第12章 轴对称 全章学案.docx

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第12章轴对称全章学案

第十二章《轴对称》

学习课题：

12.1轴对称（第一课时）

学习内容：

教材P29－31

学习目标：

1、通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。

2、培养自己的观察能力、思维能力、操作能力、归纳能力。

学习重点：

准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质。

学习难点：

轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系。

学习方法：

操作，归纳。

学习过程：

一、情景创设

看教材P29图12.1－1（将生活中的对称美牵引到数学中来）

二、探索研讨

（一）轴对称图形

1、做一做

把一张对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想,展开后会是一个什么样的图形？

2、看一看，想一想

细心观察一些日常生活中常见的动物图片如：

蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共

同特征？

3、归纳：

轴对称图形定义：

如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。

就是它的对称轴。

4、练习：

教材P30练习（完成于书上）

教材P37第6题（完成于书上）

（二）轴对称

1、思考：

教材P30

2、归纳：

轴对称定义

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线就是，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做。

3、练习：

标出下列图形中的对称点

4、练习：

教材P36第2题（完成于书上）

（三）关于某条直线成轴对称的图形的性质特征

1、思考：

教材P31（上面那个）

2、归纳：

成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．

3、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？

区别:

轴对称是说个图形的位置关系,轴对称图形是说个具有特殊形状的图形。

联系：

都能沿着某条直线。

这条直线是对称轴。

如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

三、巩固提高：

1、下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？

如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．

2、有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。

你能找出它们的对称轴吗？

3、判断下面每组图形（如图14－7所示）是否关于某条直线成轴对称.

4、如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.

四、反思归纳

1、本节课学习的内容：

2、数学思想方法归纳：

学习课题：

12.1轴对称（第二课时）

学习内容：

教材P31－33

学习目标：

1、探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观念。

2、探索线段垂直平分线的性质，培养自己认真探究、积极思考的能力。

学习重点：

探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质。

学习难点：

探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。

学习方法：

探索、归纳、合作交流。

学习过程：

一、学习新知

（一）轴对称的性质

1、如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

（1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗？

于是有PA＝，∠MPA＝＝度

（2）对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似的情况吗？

（3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？

2、垂直平分线的定义：

经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

3、轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的

类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

4、练习：

教材P32图12.1－5

（二）线段垂直平分线的性质

1、探究：

教材P32

2、归纳，线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的与这条线段的距离

3、思考：

反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？

探究：

教材P33

4、归纳：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．

二、巩固提高：

1、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？

AB+BD与DE有什么关系？

2、如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

3、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。

三、反思归纳

1、本节课学习的内容：

2、数学思想方法归纳：

学习课题：

12.1轴对称（第三课时）

学习内容：

教材P34－35

学习目标：

1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。

2、作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图。

学习重点：

作出轴对称图形的对称轴。

学习难点：

在自己的动手画图中体验轴对称的性质及线段垂直平分线的性质。

学习方法：

操作、归纳、合作交流

学习过程：

一、知识回顾

1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对所连

的线。

二、学习新知

（一）思考：

教材P34思考

归纳：

作轴对称图形的对称轴的方法是：

找到一对，作出连接它们的

的线，就可以得到这两个图形的对称轴．

（二）应用

1、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，

你能作出这条直线吗?

2、已知线段AB，作出它的垂直平分线CD，并拼出线段的中点O.

3、如图，在五角星上作出一条对称轴

4、练习：

教材P36第6题

三、巩固提高：

1、画出下列图形的一条对称轴，和小组同学比较一下，你们画的对称轴一样吗?

2、如图，角是轴对称图形吗?

如果是，画出它的对称轴

3、如图，与图形A成轴对称的是哪个图形?

