实际问题与二元一次方程组经典例题学生版.docx
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实际问题与二元一次方程组经典例题学生版
实际问题与二元一次方程组经典例题
2013年5月1日
经典例题透析
类型一：
列二元一次方程组解决——行程问题
1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
总结升华：
根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
分析：
船顺流速度＝静水中的速度＋水速
船逆流速度＝静水中的速度－水速
类型二：
列二元一次方程组解决——工程问题
2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？
（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
思路点拨：
本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：
若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：
若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。
设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.
举一反三：
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？
请你说明理由.
类型三：
列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？
思路点拨：
做此题的关键要知道：
利润＝进价×利润率
举一反三：
【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
（注：
获利=售价—进价）
求该商场购进A、B两种商品各多少件；
类型四：
列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？
（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）
总结升华:
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.
举一反三：
【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？
（注：
公民应缴利息所得税=利息金额×20%）
思路点拨：
扣税的情况：
本金×年利率×（1-20%）×年数=利息（其中，利息所得税=利息
金额×20%）.不扣税时：
利息=本金×年利率×年数.
类型五：
列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
思路点拨：
本题的第一个相等关系比较容易得出：
衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：
别把2倍的关系写反了）.
总结升华：
生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.
举一反三：
【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
思路点拨：
两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数，两个相等关系是：
①制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190；②制盒身个数的2倍=制盒底个数.
【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
类型六：
列二元一次方程组解决——增长率问题
6.某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
思路点拨：
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总产值（万元）
总支出（万元）
利润（万元）
去年
x
y
200
今年
120%x
90%y
780
根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。
举一反三：
【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
思路点拨：
由题意得两个等式关系，两个相等关系为：
（1）城镇人口+农村人口=42万；
（2）城镇人口×（1+0.8%）+农村人口×（1+1.1%）=42×（1+1%）
类型七：
列二元一次方程组解决——和差倍分问题
7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？
思路点拨：
找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。
举一反三：
【变式1】（2011年北京门头沟区中考一模试题）“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．
【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
思路点拨：
本题关键之一是：
小孩子看游泳帽时只看到别人的，没看到自己的帽子。
关键之二是：
两个等式，列等式要看到重点语句，第一句：
每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；第二句：
每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍。
找到已知量和未知量根据这两句话列两个方程。
类型八：
列二元一次方程组解决——数字问题
8.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
思路点拨：
设较大的两位数为x，较小的两位数为y。
问题1：
在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：
100x＋y
问题2：
在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为：
100y＋x
举一反三：
【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？
【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？
类型九：
列二元一次方程组解决——浓度问题
9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
思路点拨：
本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：
（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；
（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比。
总结升华：
此题的第
（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：
混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。
用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了。
列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么。
有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。
举一反三：
【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？
思路点拨：
做此题的关键是找到配制溶液前后保持不变的量，即相等的量。
本题主要有两个等量关系，等量关系一：
配制盐水前后盐的含量相等；等量关系二：
配制盐水前后盐水的总重量相等。
【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？
类型十：
列二元一次方程组解决——几何问题
10．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
思路点拨：
初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元一次方程组。
总结升华：
几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。
举一反三：
【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
思路点拨：
此题隐含两个可用的等量关系，其一长方形的周长为铁丝的长48厘米，第二个等量关系是长方形的长剪掉3厘米补到短边去，得到正方形，即长边截掉3厘米等于短边加上3厘米。
【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？
类型十一：
列二元一次方程组解决——年龄问题
11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？
思路点拨：
解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁。
今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程。
总结升华：
解决年龄问题，要注意一点：
一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。
举一反三：
【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
思路点拨：
本题的关键是两句话，第一句：
小李的年龄是他爷爷的五分之一；第二句：
他的年龄变成爷爷的三分之一。
把未知数设出来，已知量和未知量根据这两句话列两个方程。
类型十二：
列二元一次方程组解决——优化方案问题：
12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：
如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案
方案一：
将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：
尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：
将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成
你认为选择哪种方案获利最多？
为什么？
思路点拨：
如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题.本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.
举一反三：
【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：
甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？
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