一元实函数完全相同，但ZTZ。
的方式是任意的——同二元函数相同。
运算性质设lim/（z）,limg（z）存在，贝【J
（1）lim[/（z）±g（z）]=lim/（z）±limg（z）；
（2）lim/（z）・g（z）=lim/（z）•limg（z）;
ZTSZ->ZoZTS
“Jlim/他、
（3）lim牛=一心（、limg（z）H0o
f0g⑵limg（z八f丿
—%
定理1设f（z）=u+vi,A=w0+ivQ,z（）=x0+iy{},则
lim/（z）=Aolimm（x,y）=w（plimv（x,）'）=「（）。
乙一>5X->X（）XTX0
）fo
证明利用定义见教材。
2.连续概念及性质
定义5函数/（z）在点5处连续：
lim/（z）=/（s）。
若/（z）在区域D上处处连续，称/（z）在区域D上连续。
例6证明：
argz在原点及负实轴上不连续。
证明当z=0时，argz无定义，故不连续;
当zhO时，•••一;rvargzS%,对负实轴上的点z=x<0：
limarg^===^,而limarg^=^==o/.limargz不存在，故不连续;
ZTX若y>0ZTX若）y0ZTX
综上讨论知，argz在原点及负实轴上不连续。
定理2函数f（z）=u+vi在点z0=x0+iyQ处连续ow（x,y）,v（x,y）在点（无0，儿）处连续。
运算性质连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）及复合函数仍为连续函数。
例7指出函数/（z）=ln（x2+y2）+z（x3-y）的连续区域。
解要使其实部与虚部连续，则需〉（）0兀,）,不同时为0。
从而，函数的连续域为z平面除z=0外的区域。
第二章解析函数
§1解析函数的概念与充要条件
导数与微分
1•定义及运算
定义设zoeD（/）,若lim/（5+“）-/（5）古则称/（"在点
A-->0AztO
s处可导，其值称为/（z）在5处的导数，记为广（知）或也
Z=Zo
dz
/（z）在区域Q内可导o/C）在区域D内处处可导。
例1证明：
（丄'
丿
z2
证明
=lim
Azt（）
/（z+Az）-/（z）_恤蛊zl=Hm-1_L
山t（）Az&t（）z（z+Az）v
Az
-1
二丿
由导数的定义式，与一元函数完全相同，借鉴例1,可以证明，实函数的求导公式及其运算法则，如四则求导法则、复合求导法则、反函数求导法则等对于复变函数均成立。
例2设/（z）=（z?
+2z—l）'+A，求广（z）。
z
解广（z）=5（Z?
+2z-1）4（3才+2）一丰=5（3/+2&+2z-1）4-三。
zz
但是，Az^o或"5+&t5：
方向任意，方式无穷。
使得复函数多不可导。
例3讨论/（z）=Z的可导性
解•・•/（z）=Z=x-yi,
Ax+/Ay
1,沿实轴t=0）,
-1,沿虚轴Tz（Ar=0）°
・lim于（z+△"_/（?
）=Hm（兀+山）_心+0）_（兀-刃）Az->（）AyAattO
iAy->0
Ax-zAy
=lim=
Ar+iAy
从而，/（z）=1处处不可导。
2.可导、可微与连续的关系性质可导必连续,但反之不然.
证明对Vz0,设厂（5）存在，则lim‘匕）=广（5）,
AztO&
lima=0
>o
/（5+Az）-/（勺）=广匕）+jiimQ=°）
△znz->o1
=>/（“+Az）-/（Zo）=广（5）"+a△（*）
lim/（z0+Az）=/（z0）,即f（z）在点5处连续。
&t0
反之，如/（z）=z•・•lim/（z0+Az）=lim（x04-Ar）-i（y0+Ay）=x0-iyQ=zQt
Az->0Ar->0
Ay->0
即/（z）=z处处连续,但由例3的讨论知道，/（z）=z处处不可导。
定义2设如=/（"在点5处可导，则由（*）式知
△w=广Co）Az+o（Az）
成立，称广（s）Az为/（z）在点5处的微分，记为dw=广（s）Az。
此时也称/（z）在5处可微。
由定义知道，可导o可微。
特别地，・・・dz=l・Az,・・・又记dw=/'（zo）dz。
/⑺在区域D内可微o/（"在区域Q内处处可微。
3.可微或可导的充分必要条件
du
dvdu
dv
dx'
8y'dy
dx
定理1函数f（z）=W+VI在点Zq=XO+iyQ处可微或可导ou{x.y\v（x,y）
在点（兀0,儿）可微且满足柯西——黎曼（C—R）方程:
FI
dxox
证明见教材。
特别注意在证明过程中，有结论厂（z）=8U，6V注：
1°.判断弘，卩可微用其充分条件：
一阶偏导连续；
亠e加5vdudv亠
2°.C—R方程—=的记忆法：
dx8ydydx
例4讨论函数w=|才的可导性。
0,于是，
0,
22。
92
=对+厂二u=对+y,v=
Ux=2x,uy=2y;vx=vy
易见，仅当x=y=0时，ux-Vytiy--vx且一阶偏导连续，