画出它们的对称轴

4、如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半。

四、反思归纳

1、本节课学习的内容：

2、数学思想方法归纳：

学习课题：

12．2作轴对称图形（一课时）

学习内容：

教材P39－42

学习目标：

1、能够作轴对称图形。

2、能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。

学习重点：

作轴对称图形。

学习难点：

用轴对称知识解决相应的数学问题。

学习方法：

操作、归纳、交流、练习

学习过程：

一、学习新知：

（一）探究轴对称前后两个图形的性质

1、阅读教材P39的四辐图

2、操作：

自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？

改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？

3、归纳：

（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的、完全相同。

（2）新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的点。

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴

（二）、作轴对称图形

1、如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。

二、巩固提高

1、把下列图形补成关于L对称的图形。

2.探究：

要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

3、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

三、反思归纳

1、本节课学习的内容：

2、数学思想方法归纳：

学习课题：

12.2.2用坐标表示轴对称（一课时）

学习内容：

教材P43－44

学习目标：

1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称。

2、掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。

学习重点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。

学习难点：

用坐标表示轴对称的应用。

学习方法：

操作、归纳、合作交流

学习过程：

一、知识回顾

已知△ABC，求作△A’B’C’，使它与△ABC关于直线l成轴对称

二、学习新知

（一）关于x轴、y轴对称的点的坐标特点

1、思考：

教材P43

2、探索：

在平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？

已知点

A（2，－3）

B（－1，2）

C（－6，－5）

D（0.5，1）

E（4，0）

关于x轴对称的点

A’（）

B’（）

C’（）

D’（）

E’（）

关于y轴对称的点

A’’（）

B’’（）

C’’（）

D’’（）

E’’（）

（平面直角坐标系在教材P43图12.2－11）

3、归纳：

点（x，y）关于x轴对称的点的作标是；

点（x，y）关于y轴对称的点的作标是

4、练习：

教材P44练习第1题、第2题（完成于书上）

（二）应用：

1、如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），

B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。

三、巩固提高

1、分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标

（3，6）

（-7，9）

（-3，-5）

（6，-1）

（0，10）

关于x轴对称的点

关于y轴对称的点

2、如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形

四、反思归纳

1、本节课学习的内容：

2、数学思想方法归纳：

学习课题：

12.3.1等腰三角形（第一课时）

学习内容：

教材P49－51

学习目标：

1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。

2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。

学习重点：

等腰三角形的概念及性质。

学习难点：

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。

学习方法：

操作、归纳、合作交流

学习过程：

一、知识回顾

1、下列图形不一定是轴对称图形的是（）A圆B长方形C线段D三角形

2、怎样的三角形是轴对称图形？

答：

3、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫

两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫

4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称

二、学习新知

（一）等腰三角形的性质

1、探究：

教材P49

把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表

重合的线段

重合的角

2、归纳等腰三角形的性质：

性质1等腰三角形的两个相等（简写成“”）

性质2等腰三角形、、互相重合。

3、证明以上性质：

（二）应用

1、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．

2、练习：

教材51练习第1题，第2题（完成于书上）

三、巩固提高

1、

（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是

（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是

2、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

3、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE

四、反思归纳

1、本节课学习的内容：

2、数学思想方法归纳：

学习课题：

12.3.1等腰三角形（第二课时）

学习内容：

教材P51－53

学习目标：

1、理解等腰三角形的判定方法及应用。

2、通过对等腰三角形的判定方法的探索，体会探索学习的乐趣。

学习重点：

等腰三角形的判定方法及其应用

学习难点：

探索等腰三角形的方法定理

学习方法：

探索、归纳、合作交流

学习过程：

一、知识回顾

1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为

2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为

3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是

4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是

5、如图，在△ABC中，AB=AC，

（1）若AD平分∠BAC，那么、

（2）若BD＝CD，那么、

（3）若AD⊥BC,那么、

二、学习新知

（一）等腰三角形的判定方法

1、思考：

（1）如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

（2）我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

已知：

在△ABO中，∠A=∠B

求证：

AO=AO

2、等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等（简写成）

（二）应用

1、求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

2、练习：

教材P53练习第1题，（完成于书上）

3、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：

OC=OD

三、巩固提高：

1、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：

AB=AD．

2、如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形

四、反思归纳

1、本节课学习的内容：

2、数学思想方法归纳：

学习课题：

12.3.2等边三角形（第一课时）

学习内容：

教材P53－54

学习目标：

1理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法

2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题

学习重点：

等边三角形判定定理的发现与证明

学习难点：

等边三角形性质和判定的应用

学习方法：

探索、归纳、交流、练习

学习过程：

一、知识回顾

1、等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的相等

（2）等腰三角形、、互相重合

2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是三角形，即

叫等边三角形。

二、学习新知

（一）等边三角形的性质和判定方法

1、思考：

（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？

（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

（3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？

2、归纳：

（1）等边三角形的性质：

等边三角形的

（2）等边三角形的判定：

（二）应用1、如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。

求证△ADE是等边三角形。

2、探究：

等边三角形三条中线相交于一点。

画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。

3、练习：

教材P54练习第1、2题（完成于书上）

三、巩固提高

1、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE＝DC

2、如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数。

三、反思归纳

1、本节课学习的内容：

2、数学思想方法归纳：

学习课题：

12.3.2等边三角形（第二课时）

学习内容：

教材P55－56

学习目标：

1、证明直角三角形中有一个角为30°的性质．

2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．

学习重点：

含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．

学习难点：

1、含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．

2、引导学生全面、周到地思考问题．

学习方法：

探索、归纳、交流、练习

学习过程：

一、知识回顾

1、等边三角形的性质：

2、等边三角形的判定：

二、学习新知：

（一）探究：

有一个角为30°的直角三角形的性质

1、问题：

用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由．

2、由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

你能证明你的结论吗？

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

求证：

BC=

AB．

3、归纳：

在直角三角形中，

（二）应用

：

1、右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？

2、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

练习：

教材P56练习（完成于书上）

三、巩固提高：

1、已知：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．

求证：

BD=

AB．

2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：

其中一条是另一条的2倍．

已知：

在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．

求证：

CD=2AD．

四、反思归纳

1、本节课学习的内容：

2、数学思想方法归纳：