从而，函数在z=0处可导，除此之外，处处不可导。
例5
广G）。
证明
证明函数f（z）=x2-y2-x+i（2xy-y）在复平面上处处可导，并求
u=x--x.v=2xy-y,
:
.ux=2x-l,uy=-2y;vx=2y,vy=2x-l,显然，对Vx,y,恒有ux=v},wv=-Vv且一阶偏导连续，于是，函数/（z）在复平面上处处可导；且广（z）=ux+ivx=2x-1+2iy=2z-1即为所求。
二、解析概念与运算性质
1.定义
定义3若/（z）在点5及其某邻域内处处可导，则称/G）在点勺处解析，否则称点5为/（"的奇点。
/（z）在区域Q内解析O/⑺在区域D内点点解析，此时称/（込）是区域D内的解析函数。
注：
1°./（z）在点％处解析n/（z）在点细处可导，但反之不然；
2°./（"在区域D内解析o/G）在区域D内可导；即解析是函数的区域性质。
3°.解析函数必有解析点，可以有奇点。
如解析函数/（z）=丄有奇点z=0,但Z
是=w斗|等均非解析函数。
2.性质
例6研究函数/（"=二二Z的解析性。
'丿z2-l
解・・・"±1时，处）=「：
2吿-2）=4：
严*],・兀）在除点U2-1；U2-1；
ZH±1外处处可导，即/（Z）在其定义域内可导或解析。
而Z=±l是其两个奇点。
由例6及其解析的定义注2,易知，解析函数有运算性质：
解析函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数仍为解析函数。
三、解析函数的充要条件与应用
由解析的定义注2及可导的充分必要条件知道：
定理2函数/（z）=u^vi在区域£＞内解析«＞u（x,y）,v（x,y）在£＞内可微且满足柯西——黎曼（C-R）方程：
L学=_二。
dxdydydx
1•判断解析——正问题
例7判断下列函数的解析性：
（1）f（z）=x-iy2；
（2）f（z）=ex（cosy+isiny）
解
（1）vu=x.v=一）厂=>ux=\,uv=0;vx=0,vv=-2y,
当-2y=l,即y=~^时，满足C-R条件且一阶偏导连续，从而
f^=x-iy2在直线y=--±处处可导，但由解析定义知，/（z）二兀-O’在2
复平面内处处不解析；
（2）•••u=excosy,v=exsiny,
=>ux=excosy,uv=-exsiny\vx=exsiny,vx=excosy,
:
.=vyuy=-vx且一阶偏导连续，于是，函数/（z）在复平面上处处解析。
并且广（z）=ex（cosy+isiny）=f（z）。
2.应用解析——反问题和逆问题
例8求常数a,b,使得函数/（^:
）=+ay+i（3x+by）在复平面内处处解析。
解•/w=x4-ay,v=3x+by=>ux=1，uv=a;vv=3°）,=b,
又•・•/（z）解析，.•.由C—R条件ux=vyuy=-v¥知，b=l,a=-3即为所求。
例9若/（z）解析且arg/（z）=常数，证明:
证明设/（z）=w+V/,Varg/（^）=常数，
:
.—=tan（arg/（z））=k,即v=kuu
=>VA.=kux,vv=kuyo又•・•/（z）解析，/.Ux=vyuy=-vA.,从而,
=>vx=kvy-k2ux=-k2vx,即（1+Z:
2）i\=0=>vv=0,于是，有iiv="）‘=x=°，f=wiv=常数。
3.重要结论
推论1若广（z）三0o/（z）三C（常数）。
证明“U”显然；
cii=dv八
—+i—=0,从而，——=—=0odxdxdxdx
再由C-R条件,¥£，¥=£知普占=0»=“（』常dxdydyoxdxoy
0=^>V=v（x,y）三常数，即f（z）=u+vi=C常数。
dxdy
推论2若/（z）解析，则/（z）可表示为复变量z的表达式。
证明•/w=f{z）=u（x,y）+/v（x,y）=w
z+Z
"T~
z-z
~2T）
+iv
解析…矢于是,
dxdydyox
dy.（dvdxdv莎、
•—+l1—
Idxdz8ydz丿1（du
31fixdy）
duoxdu
—=1
dzdxdzdydz
1du1cu.（1dv
p/
2dx2idy
15v、
2dx2idy丿
1dudv
H
2\^dydx
“=>”・・・％）»+诡解析,・・.广
（2）dU，dV
从而，w=/（z）=w（z,Z）仅是z的函数。
推论3若函数/（z）=w+rv解析，且广（Z）HO,则曲线厶:
w（x,y）=G与曲线L2:
v（x,y）=C2互相正交。
证明由隐函数求导公式知，二曲线在交点处的切线斜率：
心=k2=y=^
uyvy〜w.v-v.v
•//（z）=u+iv/.ux=vy,uy=-vx,于是，k^k2=-i.
从而，曲线厶：
w（x,y）=G与曲线厶：
v（x,y）=C2互相正交。
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